Стандартні види змінного страхування

Розглянемо стандартні види страхування при виплатах застрахованої суми наприкінці року смерті. Чиста одиночна премія може бути легко підрахована і може бути використана також у випадку виплати застрахованої суми негайно в момент смерті.

Розглянемо лінійно зростаюче безтермінове страхування, коли . Поточне значення контракту дорівнює

. (5.1)

Чиста одиночна премія позначається через і дорівнює

. (5.2)

Для відповідного термінового страхування на термін років маємо

. (5.3)

Чиста одиночна премія позначається через і отримується обмеженням сумування в (5.2) першими доданками. Подібно до (4.3), (4.4), ми можемо записати

(5.4)

. (5.5)

Очевидною є різниця між і - друга величина дорівнює сумі першої і чистої одиночної премії для контракту на чисте дожиття терміном років.

Виплати по лінійно спадаючому терміновому страхуванню спадають лінійно від до нуля, тому

. (5.6)

Контракти з лінійним спаданням як правило використовуються для гарантованого повернення позики, за умови, що поточний борг за позикою у відповідності до плану амортизації позики також спадає лінійно. Рівності

(5.7)

(5.8)

очевидні.

Розглянемо тепер контракти з виплатою в момент смерті, тобто в формі (4.5) з деякою функцією. Для таких контрактів далі в цьому розділі будемо використовувати ситуацію А.

Якщо застрахована сума збільшується щорічно, то ми маємо, тому

. (5.9)

Чиста одиночна премія позначається . Обчислюючи математичне сподівання величини

(5.10)

і використовуючи постульовану незалежність і , а також (3.4), отримаємо практичну формулу

. (5.11)

Нехай тепер виплата зростає раз на рік, кожен раз на :

. (5.12)

Відповідна чиста одиночна премія позначається через . Зауважимо, що (5.12) можна записати у вигляді

. (5.13)

При обчисленні чистої одиночної премії ми використовуємо незалежність випадкових величин , , а також співвідношення

. (5.14)

Звідси отримаємо

. (5.15)

Використовуючи співвідношення (3.5) і (5.11), знаходимо

. (5.16)

Цей вираз може бути обчислений безпосередньо.

У випадку неперервнозростаючої застрахованої суми поточне значення дорівнює

, (5.17)

а чиста одиночна премія визначається співвідношенням

, (5.18)

яке отримане з (5.16) граничним переходом .

Формули (5.11), (5.26) і (5.18) можуть бути отримані підстановкою деякої функції в (4.10). Наприклад, підстановка приводить до

, (5.19)

що дає (5.18).

Аналогічні формули справедливі для відповідних термінових контрактів. Наприклад,

. (5.20)

Вправа. Доведіть (5.20) на основі (5.16).

Нарешті, розглянемо контракт -річного неперервного контракту страхування з початковою сумою страхування , яка зменшується раз на рік, кожен раз на :

. (5.21)

Цей контракт, очевидно, може бути представлений у вигляді різниці між терміновим страхуванням з постійною застрахованою сумою і терміновим контрактом з лінійно зростаючою виплатою. Чиста одиночна премія дорівнює

. (5.22)