Диференційне рівняння теплопровідності
Розглянуті раніше питання пов’язані зі стаціонарним температурним полем. Але на практиці інженеру доводиться займатись розв’язанням проблем, де в об’єктах відбуваються процеси переносу теплоти, коли температурне поле залежить як від координат, так і часу, тобто має місце нестаціонарне температурне поле. У цьому випадку необхідне розв’язання диференційного рівняння теплопровідності. Якраз це рівняння дає залежність між температурою, часом та координатами.
Виконаємо виведення диференційного рівняння теплопровідності.
Рисунок 1.5. До виведення рівняння теплопровідності
Виділимо в однорідному середовищі елементарний об’єм у формі паралелепіпеда з ребрами dx, dy, dz. Через ліву грань об’єму проходить питомий тепловий потік qx, а через праву – qx+dx. Припустимо, що qx>qx+dx. Це означає, що відбувається нагрів об’єкта. Вважаємо, що градієнт питомого теплового потоку дорівнює 
. Повний приріст питомого теплового потоку на відстані dx становить 
dx. Відповідно по осям x,y,z через протилежні грані будуть виходити такі питомі теплові потоки:
( 1.36 )
Маємо по осям x, y,z грані паралелепіпеда з такими площами: dydz, dxdz, dxdy. Тоді кількість теплоти, що проходить через ліву грань по осі х за час 
становить qxdydzd
, а через праву – qx+dxdydzd. Оскільки відбувається нагрів елемента, то різниця між кількостями теплоти, що входить в об’єкт і виходить із нього представляє собою теплоту, акумульовану елементарним об’ємом.
( 1.37 )
тобто
По всім осям отримуємо загальний приріст теплоти
( 1.38 )
Ця величина представляє собою всю теплоту, акумульовану за час dелементарним об’ємом dxdydz. Вона може бути представлена як добуток маса Х питома теплоємкість Х приріст температури. Приріст температури за одиницю часу дорівнює 
, а за час dстановить 
. Тоді будемо мати
де 
- густина, 
- маса елементарного об’єму;
с – питома теплоємкість, 
Після скорочення отримаємо
( 1.39 )
Застосовуючи закон Фур,є для теплопровідності
знаходимо
. ( 1.40 )
Вираз 
називається оператором Лапласа і позначається 
. Тоді диференційне рівняння теплопровідності має такий вигляд
( 1.41 )
Якщо фізичні величини 
не залежать від температури, то комплекс 
позначається латинською буквою, а і називається коефіцієнтом температуропровідності. Цей коефіцієнт характеризує теплоінерційні властивості речовини. Чим більше значення має цей коефіцієнт, тим швидше розповсюджується теплота усередині об’єкта.
Диференційне рівняння (1.39) має безліч розв’язків . для отримання його однозначного розв,язку необхідно використати додаткові, так звані крайові умови. Існують два види крайових умов:
- початкові, що характеризують розподіл температури в тілі в який-небудь початковий момент часу (наприклад, 
);
- граничні умови, що показують теплові особливості на поверхні речовини.
Існують чотири способи завдання граничних умов:
- граничні умови 1-го роду: задана відома функція температури від часу для поверхні об’єкта;
- II-го роду: задана функція зміни теплового потоку через поверхню тіла, що знаходиться в процесі теплообміну;
- III-го роду: задано закон теплообміну між поверхнею тіла та навколишнім середовищем;
- IV-го роду: мається контактний теплообмін між поверхнями двох щільно контактуючих об’єктів.
ГЛАВА 2