Действительные числа

Допущения, принятые при оценке эффективности

В заключение отметим одно важное для понимания инвестиционных технологий обстоятельство. Следует выяснить, какие допущения принимаются при расчете показателей эффективности и в какой мере они соответствуют реальной практике.

При использовании всех методов в основном принимались следующие допущения.

1. Потоки денежных средств относятся на конец расчетного периода времени. На самом деле они могут появляться в любой момент в течение рассматриваемого года. В рамках описанных выше инвестиционных технологий мы условно приводим все денежные доходы предприятия к концу соответствующего года.

2. Денежные потоки, которые генерируются инвестициями, немедленно инвестируются в какой-либо другой проект, чтобы обеспечить дополнительный доход на вложение капитала. При этом предполагается, что показатель отдачи второго проекта
будет, по крайней мере таким же, как показатель дисконтирования анализируемого проекта.

Используемые допущения, разумеется, не полностью соответствуют реальному положению дел, однако с учетом большой продолжительности реализации проектов в целом не приводят к серьезным ошибкам в оценке эффективности.

Приложения

Напомним, что такое натуральные числа - это целые величины:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … .

Это самый элементарный и фундаментальный вид чисел.

Ими можно количественно измерить любую дискретную сущность: можно говорить о двадцати семи овцах в поле, двух вспышках молнии, двенадцати ночах, тысяче слов, четырёх беседах, нуле новых идей, одной ошибке, шести отсутствующих, двукратной смене направления и т.д.

Натуральные числа можно складывать или перемножать, получая при этом новые натуральные числа.

Тем не менее, некоторые важные математические операции могут всё же вывести нас за пределы мира (множества) натуральных чисел. Простейшая из них – вычитание. Для систематического определения вычитания нам понадобятся отрицательные числа.

Теперь мы можем выстроить всю систему целых чисел:

… -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

Некоторые вещи – такие, как электрический заряд, банковские балансы или даты[1], - измеряются количественно этими числами. Однако сфера применения целых чисел всё же весьма ограничена, т.к. деление одного числа на другое может оказаться неразрешимой задачей в рамках целых чисел. Соответственно, нам понадобятся дроби, или, как их называют, рациональные числа:

0, 1, -1, 1/2, 2, -2, 3/2, -3/2, 1/3, …

Этих чисел достаточно для операций конечной арифметики, но для очень многих задач нам потребуется пойти ещё дальше, с тем чтобы охватить бесконечные операции перехода к пределу. Например, хорошо известная – и играющая огромную роль в математике (и в физике) – величина возникает как результат многих бесконечных выражений. В частности, мы имеем:

,

а также:

.

Это - знаменитые выражения.

Первое из них было найдено английским математиком, филологом и криптографом Джоном Уоллисом в 1965 г., а второе – шотландским математиком и астрономом (а также изобретателем первого телескопа – рефлектора) Джеймсом Грегори в 1671 г.

Как и число , определённые подобным образом числа не обязаны быть рациональными (т.е. представляться в виде , где и - целые числа, причём не равно нулю).

Систему чисел необходимо расширить, обеспечив возможность включения в неё таких величин.

Расширенная таким образом система чисел называется системой действительных чисел – тех самых хорошо знакомых нам чисел, что представляются в виде бесконечных десятичных дробей, таких как:

-583, 70264439121009538… .

В этом представлении мы получаем следующее известное выражение для числа :

.

Другими примерами чисел, представимых таким образом, являются квадратные корни (или кубические корни, или корни четвёртой степени, и т.п.) из положительных рациональных чисел, такие как:

или же квадратные корни (или кубические корни и т.д.) любого положительного числа, как, например, выражение для числа , найденное Леонардом Эйлером:

.

Действительные числа нам в сущности хорошо знакомы – мы с ними сталкиваемся в повседневной жизни. Правда нас обычно интересуют всего лишь приближения к этим числам и мы предпочитаем ограничиваться разложениями, состоящими из небольшого числа десятичных знаков. Тем не менее, в математических утверждениях может потребоваться точное задание действительных чисел и, как следствие, необходимость в некотором бесконечном способе описания наподобие бесконечной десятичной дроби, или какого-нибудь иного бесконечного математического выражения типа приведённых выше формул для числа , предложенных Уоллисом, Грегори и Эйлером[2].

Может создаться впечатление, что представить себе всё бесконечное десятичное разложение целиком невозможно, но это не так. Вот простой пример, когда вся последовательность знаков оказывается явным образом обозримой:

.

Многоточие указывает на то, что последовательность троек продолжается бесконечно.

Для получения полного представления об этом разложении достаточно знать, что оно действительно состоит из неограниченной последовательности одних лишь троек.

У каждого рационального числа есть повторяющееся (или конечное) десятичное представление типа:

,

где последовательность 567 повторяется неограниченное число раз. Это число тоже оказывается полностью обозримым. Также обозримым является выражение:

0, 2200022200002222000002222200000022222220…. ,

которое определяет иррациональное число (оно просто состоит из последовательностей нулей и двоек, длины которых каждый раз увеличиваются на единицу), и ещё много похожих выражений. В каждом таком случае нам достаточно знать правило, по которому составлено разложение. Знание алгоритма порождения очередной цифры в разложении числа – при условии, что такой алгоритм существует, - даёт нам способ «увидеть» целиком всё бесконечное десятичное разложение.

Действительные числа с алгоритмически порождаемыми десятичными разложениями называются вычислимыми числами. Только что рассмотренные числа и представляют собой примеры вычислимых чисел. В обоих случаях подробное описание соответствующего правила – задача довольно-таки кропотливая, но, в принципе, разрешимая.

Существуют, однако, и невычислимые числа, когда десятичная последовательность может быть любой. Невозможно обойтись лишь вычислимыми операциями, даже оперируя вычислимыми числами. Например, в общем случае вычислимым образом невозможно даже решить, равны ли два вычислимых числа друг другу!