Аналіз розмірностей. - теорема

Всі фізичні величини мають розмірність. Приведемо таблицю розмірностей деяких величин.

Кожне фізичне явище характеризується рядом величин. У загальному випадку явище може бути математично сформульоване таким чином

( 2.47 )

де х_n – величина, що характеризує явище.

Одним із методів аналізу розмірностей є - теорема, яка встановлює зв^,язок між функцією, вираженою через розмірні величини і функцією в безрозмірній формі. Під безрозмірними величинами треба розуміти комплекси розмірних величин, складених так, що вони не мають розмірності ( та ін.).

Таблиця 2.1 - Розмірність фізичних величин

№№	Величина	Розмірність в системі SI	Основні розмірності Mlτt
	Маса	кг	M
	Довжина	м	L
	Час	с
	Температура	К	T
	Густина	кг/м³	мl^-3
	Сила		мlτ^-2
	Тиск		мl^-1τ^-2
	Швидкість	м/с	lτ^-1
	Прискорення	м/с²	lτ^-2
	Коефіцієнт динамічної в^,язкості		мl^-1τ^-1
	Коефіцієнт кінематичної в^,язкості	м²/с	l²τ^-1
	Енергія	Нּм=кгּм²/с²	мl²τ^-2
	Питома масова теплоємкість	кДж/кгК=	l²τ^-2t^-1
	Потужність	Нּм/с=	мl²τ^-3
	Питома ентальпія	кДж/кг=	l²τ^-2
	Коефіцієнт теплопровідності	кДж/мּК=кгм/с³К	мlτ^-3t^-1
	Коефіцієнт температуропровідності	м²/с	l²τ^-1

Згідно з - теоремою (або теоремою Бекінгема) із розмірних величин можна скласти ряд безрозмірних величин, що також характеризують явище. При цьому, якщо кількість розмірних величин n, а число основних розмірностей k, то кількість безрозмірних комплксів ( чи критеріїв подібності) становитиме m

. ( 2.48 )

Якщо позначити безрозмірну величину , то маємо

( 2.49 )

Встановимо, як можна визначити критерії подібності. Припустимо, що явище характеризується швидкістю, діаметром та кінематичною в^,язкістю, тобто

^.( 2.50)

Відповідно, маємо

Запишемо степеневу функцію, яка має дати безрозмірний вираз

Відповідно, отримаємо добуток всіх розмірностей

(2.51)

Звідси отримаємо систему двох рівнянь

З цих рівнянь знайдемо необхідні співвідношення

Тоді

. ( 2.52 )

Таким чином, розглянуте явище визначається трьома розмірними величинами . В той же час, при використанні безрозмірних величин достатньо одного критерія Рейнольдса Re.