Точкові оцінки і їхні властивості. Метод підстановки.

Основне задачі математичної статистики полягає в знаходженні розподілу спостережуваної випадкової величини за даними вибірки. У багатьох випадках вид розподілу можна вважати відомим, і задачі зводиться до одержання наближених значень невідомих параметрів цього розподілу. Нехай - щільність розподілу випадкової величини , що містить один невідомий параметр , а - вибірка спостережень цієї випадкової величини. Точковою оцінкою параметра називається наближене значення цього параметра, отримане за вибіркою. Точкова оцінка виражається числом . Очевидно, що оцінка є значення деякої функції елементів вибірки, тобто

= ( ).

Будь-яку функцію елементів вибірки називають статистикою. Якість оцінок характеризується наступними основними властивостями:

1) Незміщенність. Оцінка називається незміщеною оцінкою параметра , якщо її математичне сподівання дорівнює оцінюваному параметру, тобто М()=.

2) Ефективність. Для оцінки параметра може бути запропоновано кілька незміщених оцінок. Мірою точності незміщеної оцінки вважають її дисперсію D(). Нехай - різні незміщені оцінки параметра . Незміщена оцінка параметра , дисперсія якої досягає свого найменшого значення, називається ефективною.

3) Спроможність. Оцінка = ( ) називається спроможною, якщо збігається за ймовірностю до при тобто .

Це означає, що при великій кількості спостережень оцінка збігається до дійсного значення параметра.

Найпростіший метод статистичного оцінювання – метод підстановки або аналогії – полягає в тому, що за оцінку тієї або іншої числової характеристики (середнього, дисперсії й ін.) генеральної сукупності приймають відповідну характеристику розподілу вибірки - вибіркову характеристику.

Нехай - вибірка з генеральної сукупності з кінцевими математичним сподіванням m і дисперсією . По методу підстановки одержимо оцінку математичного сподівання й

= m* = (52)

= D* = (53)

Оцінка є незміщеною й спроможною, а у випадку нормального розподілу генеральної сукупності - ефективною. Оцінка є зміщеною й спроможною , а у випадку нормального розподілу генеральної сукупності – ефективною. Щоб усунути зсув у формулі (53) величину n потрібно замінити на (n-1):

= D*= (54)

Якщо обсяг вибірки n > 30, то можна застосовувати формулу (53) у силу . У випадку спроможності малої вибірки n 30, варто застосовувати формулу (54).