ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Диск радіусом R=5 см обертається навколо нерухомої осі так, що залежність кутової швидкості від часу задається рівнянням 
= 2Аt + 5Вt 4 (А=2рад/с2, В=1рад/с5) Визначити для точок на ободі диска до кінця першої секунди після початку руху:1) повне прискорення; 2) число обертів, зробле-них диском.
Дано:R=5см=0,05м; =2Аt+5Вt4; А=2рад/с2; В=1рад/с5; t=1с.
Визначити: 1)а; 2)N.
Розв’язання. Повне прискорення 
, де тангенціальна складова прискорення 
(
-кутове прискорення), а нормальна складова прискорення 
.
За умовою задачі 
отже,
,
,
Звідси повне прискорення
Кут повороту диска 
( N- число обертів), але кутова швидкість 
отже,
.
Тоді число обертів, зроблених диском, 
,
Перевіримо одиниці виміру.
[а]=м
=м/с2 , N - одиниць виміру не має.
Підставивши числові дані, одержимо:
а =
= 4,22(м/с2),
N=
=0,477
0,5.
Відповідь : 1) а = 4,22 м/с 2 , 2 ) N0,5.
Задача 2. На барабан радіусом R=20см, момент інерції якого J=0,1 кгм2, намотаний шнур до кінця якого прив'язаний вантаж массою m=0,5кг. До початку обертання барабана (рис.1) висота вантажу над підлогою h 0=1м. Через який час t вантаж опуститься до підлоги? Знайти кінетичну енергію Wk вантажу в момент удару об підлогу і силу натягу нитки Т. Тертям зневажити.
Дано:R=20cм=0,2м, J=0,1кгм2 , m=0,5кг, h0=1м
Визначити:1)t; 2)Wk; 3)Т.
Розв’язання. При опусканні вантажу його потенціальна енергія переходить у кінетичну енергію поступального руху і кінетичну енергію обертального руху:
(1), де 
,
відкіля
,
; 
(2)
Рух рівноприскорений , тому Рис.1
(3) Рис.1
(4)
Виразимо t з (4) і підставивши в (2) одержимо: 
;
Кінетична енергія 
, підставивши рівняння (2), одержимо:
.
Відповідно до другого закону Ньютона
mg -T= ma , відкіля T= m(g-а) .
З (3) 
,
Тоді. 
Перевіримо одиниці виміру і проведемо обчислення t, Wк і Т.
=с, 
, 
.
кгм/с2=Н 
Відповідь: t=1,1с; Wk=0,82Дж; Т=4,1Н.
Задача 3. Куля, що летить горизонтально, попадає в кулю, підвішену на невагомому твердому стрижні, і застряє в ньому. Маса кулі в 1000 разів менше маси кулі. Відстань від центра кулі до точки підвісу стрижня 
=1м. Знайти швидкість 
кулі, якщо відомо, що стрижень з кулею відхилився від удару кулі на кут 
(рис.2).
Дано:М=1000 m , =1м, .
Визначити .
Розв’язання.
Силу опору повітря не враховуємо, отже, систему "куля m- куля M" можна вважати замкнутою. Запишемо закон збереження імпульсу й енергії для даної системи:
m=(m+M)u (1)
де u- швидкість куліm разом з кулеюM після удару. У результаті взаємодії куль, після відхилення стрижня на < 
, їх кінетична енергія перейшла в потенціальну енергію
(2).
З (1) виразимо u:
u =
або u =
= 
. Рис.2 З (2) одержимо: 
.
Знайдемо h.
ВМ=
, h=
; 
, тоді
.
Перевіримо одиниці виміру .
Проведемо обчислення .
Відповідь =550м/с.
Задача 4.Знайти роботу А, яку треба виконати, щоб стиснути пружину на =20 см, якщо відомо, що сила F пропорційна стиску і твердість пружини k=2,94 кН/м.
Дано: 
= 20 см = 0,2м, k = 2,94кН/м=2,94* 103 Н/м.
Визначити А.
Розв’язання.Робота, виконана при стиску пружини, визначається формулою
(1),
де- стиск. За умовою сила пропорційна стиску, тобто
F= - k (2).
Підставляючи (2) у (1), одержимо
.
А=58,8Дж.
Перевіримо одиниці виміру А.
.
Проведемо обчислення А.
Відповідь А=58,8 Дж.
Задача 5. Камінь кинутий горизонтально з швидкістю v x=10м/с. Знайти радіус кривизни R траєкторії каменю через час t=3с після початку руху (рис.3).
Дано: x=10м/с, t=3с.
Визначити R.
Розв’язання. Нормальне прискорення каменю
(1);
З рисунку видно, що
(2).
З рівняння (1) Рис.3
, де 
.
Крім того 
; 
.
Зробивши відповідні підстановки, одержимо
.
Перевіримо одиниці виміру і проведемо обчислення шуканої величини.
, R=
.
Відповідь R=305м.
Задача 6. Дві свинцевих кулі масами m1=2кг і m2=3кг підвішені на нитках довжиною =70см. Спочатку кулі стикаються між собою, потім меншу ку-
лю відхили на кут=600 і відпустили (рис.4). Вважаючи удар центральним і непружним, визначити :1) висоту h , на яку піднімуться кулі після удару;
2) енергію, затрачену на деформацію куль при ударі.
Дано: m1=2кг, m2=3кг, =70см=0,7м, =600.
