Що в ло­гі­ці пре­ди­ка­тів вва­жа­ють фо­р­му­лою?

Оха­ра­к­те­ри­зуй­те ква­н­то­ри за­га­ль­но­стіта іс­ну­ван­ня.

Яким чи­ном від­рі­з­ня­ють ін­ди­ві­д­ні кон­с­та­н­тивідін­д­и­ві­д­них змін­них?

Оха­ра­к­те­ри­зуй­те по­нят­тя „терм”і „пре­ди­кат”.

Практичні завдання і контрольні запитання

Теоретичні питання

Лекція 9. Загальна характеристика і побудова мови логіки предикатів

Тема 3. ЛОГІКА ПРЕДИКАТІВ

(2 год.)

Порівняльна характеристика логіки висловлювань і логіки проедикатів. Алфавіт і визначення правильно побудованої формули логіки предикатів. Символізація міркувань засобами логіки предикатів. Взаємозв’язок кванторів. Побудова розширень універсальних та екзистенційних формул.

Лекція 10. Метод аналітичних таблиць для кванторної логіки. Побудова

контрмоделей(2 год.)

Встановлення значення істинності формул логіки предикатів у деякій заданій інтерпретації.. Загальнозначущі формули. Проблема розв’язуваності. Метод аналітичних таблиць і проблема розв’язуваності. Поняття контрмоделі.

Лекція 11. Логіка предикатів з тотожністю(2 год.)

Відношення тотожності. Багатозначність сполучника є. Розширення виражальних можливостей мови класичної логіки предикатів першого порядку за рахунок нової константи =. Аналіз кванторних виразів принаймні (щонайменше) n, щонайбільше n, точно n. Кількісно визначені квнтори. Властивості відношень. Побудова аналітичних таблиць для логіки предикатів з тотожністю.

Семінар 6(2 год.)

1. Логіка висловлювань і логіка предикатів: порівняльна характеристика. Обмеженість виражальних можливостей мови логіки висловлювань.

2. Алфавіт і визначення правильно побудовагої формули логіки предикатів.

3. Символізація міркувань природної мови засобами логіки предикатів.

4. Взаємозв’язок кванторів.

5. Побудова розширень формул логіки предикатів.

1. У чо­му по­ля­гає спе­ци­фі­ка ло­гі­ки пре­ди­ка­тівпо від­но­шен­ню до ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань?

2. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те ал­фа­віт мо­ви ло­гі­ки пре­ди­ка­тів.

5. Що та­ке ато­ма­р­на(еле­ме­н­та­р­на) фо­р­му­ла?

6. Що та­ке про­по­зи­цій­на фо­р­ма?В яких ви­па­д­ках ато­ма­р­на (еле­ме­н­та­р­на) фо­р­му­ла є си­м­во­лі­ч­ною ре­пре­зе­н­та­ці­єю (а) си­н­гу­ля­р­но­го ви­сло­в­лю­ван­ня? (б) про­по­зи­цій­ної фо­р­ми?

8. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те вза­є­мо­зв'я­зок ква­н­то­рівза­га­ль­но­сті та іс­ну­ван­ня.

9. Ви­ко­ри­с­то­ву­ю­чи пра­ви­ла за­пе­ре­чен­ня ква­н­то­рів, сфо­р­му­люй­те ви­сло­в­лю­ван­ня, що су­пе­ре­чать за­зна­че­ним:

(а) „І­с­нує най­бі­ль­ше про­сте чи­с­ло”;

(б) „Всі сту­де­н­ти скла­да­ють іс­пи­ти”;

(в) „Де­я­кі по­тя­ги не за­пі­з­ню­ю­ть­ся”;

(г) „Жо­д­на гі­по­те­за, що ви­ни­кає на сту­де­нт­сь­ких се­мі­на­рах, не має на­у­ко­вої цін­но­с­ті”.

11.Які вхо­джен­ня змін­ниху фо­р­му­ли ло­гі­ки пре­ди­ка­тів на­зи­ва­ють зв'я­за­ни­ми і ві­ль­ни­ми?

12.Для ко­ж­но­го ква­н­то­ра ви­зна­ч­те об­ласть йо­го дії; для ко­ж­ної змін­ної вка­жіть її ві­ль­ні та зв'я­за­ні вхо­джен­ня.

(а) "х(Рх É Qx);

(б) "x(Рх É Qx) & $уRхy;

(в) "x((PxÉQy) v $ yRxy);

(г) $x"у(Gxy v « xPyxz);

(д) "х(РхÉ $у(Qy & Rxy));

(е) "х"уР­ху É Qxz.

13. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те по­нят­тя „за­к­ри­та фо­р­му­ла” і „ві­д­к­ри­та фо­р­му­ла”.

