Кінематика матеріальної точки

ФІЗИЧНІ ОСНОВИ МЕХАНІКИ

ЧАСТИНА 1

Механіка – це вчення про найпростіші форми руху матерії, які полягають у переміщенні тіл одних відносно інших. Будь-який механічний рух можна розкласти на два компонента – поступальний і обертальний.

Матеріальна точка – це тіло, розмірами якого можна знехтувати в умовах даної задачі. Абсолютно тверде тіло – це тіло, деформаціями якого можна знехтувати в умовах даної задачі.

Механіка поділяється на три розділи – кінематику, динаміку і статику. Кінематика вивчає рух без урахування сил, що діють на тіло. Динаміка вивчає рух з урахуванням сил, що діють на тіло. Статика вивчає рівновагу тіл під дією прикладених до нього сил.

Швидкість. Положення матеріальної точки у просторі можна задати за допомогою радіуса-вектора , проведеного з початку координат у дану точку (див. рис.1). При цьому

r_x=x; r_y=y; r_z=z.

Рис. 1.1

Позначимо – вектор елементарного (тобто дуже малого) переміщення за елементарний проміжок часу D t, D S – елементарний шлях за проміжок D t. Вектор переміщення направлений з початкової точки у момент часу t у кінцеву в момент часу t+D t, а шлях D S – це довжина траєкторії.

Середня швидкість . (1.1)

Миттєва швидкість . (1.2)

Тобто вектор миттєвої швидкості дорівнює першій похідній від радіуса-вектора за часом і направлений по дотичній до траєкторії. Одиницею швидкості в СІ є (м/с).

Проекції швидкості на координатні осі визначаються за формулами

Модуль миттєвої швидкості дорівнює першій похідній від шляху за часом

. (1.3)

При рівномірному русі тіло проходить за рівні проміжки часу рівні шляхи , тому =сonst і визначається за формулою

=S/t. (1.4)

Обчислення пройденого шляху. Щоб визначити пройдений шлях при нерівномірному русі, потрібно розбити весь шлях на елементарні ділянки , настільки малі, що швидкості на кожному елементарному шляху можна вважати незмінними. Тоді скориставшись формулою (1.4), отримаємо

. (1.5)

Формула (1.5) тим точніша, чим менші проміжки часу . Строгий знак рівності у (1.5) можна поставити тільки під знаком границі при :

=. (1.6)

Таким чином, щоб обчислити пройдений шлях від моменту часу до моменту часу , потрібно швидкість проінтегрувати за часом у вказаних межах. На координатній площині (V, t) пройдений шлях дорівнює площі криволінійної трапеції (див. рис.1.2).

Рис.1.2

Прискорення. Якщо за час Dt приріст швидкості дорівнює D, то середнє прискорення визначається формулою

. (1.7)

Миттєве прискорення – це перша похідна за часом від швидкості

. (1.8)

Прискорення характеризує зміну вектора швидкості в одиницю часу. Одиницею прискорення в системі СІ є (м/с²). При криволінійному русі вектор прискорення розкладають на дві складові – тангенціальну складову , яка направлена вздовж дотичної, і нормальну складову , яка направлена вздовж перпендикуляра до дотичної ( рис.1. 3):

Рис.1. 3

, (1.9)

; (1.10)

; (1.11)

R – радіус кривизни траєкторії у даній точці. Тангенціальна складова (тангенціальне прискорення) визначає зміну швидкості в одиницю часу за величиною, а нормальна складова (нормальне прискорення) – за напрямком. Тоді повне прискорення

Обчислення швидкості, якщо відоме прискорення. Для рівнозмінного () руху за рівні проміжки часу швидкість змінюється на однакові прирости D. Тому для цього руху прискорення