Теорема про зміну та збереження моменту імпульсу механічної системи

Контрольні запитання

1. Чому дорівнює імпульс тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, що проходить через його центр маси?

2. Сформулюйте теорему про зміну імпульсу механічної системи у диференціальній формі.

3. Сформулюйте теорему про зміну імпульсу механічної системи у інтегральній формі.

4. У яких випадках імпульс механічної системи залишається сталим?

5. У яких випадках проекція на вісь імпульсу механічної системи не змінюється?

Вектор імпульсу (кількості руху) матеріальної системи характеризує її поступальний рух. Обертальний рух матеріальної системи характеризується іншим вектором - моментом імпульсу (кінетичним моментом). Для окремої матеріальної точки масою момент імпульсу відносно довільної точки простору визначається виразом

, (6.1)

де - радіус-вектор проведений з точки до матеріальної точки, - її імпульс. Вектор залежить від імпульсу та положення матеріальної точки відносно точки та характеризує її „обертальний” рух навколо точки в даний момент часу.

Векторний добуток можна обчислити за допомогою матриці

= , (6.2)

де , , та , , - проекції радіус-вектора та швидкості точки на відповідні вісі. Таким чином, момент імпульсу матеріальної точки може бути знайдений за формулою

= =

= . (6.3)

Проекції , , вектора моменту імпульсу на декартові вісі , та називають моментом імпульсу матеріальної точки відносно осі.

Модуль і напрям вектора моменту імпульсу визначається за правилами
векторного добутку. На рис. 6.1, зображена площина, в якій лежать вектори та . Напрям моменту імпульсу рухомої матеріальної точки відносно точки спрямований від нас перпендикулярно до площини рисунку, а його модуль можна знайти за формулою

. (6.4)

тут – кут між векторами і , а – відстань від точки до лінії вздовж якої спрямована швидкість матеріальної точки .

Замість вектора моменту імпульсу матеріальної точки, часто користуються його алгебраїчним значенням, яке визначається за такими ж самими правилами, що і для визначення моменту сили відносно точки (дивись розділ 1, §1.5). Тоді для точки отримуємо

, (6.5)

а для точки (рис. 6.1)

. (6.6)

Зауважимо: 1) у випадку прямолінійного рівномірного руху точки, її кінетичний момент відносно заданої точки простору залишається незмінним;

2) момент імпульсу матеріальної точки дорівнює нулю, якщо лінія вздовж якої спрямований вектор імпульсу проходить через цю точку.

Момент імпульсу механічної системи є векторною сумою моментів імпульсів (кінетичних моментів) її елементів

. (6.7)

Якщо тверде тіло обертається навколо фіксованої осі, то для знаходження моменту імпульсу, тіло розглядають як сукупність матеріальних точок масами , що знаходяться на незмінних відстанях від осі обертання і обертаються з однаковою для всіх точок кутовою швидкістю . Тоді момент імпульсу відносно осі обертання (дивись рис. 6.2) можна обчислити як суму моментів імпульсу елементів тіла відносно неї

, (6.8)

що у випадку неперервного розподілу маси дає

, (6.9)

де – символ відповідної осі обертання. Сума добутків мас елементів на квадрат їхньої відстані до осі обертання чи відповідний інтеграл по об’єму тіла називається моментом інерції тіла відносно заданої осі

(6.10)

Ця фізична величина характеризує інертність тіла при обертанні навколо заданої осі, залежить від розподілу маси в тілі, положення осі обертання і вимірюється в кг·м².Моменти інерції більшості однорідних тіл правильної форми відносно їх центру мас відомі.