14. Ви­зна­ч­те, які із пе­ре­лі­че­них ви­ра­зів є фо­р­му­ла­ми ло­гі­ки пре­ди­ка­тів. Пі­с­ля цьо­го вста­но­віть фо­р­му­ли, що є си­м­во­лі­ч­ни­ми за­пи­са­ми ви­сло­в­лю­вань, і фо­р­му­ли, що є си­м­во­лі­ч­ни­ми за­пи­са­ми про­по­зи­цій­них форм. По­яс­ніть свій ви­бір.

(а) $x₁P₁² x₁x₂ É "x₂(P₁¹x₂ v P₁²x₁x₂);

(б) "x₁P₁² x₁ v Q₁²x₁x₂;

(в) "x₁$x₂(P₁²x₁x₂ & ("x₂Q₁¹x₂ v (P₁¹a₁ É ~ Q₂²x₁a₂)));

(г) "x₁ É (P₁¹a v Q₁¹x₁).

15. Яку си­ту­а­цію на­зи­ва­ють ко­лі­зі­єю змін­них?

16. Яким чи­ном ква­н­то­ри за­га­ль­но­сті та іс­ну­ван­ня мо­ж­на ­тлу­ма­чи­ти за до­по­мо­гою ло­гі­ч­них спо­лу­ч­ни­ків кон'­ю­н­к­ції і ди­з'ю­н­к­ції?

17. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те уні­вер­са­ль­не та ек­зи­с­те­н­цій­не роз­ши­рен­няфо­р­мул ло­гі­ки пре­ди­ка­тів.

18. Сфо­р­му­люй­те роз­ши­рен­ня на­ве­де­них фо­р­мул (1)-(10) для уні­вер­су­мів

U: а) {а}; б) {a, b}; в) {a, b, c}.

(1) "xKx;

(2) $хКх & Р;

(3) "хKx É $xGx;

(4) "x(Gx«P) v "хНх;

(5) На v $хGх;

(6) $x(Kx v Hx);

(7) "хКх « $х(Кх & ~Нх);

(8) ~"x(Kx & Gx);

(9) ~"хКx & ~"xGx;

(10) ~("xGx « $ x(Hx & ~Kx)).

19. Се­ред за­про­по­но­ва­них двох мно­жин ви­сло­в­лю­вань укра­ї­н­сь­кої мо­ви і фо­р­мул ло­гі­ки пре­ди­ка­тів від­шу­кай­те від­по­ві­д­ні па­ри ко­ре­к­т­них пе­ре­к­ла­дів:

(а) „Всі су­д­ді — юри­с­ти” (Gx, Lx);

(б) „Де­я­кі юри­с­ти — ша­х­ра­ї” (Sx);

(в) „Жо­д­ний су­д­дя не є ша­х­ра­єм”;

(г) „Де­я­кі су­д­ді — ста­рі за ві­ком, про­те — жва­ві” (Ох,Vx);

(д) „Су­д­дя Джонс не ста­рий і не жва­вий” ( j );

(е) „Не всі юри­с­ти — су­д­ді”;

(є) „Де­я­кі юри­с­ти, що є по­лі­ти­ка­ми, — чле­ни па­р­ла­ме­н­ту” (Рх,Сх);

(ж) „Жо­ден член па­р­ла­ме­н­ту не є жва­вим”;

(з) „Всі ста­рі чле­ни па­р­ла­ме­н­ту — юри­с­ти”;

(и) „Де­я­кі жі­н­ки вод­но­час є юри­с­та­ми і чле­на­ми па­р­ла­ме­н­ту” (Wx);

(і) „Жо­д­на жі­н­ка не є вод­но­час по­лі­ти­ком і ха­т­ньою го­с­по­ди­не­ю” (Hx),

(ї) „Де­я­кі жі­н­ки-­юри­с­ти є ха­т­ні­ми го­с­по­ди­ня­ми”;

(й) „Всі жі­н­ки-­юри­с­ти обо­ж­ню­ють яко­гось су­д­дю” (Аху);

(к) „Де­я­кі юри­с­ти обо­ж­ню­ють ли­ше су­д­дів”;

(л) „Де­я­кі юри­с­ти обо­ж­ню­ють жі­нок”;

(м) „Де­я­кі ша­х­раї не обо­ж­ню­ють жо­д­но­го юри­с­та”;

(н) „Су­д­дя Джонс не обо­ж­нює жо­д­но­го ша­х­ра­я”;

(о) „І­с­ну­ють як юри­с­ти, так і ша­х­раї, що обо­ж­ню­ють су­д­дю Джо­н­са”;

(п) „Ті­ль­ки су­д­ді обо­ж­ню­ють су­д­дів”;

(р) „Всі су­д­ді обо­ж­ню­ють ли­ше су­д­дів”.

