Включение цепи с резистором и конденсатором на синусоидальное напряжение
Включение цепи с резистором и конденсатором на постоянное напряжение (заряд конденсатора)
Из схемы, приведенной на рис. 1.10, следует, что установившаяся составляющая напряжения на конденсаторе uCу = U, а свободная составляющая, очевидно, равна
Рис. 1.10
uCсв = A e-t/τ, τ = RC.
Полагаем, что до замыкания ключа конденсатор не был заряжен (Uс(0-) = 0). На основании законов коммутации uC(0-) = uC(0+) = 0, при t = 0; следовательно:
uC(0) = uCу(0) + uCсв(0) или 0 = U + A, откуда А = -U.
Тогда переходное напряжение на конденсаторе
uC = U (1 - e-t/τ),
а переходный ток в цепи
.
Зависимости напряжений и токов от времени показаны на рис. 1.10. Из них видно, что напряжение на конденсаторе возрастает по экспоненциальному закону от нуля до напряжения источника, а ток уменьшается от начального значения до нуля также по экспоненте. Длительность их изменения определяется постоянной времени τ = RC. Здесь как и в п.1.5.1 время переходного процесса принимается равным t ≈ (3 ÷ 5)τ.
Рис. 1.11
Пусть напряжение источника изменяется по закону
u = Um sin(ωt + ψ).
Установившаяся составляющая напряжения на конденсаторе (см. рис. 1.11) равна:
uCу = -Um XC / Z sin(ωt + ψ – φ – π / 2).
где: 
- полное сопротивление цепи;
XC = 1 / (ωC) – емкостное сопротивление;
φ = -arctg(XC / R) – угол сдвига фаз между установившимся током в цепи и приложенным синусоидальным напряжением.
Свободная составляющая напряжения на конденсаторе
uCсв = A e-t/τ, τ = RC.
Переходное напряжение на конденсаторе
.
Рис. 1.12
Полагая, что uC(0-) = 0, для постоянной интегрирования получим
.
Окончательно напряжение на конденсаторе можно записать в виде
.
Ток в цепи
.
Зависимости переходного напряжения на конденсаторе от времени при различных значениях разностей ψ - φ показаны на рис. 1.12. Их анализ позволяет сделать следующие выводы.
Если в момент включения мгновенное значение установившегося напряжение на конденсаторе равно нулю (ψ – φ – π / 2 = 0), то и свободная составляющая напряжения равна нулю. В цепи сразу устанавливается режим (рис. 1.12 а).
Если в момент включения мгновенное значение установившегося напряжение на конденсаторе имеет наибольшее значение (ψ – φ – π / 2 = π / 2), то переходное напряжение достигает максимального значения приблизительно через половину периода и может приблизиться к удвоенной амплитуде установившегося напряжения, но не превысит его (рис. 1.12 в).