Лекция № 4


Непрерывность функции

№ 4

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Содержание
1. Определение непрерывности функции…………………………………………………………...
2. Непрерывность простейших элементарных функций…………………...........................
3. Арифметические операции над непрерывными функциями…………………..........
4. Суперпозиция непрерывных функций…………………...…………………...…………………..
5. Точки разрыва функции…………………...…………………...…………………...…………………......
6. Классификация точек разрыва функции …………………...…………………...........................
7. Обращение непрерывной функции в нуль…………………...…………………........................
8. Промежуточные значения непрерывной функции…………………...…………………....
9. Непрерывность обратной функции…………………...…………………...…………………..........
10. Ограниченность непрерывной функции на отрезке…………………...………………….
11. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке…...
Равномерная непрерывность функции…………………...…………………...…………………..

 

Определение непрерывности функции. Непрерывность простейших элементарных функций. Арифметические операции над непрерывными функциями. Суперпозиция непрерывных функций. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва функции. Обращение непрерывной функции в нуль. Промежуточные значения непрерывной функции. Непрерывность обратной функции. Ограниченность непрерывной функции на отрезке. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке. Равномерная непрерывность функции.

 

 
 

1. Определение непрерывности функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (сама точка также входит в эту окрестность ).

Пусть . Если переменная получит некоторое приращение (положительное или отрицательное) и примет значение . Тогда и функция получит некоторое приращение и новое значение функции будет равно . Приращение функции выразится формулой .

1.1. Определение непрерывности функции на языке приращений. Если любому достаточно малому приращению аргумента точки соответствует достаточно малое приращение функции , то функция называется непрерывной в точке :

или или .

1.2. Определение непрерывности функции на языке «e-d». Функция называется непрерывной в точке , если для любого найдется такое , что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство :

.

1.3. Определение непрерывности функции на языке последовательностей. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , последовательность значений функции сходится к :

или .

Отметим, что все приведенные определения непрерывности функции в точке являются эквивалентными: если функция является непрерывной в точке по одному из приведенных определений, то она будет непрерывной в точке по двум другим определениям.

1.4. Определение непрерывности функции на промежутке. Пусть функция определена в каждой точке интервала . Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервале.

Если функция определена и при , и при этом предел справа в точке равен значению функции в этой точке:

,

то говорят, что функция в точке непрерывна справа.

Если функция определена и при , и при этом предел слева в точке равен значению функции в этой точке:

,

то говорят, что функция в точке непрерывна слева.

Если функция непрерывна в каждой точке интервале , непрерывна в точке справа, а в точке – слева, то функция называется непрерывной на отрезке .

Важными свойствами обладают функции непрерывные на отрезке.

 

2. Непрерывность простейших элементарных функций

Простейшие элементарные функции – степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, являются непрерывными во всех точках своих областях определений.

2.1. Непрерывность степенной функции. Функция непрерывна в произвольной точке . (Областью определения функции , в зависимости от значения , может являться один из трех промежутков: , или .) Действительно, если , то , и при ; если , то

при .

2.2. Непрерывность показательной функции. Функция непрерывна в произвольной точке . Действительно, так как , то

при .

2.3. Непрерывность логарифмической функции. Функция непрерывна в произвольной точке . Действительно,

при .

2.4. Непрерывность тригонометрической функции синус. Функция непрерывна в произвольной точке . Действительно, из тождества

, (1)

получим

.

Так как и – ограниченная величина, то при .

2.5. Непрерывность тригонометрической функции косинус. Функция непрерывна в произвольной точке . Действительно, из тождества

, (2)

получим

.

Так как и – ограниченная величина, то при .

2.6. Непрерывность тригонометрической функции тангенс. Функция непрерывна в произвольной точке . Действительно, из тождества

,

получим

.

Так как и – ограниченная величина, то при .

Отсюда и из периодичности функции вытекает ее непрерывность во всех точках области определения.

2.7. Непрерывность тригонометрической функции котангенс. Функция непрерывна в произвольной точке . Действительно, из тождества

,

получим

.

Так как и – ограниченная величина, то при .

Отсюда и из периодичности функции вытекает ее непрерывность во всех точках области определения.

Непрерывность обратных тригонометрических функций будет доказана ниже.

 

3. Арифметические операции

над непрерывными функциями

 

Теорема 1. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда их сумма является непрерывной функцией в точке .