Визначити: 1) h; 2) 
.
Розв’язання.Удар непружний, тому після удару кулі рухаються із загальною швидкістю , яку знайдемо із закону збереження імпульсу
(1)
де 1 і 2 - швидкості куль до удару. Швидкість 1 малої кулі знайдемо із закону збереження механічної енергії:
звідси
(2)
(врахували, що h1=(1-соs)).
З виражень (1) і (2 ) за умови, що 2=0, одержимо
(3) Рис.4
Із закону збереження механічної енергії маємо
,
відкіля шукана висота
(врахували формулу (3)).
Енергія витрачена на деформацію куль при ударі,
,
чи, підставивши (2) у (4) , знаходимо
.
Перевіримо одиниці виміру обумовлених величин і проведемо обчислення.
, 
.
, 
Відповідь:1) h=5,6 cм; 2)Т=4,12Дж.
Задача 7.Камінь, пущений по поверхні льоду зі швидкістю 0=3м/с (рис.5), пройшов до зупинки відстань S=20,4м . Знайти коефіцієнт тертя k каменю об лід.
Дано: v=3м/с, S=20,4м.
Визначити k.
Розв’язання. Робота сили тертя при ковзанні каменю по льоду
дорівнює А=Fтр Scos, де Fтр=kmgcos, cos180 0=-1, тоді
А=-kmg (1). З іншого боку, робота сили тертя дорівнює збіль-
шенню кінетичної енергії каменя А=W2-W1. Рис.5
Оскільки W2=0, то А=-W1=
(2). Порівнюючи праві частини рівнянь(1) і (2), одержимо 
.Одиниць виміру k не має.
Підставивши числові значення й обчислюючи, одержимо:
k=
Відповідь k=0,02.
Задача 8. Хлопчик котить обруч по горизонтальній дорозі зі швидкістю v=7,2км/ч. На яку відстань s може вкотитися обруч на гірку за рахунок його кінетичної енергії? Ухил гірки дорівнює І0м на кожні І00м шляху.
Дано: v=7,2км/год=2м/с, h=10м, =100м.
Визначити S.
Розв’язання. Коло підніжжя гірки обруч мав кінетичну енергію Wk, яка складалася з кінетичної енергії поступального руху і кінетичної енергії обертання. Коли обруч вкотився на гірку на відстань s, його кінетична енергія перейшла в потенціальну.
Wk=Wп
Момент інерції обруча J=m R2, частота обертання
.Тоді
.
Отже, m2 = mgН , звідси 
. Рис.6
З (рис.6) видно, що 
, звідси 
.
Перевіримо одиниці виміру S.
.
Підставивши числові дані, одержимо:
S = 
Відповідь S=4,1м.
Задача 9.Олівець довжиною 
см, поставлений вер-
тикально, падає на стіл (рис.7). Яку кутову швидкість і
лінійну швидкість буде мати наприкінці падіння сере-
дина і верхній кінець олівця?
Дано l=0,15м.
Визначити:1 і 2. Рис.7
Розв’язання.
Розглянемо рух центра маси олівця . У вертикальному положені він має по-тенціальну енергію , яка при падінні переходить у кінетичну енергію обер-тання (рис.7).
- (1).
Момент інерції олівця відносно, осі що проходить через його кінець, знайдемо по теоремі Штейнера: 
- (2).
Підставивши (2) у (1), одержимо
, звідси 
=14рад/с. Оскільки=
=, а лінійна швидкість =R , то швидкість кінця олівця 1==2,1м./с. Швидкість середини 
=1,05м/с.
Відповідь: 1=2,1м/с, 2=1,05м/с .
Задача 10. Горизонтальна платформа (рис.8) масою m=100кг обертається навколо вертикальної осі, що проходить через центр платформи, з частотою n1=10об/хв. Людина масою m0=60кг стоїть при цьому на краю платформи. З якою частотою n2 почне обертатися платформа , якщо людина перейде від краю платформи до її центра? Вважати платформуоднорідним диском , а людину - точковою масою.
Дано:m=100кг, n1=10об/хв, m0=60кг.
Визначити n2.
Розв’язання.
Система "людина-платформа" замкнута в проекції на
вісь у, тому що моменти сил Мmg=0 і M mog=0 у
проєкції на цю вісь. Отже можна скористатися зако- Рис.8
ном збереження моменту імпульсу.У проєкції на вісь у:
J1= J2 (1)
де J1 - момент інерції платформи з людиною, що Рис.8
стоїть на її краї, J2 - момент інерції платформи з людиною, що стоїть в центрі, і - кутові швидкості платформи в обох випадках. Тут
- (2),
де R - радіус платформи. Підставляючи (2) у (1) і : враховуючи, що 
, де n-частота обертання платформи, одержимо:
; 
.
Обчислюючи, одержимо
Відповідь n2=22об/хв.
Задача 11. Довести, що при малих швидкостях релятивістська формула кінетичної енергії переходить у класичну.
Розв’язання. Релятивістська формула кінетичної енергії:
Розкладемо вираз 
по формулі бінома Ньютона
=1 +
і відкинемо члени більш високого ступеня у силу їхньої малості (v«c). Тоді
Задача 12.Мезони космічних променів досягають поверхні Землі із самими різними швидкостями.Знайти релятивістське скорочення розмірів мезона, швидкість якого дорівнює 95% швидкості світла.
Дано v=0,95c
Визначити 
%.