Алгоритмы обработки результатов измерений, полученных в разных сериях или различными методами.

Определение доверительной границы погрешности результата

Определение границ неисключенной систематической

погрешности Θ результата измерений.

Под этими границами понимают, найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность.

Она образуется из ряда составляющих: как правило, погрешностей метода и средств измерений, а также субъективной погрешности. Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. Они суммируются по определенным правилам. Доверительная вероятность при определении границ Θ принимается равной доверительной вероятности,

используемой при нахождении границ случайной погрешности.

измерения Δ _p .

Данная операция осуществляется путем суммирования СКО случайной составляющей S_x и границ неисключенной систематической составляющей Θ в зависимости от соотношения

Sx/ Θ

Анализ соотношения между неисключенной систематической погрешностью и случайной погрешностью показывает, что если Θ/ Sx < 0,8 то неисключенной систематической погрешностью можно пренебречь и принять границы погрешности результата равным Δ = ±t _p S_x (t_p –коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности Р и числа проведенных измерений n ). Если Θ/ S_x> 8, то случайной погрешностью можно пренебречь и принять границы погрешности результата равным Δ = ±Θ. Если оба неравенства не выполняются, вычисляют СКО результата как сумму неисключенной систематической погрешности и случайной составляющей:

Границы погрешности результата измерения в этом случае вычисляют по формуле

Коэффициент К вычисляют по эмпирической формуле

7. Запись результата измерения. Результат измерения записывается в виде x = X_av + Δ_p при доверительной вероятности P = P_Д . При отсутствии данных о функциях распределения составляющих погрешности результаты измерений представляют в виде X_av ; S_x ; n; Θ при доверительной вероятности P = P_Д .

НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Измерения называют равноточными, если они выполнены при одинаковых условиях . Наиболее надежным результатом из ряда результатов равноточных измерений является среднее арифметическое.

Но не менее часто встречаются случаи, когда одна и та же величина измеряется при различных условиях. Такие измерения называются неравноточными.

Если имеется ряд неравноточных измерений х₁, х₂, ..., х_n одной и той же величины X, то для получения из них наиболее надежного значения этой величины нельзя взять просто среднее арифметическое. Очевидно, что измерение более точное должно иметь и большее влияние на окончательный результат. Неравноточные измерения одной и той же величины могут иметь место в силу следующих причин:

1. Из-за использования средств измерений различной точности;

2. Из-за выполнения измерений при разных условиях внешней

среды;

3. Из-за различного числа измерений одним и тем же средством

измерений при необходимости каждый раз взять из них среднее

арифметическое;

4. Из-за проведения измерений одним средством измерений, но

различными операторами.

В силу отмеченного, возникает необходимость объединения результатов, отличного от ранее рассмотренного. Оценка искомого значения измеряемой величины в этом случае осуществляется при помощи так называемого весового среднего арифметического значения (х_р).

Простейшим случаем неравноточных измерений являются несколько групп равноточных измерений, число измерений в каждой группе различно.

Пусть произведено m₁ равноточных измерений, из которых выведено наиболее вероятное значение х₁ измеряемой величины. Другая серия таких же измерений содержала m₂ измерений и дала значение х₂, третья –m₃ измерений и дала значение х₃ и т. д.Ставится задача вывести наиболее вероятное значение измеряемой величины на основании результатов. Для решения этой задачи используется понятие «вес».

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПОНЯТИИ «ВЕС»

Вес является вспомогательным числом при совместной обработке неравноточных или разнородных измерений.

Если σ — средняя квадратическая погрешность результата измерения, то вес этого результата находят по формуле

P_i =μ²/ σ²_i

где μ — коэффициент пропорциональности.

Это понятие веса для измеренной величины принято и для любой функции F измеренных величин; вес Р_F функции F при известной средней квадратической погрешности σ _F вычисляют по формуле

P_F =μ²/ σ²_F

Веса результатов измерений и их функции являются положительными числами, пропорциональными квадратам их средних квадратических погрешностей (дисперсиям).

Если P_i =1, то при однородных неравноточных измерениях будем иметь μ = σ_i

Рассмотрим некоторые случаи, приводящие к необходимости проведения и обработки неравноточных измерений.

1. Если при точных измерениях необходимо убедиться в отсутствии неисключенных систематических погрешностей, то измерения проводятся несколькими исследователями. Если средние арифметические полученных рядов наблюдений незначительно отличаются друг от друга и нет признаков систематических погрешностей, то при объединении всех полученных результатов и на основе их математической обработки получают более достоверные сведения об измеряемой величине.

2. Аналогичные измерения были выполнены в разных лабораториях различными методами и получены отличающиеся друг от друга результаты. Используя все имеющиеся данные, пытаются получить более достоверные значения измеряемых величин.

3. Измерения одних и тех же величин могут повторяться через определенное время. В итоге появляется необходимость объединения результатов. Точность рядов различна.

Во всех этих случаях приходится прибегать к методам обработки результатов неравноточных измерений, задача которых в общем случае заключается в нахождении наиболее достоверного значения измеряемой величины и оценки воспроизводимости измерений.

Веса при неравноточныхъ измерениях вводятся по следующей формуле:

Тогда средневзвешенная величина определится по следующей формуле:

И дисперсия весового среднего определяется формулой

где k_i = P_i

Так как то можно получить следующее выражение для дисперсии