Теорема 1 имеет место для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 2. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда их разность является непрерывной функцией в точке .

Теорема 3. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда их произведение является непрерывной функцией в точке .

Теорема 4. Пусть функции и непрерывны в точке . и . Тогда их частное является непрерывной функцией в точке .

Эти теоремы позволяют исследовать на непрерывность сложные функции, расчленяя их на более простые функции.

 

4. Суперпозиция непрерывных функций

Более широкие классы непрерывных функций можно построить с помощью суперпозиции функций, непрерывность которых уже установлены.

Теорема 1. Пусть функция определена в промежутке , а функция – в промежутке , причем область значений функции целиком содержится в промежутке . Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в соответствующей точке , то сложная функция будет непрерывна в точке .

 

5. Точки разрыва функции

Напомним, что точка является точкой непрерывности функции , если выполняются три условия:

1) функция определена в точке ;

2) существует предел ;

3) имеет место равенство .

Если не выполняется хотя бы одно из этих трех условий, то точка не является точкой непрерывности функции . Таким образом, можно определить новое понятие. Точка называется точкой разрыва функции , если имеет место хотя бы одно из следующих условий:

1) функция не определена в точке ;

2) не существует предел ;

3) выполняется неравенство .

Пример 1. Точка является точкой разрыва функции ; точка не принадлежит области определения этой функции и

.

Пример 2. Точка является точкой разрыва функции ; хотя точка принадлежит области определения функции, однако в этой точке не существует предел:

.

Пример 3. Точка является точкой разрыва функции ; хотя в точке существует предел , однако сама функция не определена в этой точке.

Пример 4. Точка является точкой разрыва функции ; хотя точка принадлежит области определения функции и в этой точке существует предел , однако не выполняется равенство , так как

, но .

 

6. Классификация точек разрыва функции

Пусть является точкой разрыва функции и пусть в этой точке существуют конечные пределы и . Если выполнено хотя бы одно из условий:

1) ;

2) ;

3) и ;

4) и ,

то точка разрыва называется точкой разрыва I рода функции . Если является точкой разрыва I рода функции , но выполняется равенство , то точка называется устранимой точкой разрыва функции . Устранимую точку разрыва функции можно превратить в точку непрерывности этой функции, доопределяя функцию в этой точке, если и, переопределяя – если , полагая, в обоих случаях, .

Если – точка разрыва, но не является точкой разрыва I рода функции , то она называется точкой разрыва II рода функции .

Точка разрыва является:

· точкой разрыва II рода для функции в примере 1;

· точкой разрыва I рода для функции в примере 2; но не является устранимой точкой разрыв;

· устранимой точкой разрыва для функции в примере 3;

· устранимой точкой разрыва для функции в примере 4.

 

7. Обращение непрерывной функции в нуль

Отметим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке.

Теорема 2. (Первая теорема Больцано – Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков. Тогда между точками и найдется хотя бы одна точка , в которой функция обращается в нуль.

Приведенная теорема имеет простой геометрический смысл. График непрерывной функции , соединяющий точки и , где , (рис. 1) и , (рис. 2), хотя бы один раз пересекает ось абсцисс.

Рис. 1 Рис. 2

 

Первая теорема Больцано – Коши имеет многочисленное приложение. Например, ее можно использовать для доказательства существования решения уравнений.

Пример 1. Докажем, что уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке .

Действительно, функция является непрерывной на отрезке и на концах данного отрезка принимает значения: – противоположных знаков. Поэтому, по первой теореме Больцано – Коши найдется точка такая, что . Это означает, что является корнем данного уравнения: .

 

8. Промежуточные значения непрерывной функции

Первая теорема Больцано – Коши является частным случаем следующей теоремы.

Теорема 3. (Вторая теорема Больцано – Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает неравные значения: , , . Тогда, какого не было число , лежащее между и , найдется точка , лежащее между и : , что .

Из этой теоремы следует, что если непрерывная функция на некотором промежутке (отрезок, интервал, полуинтервалы) принимает некоторые два различных значения, то она в качестве значений принимает и все значения, лежащие между ними.

 

9. Непрерывность обратной функции

9.1. Понятие обратной функции. Пусть дана функция , с областью определения и областью значений . Эта функция каждому ставить в соответствие одно значение .