***

(а) $x(Wx& Сх& Lx);

(6) ~Oj &~Vj;

(в) "х(Gx É ~Sx);

(г) $x(Wx &Lx & Нх);

(д) "x(Ajx É ~ Sx);

(е) "x(Gx É Lx);

(є) ~"x(Lx É Gx);

(ж) "x((Cx & Ox) É Lx);

(з) $x(Lx & Sx);

(u) $x(Lx & Px &Cx);

(і) "x( Wx É ~(Px & Hx));

(ї) "x(Cx É ~"x);

(й) $x(Gx & Ox & Vx);

(к) "x"y((Ayx & Gx) É Gy);

(л) $x(Sx & " y(Axy É ~Ly));

(м) $х$у(Lx &Sy & Axj & Ayj);

(н) "x((Wx & Lx) É $ y(Gy & Axy));

(o) $x(Lx & $y(Wy & Axy));

(n) "x( Gx É " y(Axy É Gy));

(p) $x(Lx & " y(Axy É Gy)).

20. Здій­с­ніть пе­ре­к­лад ви­сло­в­лю­вань за до­по­мо­гою ба­га­то­мі­с­ного пре­ди­ката:

(а) „Андрій шанує Олега”;

(б) „Х­тось шанує Олега”;

(в) „Андрій шанує когось”;

(г) „Олег шанує усіх”;

(д) „У­сі шанують Олега”;

(е) „Х­тось шанує когось”;

(є) „Де­х­то шанує усіх”;

(ж) „У­сі шанують когось”;

(з) „Кожен шанує кожного”;

(и) „Ко­ж­ен шанує се­бе”;

(і) „Де­х­то шанує се­бе”;

(ї) „Ні­х­то не шанує се­бе”;

(й) „Де­х­то не шанує се­бе”;

(к) „Де­х­то не шанує нікого”.

21. Здій­с­ніть пе­ре­к­лад ви­сло­в­лю­вань на мо­ву ло­гі­ки пре­ди­ка­тів:

(а) „Всі олені - сса­в­ці”;

(б) „Де­я­кі аку­ли - без­пе­ч­ні”;

(в) „Жо­д­на ри­ба не є те­п­ло­кро­в­но­ю”;

(г) „Не всі ри­би без­пе­ч­ні”;

(д) „Ре­п­ти­лії і ам­фі­бії не є те­п­ло­кро­в­ни­ми”;

(е) „Де­я­кі при­ма­ти і гри­зу­ни жи­вуть на де­ре­вах”;

(є) „Ті­ль­ки пта­хи лі­та­ють”;

(ж) „Се­ред па­ву­ків ли­ше та­ран­ту­ли і чо­р­ні вдо­ви от­руй­ні”;

(з) „Всі су­м­ча­с­ті (і тіль­ки во­ни) ма­ють ‘ки­ше­ню’ ”;

(и) „Де­я­кі ор­га­ні­з­ми є хре­бе­т­ни­ми, а де­які - мо­лю­с­ка­ми, але жо­д­ний ор­га­

нізм не є хре­бе­т­ним і мо­лю­с­ком вод­но­час”;

(і) „Ні­х­то, окрім дво­но­гих, не є ро­зу­м­ним”;

(ї) „Тва­ри­ни по­во­дять­ся спо­кій­но, як­що за ни­ми не слід­ку­ють”;

(й) „Тва­ри­ни по­во­дять­ся спо­кій­но, тіль­ки як­що за ни­ми не слід­ку­ють”;

(к) „Де­я­кі аку­ли - без­пе­ч­ні ри­би, але не всі без­пе­ч­ні ри­би є аку­ла­ми”;

(л) „Я­к­що Флі­пер - дель­фін і всі дель­фі­ни сса­в­ці, то­ді Флі­пер - сса­вець”;

(м) „Жо­д­ний го­ро­бець не бу­дує гні­з­да, до­ки не знай­де со­бі па­ру”;

(н) „Жо­д­ний хи­жак не є тра­во­їд­ним”;

(о) „Сса­вець із кри­ла­ми - це ле­тю­ча ми­ша”;

(п) „Сса­вець, що має кри­ла - лі­та­є”;

(р) „Жо­д­на ри­ба не має крил, як­що во­на не на­ле­жить до сі­м'ї Exocoetidae”;

(с) „Жо­д­ний без­зу­бий ор­га­нізм не є хи­жа­ком”;

(т) „Не всі хи­жа­ки - м'я­со­їд­ні”;

(у) „І­с­нує ре­п­ти­лія, яка ме­н­ша за со­ба­ку, але бі­ль­ша за ко­та”;

(ф) „Де­я­кі ри­би пла­ва­ють по­ві­ль­ні­ше, ніж лю­ди”;

(х) „І­с­нує та­ка ма­в­па, яка до­гля­дає за всі­ма (і ли­ше та­ки­ми) ма­в­па­ми, що са­мі

за со­бою не до­гля­да­ють”.

Семінар 7(2 год.)