Точність при гармонічних впливах

При зміні зовнішнього впливу (що задає, або що обурює) за гармонійним законом керована величина й сигнал помилки системи також змінюються за гармонійним законом. Тому точність системи при гармонічному впливі оцінюють відношенням амплітуди сигналу помилки до амплітуди зовнішнього впливу: чим менше це відношення, тим краще якість системи.

Розглянемо основні співвідношення й закономірності, що характеризують точність виконання автоматичною системою функцій відтворення корисних і придушення шкідливих зовнішніх впливів.

g(p)
f(p)
Нехай на типову систему впливають вплив, що задає, x(t), основний вплив, що обурює, f(t), прикладений до виходу об'єкта, а також додаткове збурювання (перешкода) g(t)=gи(t)+gз(t), що враховує випадкові флуктуації, що виникають у що задає й вимірювальному елементах, а також у каналі зворотного зв'язку.

 


 

Перешкода gз(p), прикладена до входу системи, сприймається системою як вплив, що задає, і тому створює додаткову помилку відтворення.

Переходячи від передатних функцій до відповідних частотних функцій, узятим за модулем, можна знайти відношення амплітуд вхідних і вихідних сигналів у режимі сталих гармонічних коливань:

; (1)

. (2)

При відомих частоті й амплітуді зовнішнього впливу по формулах (1) і (2) можна обчислити амплітуди розглянутих вихідних сигналів: помилки й керованої величини .

З вираження (1) випливає, що

на кожній фіксованій частоті ωв амплітуда сигналу помилки обернено пропорційна величині .

Ця закономірність аналогічна залежності статичної помилки від передатного коефіцієнта розімкнутого контуру.

Проаналізуємо в загальному виді властивості АЧХ і , розглядаючи їх як відношення модулів чисельника й знаменника.

вектора із зростанням частоти зменшується від k (для статичної системи) чи від ∞ (для астатичної системи) до нуля, а кут повороту вектора зміняється відповідно від нуля чи від до (п-т), де п - порядок знаменнику, а т - порядок чисельнику передатної функції.
Врахуємо, як змінюється в загальному випадку АФЧХ розімкнутого контуру, що входить у вираження (1) і (2). В контур більшості реальних систем входить звичайно кілька інерційних ланок, то АФЧХ проходить через ( п-т) квадрантів (чвертей) (рис. 1). При цьому модуль

Рисунок 1. АФЧХ розімкнутого

контуру системи

 

Аналізуючи зміни векторів (див. рис. 1), неважко встановити, що знаменник , що входить у вираження (1) і (2), у міру росту частоти спочатку зменшується до деякого значення, меншого одиниці, а потім збільшується й прагне до одиниці. Отже, амплітудні характеристики й мають при деякій частоті максимум - резонансний пік (рис. 2). Резонансна частота ωр приблизно дорівнює частоті , при якій вектор повернуть на кут - 180°. Наявність в амплітудних характеристик і резонансного піка свідчить про коливальність системи.

Рисунок 2. АЧХ типової системи ( 1-статичної, 2-астатичної)

 

Аналізуючи форму характеристики (рис. 2, а) можна зробити наступні висновки:

1. Якщо частота ωу зовнішнього впливу x(t) або f(t) мала , то амплітуда сигналу помилки набагато менше амплітуди впливу, тобто система добре виконує функції відтворення й подавлення.

2. Якщо частота ωу зовнішнього впливу x(t) або f(t) велика, то амплітуда сигналу помилки дорівнює амплітуді впливу, тобто система марна. Це пояснюється тим, що при швидких змінах зовнішніх впливів система через інерційність об'єкту і регулятора не встигає реагувати на ці впливи.

3. Якщо частота впливів близька або дорівнює резонансній частоті , то амплітуда сигналу помилки більше амплітуди впливів, тобто система керування навіть шкідлива.

Аналізуючи форму характеристики (рис.2, б) можна зробити наступні висновки:

1. Низькочастотні перешкоди, що виникають у що задає або вимірювальному елементі, створюють більшу помилку відтворення, амплітуда якої приблизно дорівнює амплітуді перешкоди.

2. Якщо частота перешкоди близька до резонансної частоти, то амплітуда сигналу помилки навіть перевищує амплітуду перешкоди.

3. Якщо частота перешкоди велика, то амплітуда помилки мала, тому що перешкода гаситься при проходженні через сукупність інерційних ланок з еквівалентної АФЧХ .

На основі виявлених закономірностей можна сформулювати вимоги до виду амплітудної характеристики розімкнутого контуру, з огляду на, що на малих частотах функція , і тому можна зневажити одиницею в знаменнику вираження (1):

(3)

На високих частотах функція й тоді

(4)

максимальна амплітуда сигналу помилки повинна бути у - раз менше амплітуди впливу xт, то характеристика розімкнутого контуру (рис.) повинна проходити не нижче точки з координатами (ωн, ). Якщо, крім цього,
Наближені співвідношення (3) і (4) можна використовувати для вибору форми й конкретного розташування характеристики по відомій частоті й амплітуді зовнішнього впливу й максимально припустимій амплітуді сигналу помилки. Наприклад, якщо на деякій низькій частоті ωн

необхідно, щоб амплітуда складової помилки, створюваною високочастотною перешкодою g(t), була в - раз менше амплітуди перешкоди, то функція повинна проходити не вище точки з координатами (ωв, ).

Розглянемо вплив закону регулювання на форму АЧХ системи.

Рисунок 4. Вплив пропорційної (а), інтегральної (б) і диференціальної (в) складових на форму АЧХ системи.

 

На рис. 4 товстою лінією зображені графіки функції при пропорційному законі регулювання. Тонкими лініями показані ці ж характеристики при різних сполученнях коефіцієнтів пропорційної, інтегральної й диференціальної складової ПІД -Закону регулювання:

Збільшення коефіцієнта kП поліпшує точність системи на низьких частотах, але підвищує коливальність системи (рис.4, а).

Додавання інтегральноїої складової до пропорційного приводить до зменшення помилки на дуже низьких частотах, але зміщає резонансний пік в область низьких частот і збільшує коливальність системи (рис. 4, б).

Введення в пропорційний закон регулювання диференціальної складової поліпшує точність системи на низьких частотах, однак зміщає резонансний пік в область високих частот і збільшує коливальність системи (рис. 4, в).

На закінчення узагальнимо викладені залежності сигналу помилки від властивостей системи у вигляді фундаментальної закономірності:

точність відтворення системою керування впливу, що задає, і точність подавлення нею зовнішніх збурювань тим краще, чим більше коефіцієнт передачі керуючого пристрою.