Средняя квадратическая, предельная и относительная ошибки

Классификация и свойства ошибок геодезических измерений

Элементы теории ошибок измерений

Восприятие органами чувств явлений окружающего мира происходит у человека неполно и неточно (расстояние и вес «на глаз»). Поэтому для уточнения и расширения представлений о мире он использует различные инструменты и приборы (определение формы и размеров Земли – космические аппараты, измерение углов – теодолит, расстояний – дальномер и т.д.). Но и такие измерения не идеальны. Поэтому истинное значение измеренных величин, за редким исключением, нам неизвестно, хотя к нему мы все время приближаемся по мере совершенствования приборов и навыков. Определением величины ошибок и их свойств занимается специальная дисциплина «Теория ошибок геодезических измерений».

В практике различают 3 вида ошибок:

а) грубые – получаются в результате грубых просчетов и неисправности приборов (просчет количества лент в длине линии, ошибка в отсчете десятков градусов на лимбе или числа дециметров на рейке). Они могут быть обнаружены и исключены путем повторного измерения величины.

б) систематические – проявляются регулярно, обязательно в каждом измерении и обязательно одинаковы по модулю и знаку, действуют по одному принципу. Они вызваны в основном плохой юстировкой или неисправностью инструментов и приборов (20-ти метровая лента короче на 1см, коллимационная ошибка в теодолите, угол i (величина х) в нивелире и др.). Исключаются из результатов измерений введением поправок и специальной методикой измерений (углы β при КП и КЛ, при нивелировании плечи делают равными, в длины линий вводят поправки за компарирование).

в) случайные – являются следствием несовершенства органов чувств человека и недостаточной точности применяемых инструментов и приборов. Они не могут быть исключены из результатов измерений, но их влияние может быть ослаблено на основе изучения их свойств.

Если Х – истинное значение измеряемой величины, ℓ – измеренное значение, то случайная ошибка ∆ выражается формулой:

∆=ℓ-Х.

Если одна и та же величина измерена несколько раз, то и количество ошибок будет большим. Получается ряд ошибок. Если измерения производятся приборами одинаковой точности, наблюдателями одинаковой квалификации, в одинаковых окружающих условиях, то они называются равноточными. При нарушении указанных условий измерения называются неравноточными.

В основу изучения случайных ошибок положено 4 их свойства, выведенных из изучения рядов ошибок равноточных измерений.

1. При данных условиях измерений случайные ошибки не могут превосходить по абсолютной величине известного предела (свойство ограниченности).

2. Одинаковые по абсолютной величине положительные и отрицательные случайные ошибки равно возможны, одинаково часто встречаются в ряду измерений.

3. Чем больше абсолютная величина случайной ошибки, тем реже такая ошибка встречается в ряду измерений.

4. Среднее арифметическое из случайных ошибок равноточных измерений одной и той же величины имеет тенденцию стремиться к 0 при неограниченном возрастании числа измерений (свойство компенсации). Математически это записывается так

; - знак гауссовой суммы,

при n→ ∞.

Если соблюдены все четыре свойства в ряде ошибок, то говорят о «нормальном распределении».

5. Если

∆₁ ∆_n – 1-й ряд измерений

∆₁' ∆_n' – 2-ой ряд измерений,

то 4-ое свойство распространяется и на сумму попарных произведений, то есть

,

при n→ ∞.

Для суждения о степени точности ряда измерений нужно иметь среднее значение ошибки. Среднее арифметическое из измерений нельзя брать, так как из-за разных знаков ряд с отдельными крупными ошибками может оказаться точнее ряда с меньшими ошибками:

25,5; 24,5; 25,0 – m_ср.=0 Х=25м.

25,04; 24,97; 25,04 – m_ср.=0,02 м

Если взять ошибки по абсолютной величине, то два ряда измерений с одинаковыми по абсолютной величине средними ошибками могут быть

ошибочно приняты равноточными и наличие крупных ошибок не будет отражено:

Поэтому в качестве критерия для оценки точности ряда измерений используют не зависящую от знаков отдельных ошибок и рельефно показывающую наличие крупных ошибок среднюю квадратическую ошибку. Квадрат этой ошибки принимают равным среднему арифметическому из квадратов отдельных случайных ошибок, то есть:

– формула Гаусса, где Δ – истинная ошибка измерения.

По теории вероятностей подсчитано, что при большом количестве измерений случайная ошибка одного измерения превосходит m.

∆>1m – в 32 случаях из 100 измерений.

∆>2m – в 5 случаях из 100 измерений.

∆>3m – в 3 случаях из 1000 измерений.

Поэтому утроенную среднюю квадратическую ошибку считают предельной

∆_lim=3m.

Часто точность произведенных измерений лучше оценивается относительной ошибкой, то есть отношением абсолютной ошибки к измеряемой величине, выражаемой правильной дробью с числителем, равным 1. Эта ошибка характеризует в основном линейные измерения и измерения площади участков. Например, в замкнутом полигоне теодолитного хода линейные измерения оцениваются относительной ошибкой ; где – абсолютная ошибка, Р – периметр полигона.