Пусть – произвольное значение. Тогда в области определения функции найдется такое значение , при котором наша функция принимает именно значение : . Таким образом, определено соответствие: . Это соответствие составляет функцию , если оно однозначно, то есть каждому соответствует только одно : . Однако, соответствие не всегда является однозначным. Поэтому некоторым (возможно и, всем) значениям найдется два и более значений , при которых . Такое соответствие составляет многозначную функцию . Функция (однозначная или многозначная) с областью определения и областью значений , которая каждому ставит в соответствие все такие значения , что , называется обратной функцией для функции . Таким образом, обратная функция, вообще говоря, является многозначной функцией.

Пример 1. Для функции обратной является .

Пример 2. Для функции обратной является .

Пример 3. Для функции обратной является двузначная функция . Область определения обратной функции является . Каждому соответствуют два значения . Как правило, в этом случае, вместо одной двузначной функции рассматривают две однозначные функции и , которые называются ветвями обратной функции. Для ветви областью значений является , а для ветви .

9.2. График обратной функции. Если функция является обратной функций для функции , то, очевидно, графики обеих функций совпадают. Нам привычно обозначать аргумент функции обозначать буквой , а функцию – буквой . Поэтому и обратную функцию представим в привычном обозначении . График обратной функции получается из графика самой функции при его зеркальном отображении относительно биссектрис первой и третьей четвертей (рис. 3).

Рис. 3

9.3. Существование обратной функции. Достаточное условие существования однозначной обратной функции для функции приводится в следующей теореме.

Теорема 4. Пусть функция определена, строго монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в промежутке . Тогда в соответствующем промежутке значений этой функции существует однозначная обратная функция , которая строго монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в промежутке .

 

10. Ограниченность непрерывной функции на отрезке

Непрерывные функции, определенные на отрезке обладают определенными свойствами. Выполнения этих свойств не гарантируются, если область определения функции не является отрезок (то есть, когда область определения функции является интервал, полуинтервалы, полуоси и числовая ось).

Теорема 5. (Первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда она на этом отрезке ограничена и снизу и сверху, то есть существуют такие числа и , что

для всех .

 

11. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке

 

Пусть функция определена на промежутке . Будем говорить, что число является наибольшим значением функции на промежутке , если для любого выполняется неравенство . Аналогичным образом определяется и наименьшее значение. Будем говорить, что число является наименьшим значением функции на промежутке , если для любого выполняется неравенство .

Если область определения функции является интервалом, то функция может не достигать своего наибольшего (наименьшего) значения. Например, функция определена и непрерывна на интервале . Наименьшее из чисел , для которых выполняется неравенство , является число . Однако ни при каких значениях не выполняется равенство . Следовательно, функция на интервале не достигает своего наибольшего значения. Наибольшее из чисел , для которых выполняется неравенство , является число . Однако ни при каких значениях не выполняется равенство . Следовательно, функция на интервале не достигает своего наименьшего значения.

В рассмотренном примере функция являлась непрерывной, а область определения не являлась отрезком. Рассмотрим теперь пример, когда область определения функции является отрезком, но сама функция не является непрерывной. На отрезке рассмотрим функцию

Наименьшее из чисел , для которых выполняется неравенство , является число . Однако ни при каких значениях не выполняется равенство . Следовательно, функция на отрезке не достигает своего наибольшего значения. Наибольшее из чисел , для которых выполняется неравенство , является число . Однако ни при каких значениях не выполняется равенство . Следовательно, функция на отрезке не достигает своего наименьшего значения.

Этот вопрос решается однозначно, если область определения функции является отрезком, а сама функция непрерывной.

Теорема 6. (Вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда она на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, то есть существуют такие , что

для всех .

 

12. Равномерная непрерывность функции

 

Приведем определения непрерывности функции в точке и на промежутке.

Определение непрерывности функции на языке «e-d». Функция называется непрерывной в точке , если для любого найдется такое , что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство :

.

Определение непрерывности функции на промежутке. Пусть функция определена в каждой точке промежутка . Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка:

.

Естественно, если промежуток содержит граничные точки, то в этих точках понимается односторонняя непрерывность.

Из приведенных определений следует, что если функция непрерывна в каждой точке промежутка , то даже для фиксированного величины будут различными для различных . Непрерывные функции, для которых величины не зависят от , составляют важный класс непрерывных функций.

Определение равномерной непрерывности функции. Функция называется равномерно непрерывной на промежутке , если для любого найдется такое , что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство :

.

Теорема 7. (Теорема Кантора). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда она на этом отрезке является равномерно непрерывной.