Прості види аннуітетів. Аннуїтети пренумерандо і постнумерандо

Ми розглядаємо аннуітет pre-numerando всього життя, який забезпечує щорічну виплату одиничної суми, доки клієнт живий. Виплати здійснюються в моменти . Поточне значення цього потоку платежів дорівнює

. (2.1)

Розподіл імовірності цієї випадкової величини визначається співвідношенням

(2.2)

для . Чиста одиночна премія позначається через і дорівнює очікуваному значенню (2.1)

. (2.3)

Очікуване значення (2.1) можна також виразити у вигляді

, (2.4)

де - індикаторна функція події. Середнє значення (2.4) дорівнює

. (2.5)

Отже, ми отримали два співвідношення для чистої одиночної премії аннуітету pre-numerando всього життя. В виразі (2.3) ми розглядаємо весь аннуітет як одне ціле, в той час як в (2.5) ми представляємо його у вигляді складових чистого дожиття.

Чисту одиночну премію можна також виразити в термінах чистої одиночної премії страхування всього життя. Чиста одиночна премія (2.1) дорівнює

. (2.6)

(Цю формулу можна також отримати, розглядаючи аннуітет життя як різницю двох нескінченних аннуітетів pre-numerando, які починаються в момент 0 і в момент ). Усереднюючи, отримаємо

, (2.7)

що можна інтерпретувати як позику одиничної суми з річною відсотковою ставкою pre-numerando з остаточною виплатою 1 наприкінці року смерті. Очевидно, моменти величини також можуть бути отримані з (2.6), наприклад

. (2.9)

Поточне значення термінового на час років аннуітету pre-numerando дорівнює

(2.10)

Подібно (2.3) і (2.5) чиста одиночна премія може бути виражена як

. (2.11)

або

. (2.12)

Тепер ми маємо

, (2.13)

але визначається (2.12). Звідси отримаємо

, (2.14)

або

. (2.15)

Відповідний post-numerando аннуітет життя відповідає платежам в моменти часу :

. (2.16)

Випадкові величини (2.1) і (2.16) відмінні на 1. Тому чиста одиночна премія визначається співвідношенням

. (2.17)

З курсу основ фінансової математики відомо, що

. (2.18)

Усереднюючи, отримуємо

, (2.19)

що є аналогом (2.8).

Поточне значення відкладеного на років аннуітету життя pre-numerando зі щорічними платежами одиничної суми дорівнює

(2.20)

Чиста одиночна премія може бути отримана на підставі одного з двох очевидних співвідношень

, (2.21)

. (2.22)