Прямая и обратная геодезические задачи
Связь дирекционных углов и горизонтальных углов полигона
β1'
1
β1
2 β2'
β5 β 2
β5' 5
β4 β 3 3 β3'
β4' 4
Рис. 10. Схема теодолитного хода
Ломаная линия с закрепленными на местности точками излома и с измеренными длинами сторон и горизонтальными углами называется полигоном. Полигоны могут быть разомкнутые и замкнутые (на рис.10 замкнутый полигон). Точки полигона закрепляют временными знаками – деревянными кольями.
β1, β2…-внутренние углы – правые; β1´, β2´…- внешние углы – левые.
Зная дирекционный угол одной стороны полигона, можно всегда вычислить по горизонтальным углам дирекционные углы всех остальных сторон.
α1-2 – дано, β1, β2…-измерены.
α1-2
2 α2-3
3 α2-3
β2
α1-2 α3-4
β3
β1 на т. 4
Рис. 11. Связь последующего и предыдущего дирекционных углов полигона
Из рис. 11 видно, что α2-3= α1-2 +180˚ - β1
α3-4= α2-3 +180˚ - β2
……………………
αn= αn-1 +180˚ - βn - формула для правых углов.
Так как βправ.=360˚-β´лев., то для левых углов αn= αn-1 + βn´-180˚.
Прямая геодезическая задача заключается в том, что по известным координатам одной точки, дирекционному углу и расстоянию до другой определяют координаты последней. При вычислениях чаще всего дирекционные углы переводят в румбы. Прямая геодезическая задача решается и при вычислении координат вершин полигонов.
Дано: х1; у1 – координаты начальной точки; α1-2; α2-3; α3-4; α4-5; α5-1 – дирекционные углы сторон полигона. d1-2; d2-3………………..d5-1 – горизонтальные проложения сторон полигона. Найти: х2 и у2; х3 и у3…………..х5 и у5. Разница между координатами соседних точек называется приращением координат: х2 – х1=Δх1-2; у2 – у1=Δу1-2. Отсюда х2=х1+Δх1-2; у2=у1+Δу1-2. Из треугольника следует (рис. 12): Δх1-2=d1-2∙cosr1-2; Δу1-2= d1-2∙sinr1-2.
Из рис. 13 следует: х3=х2+Δх2-3; у3=у2+Δу2-3; Δх2-3=d2-3∙cosr2-3;
Δу2-3= d2-3∙ sinr2-3.
Перейдем к общему случаю: хn=хn-1+Δхn; уn =уn-1+Δуn; Δхn= dn∙cosrn; Δуn= dn sinrn.
При вычислениях учитываются знаки приращений координат в зависимости от четверти, в которую направлена линия (см. выше). Если вместо румбов использовать дирекционные углы, то знаки перед приращениями координат получаются сами собой.
Х
2
3
1 Δх1-2 1
х2
х1
Δу1-2
4 у2 У
5 у1
Рис. 12. Решение прямой геодезической задачи для линии 1-2
Х
2
Δх2-3
3
х3
Δу2-3
х2
У
у2 у3
Рис. 13. Решение прямой геодезической задачи для линии 2-3
Координаты n – ой точки полигона можно выразить и через координаты первой точки:
х2=х1+Δх1-2;
х3=х2+Δх2-3=х1+ (Δх1-2+ Δх2-3);
х4=х3+Δх3-4= х1+ (Δх1-2+ Δх2-3+ Δх3-4);
х5=х4+Δх4-5= х1+ (Δх1-2+ Δх2-3+ Δх3-4+Δх4-5);
…… хn= х1+ и уn=у1+ .
и – суммы приращений координат.
Отсюда запишем:
хn - х1=
уn - у1=
В случае замкнутого полигона, когда, обойдя все вершины поочередно, мы возвращаемся в исходную, хn - х1=0 и уn – у1=0. Следовательно, для замкнутого полигона сумма приращений координат по обеим осям равна нулю.
теор.=0 и теор.=0.
Однако в связи с ошибками в угловых и линейных величинах эта сумма будет несколько отличаться от 0. Мы возвратимся не в точку 1, а в 1΄
(рис. 14).
Полученная разница в суммах приращений координат называется невязкой:
изм.=fх≠0 – невязка по х;
изм.=fу ≠0 – невязка по у.
Для оценки точности полигона вычисляют абсолютную невязку:
(1 - 1΄)=fабс.= ,
а затем относительную ошибку:
fотн.= ; Р – периметр.
Х 2
fу
1
fабс. fх 3
1'
5 4
У
Рис. 14. Виды невязок в полигоне
Если условие неравенства выполняется, полученную невязку по осям координат распределяют в вычисленные приращения в виде поправок с обратным невязке знаком, пропорционально значениям горизонтальных проложений: большую поправку в большее значение проложения.
Обратная геодезическая задача заключается в вычислении дирекционного угла и горизонтального проложения линии, по известным координатам ее начальной и конечной точек. Из предыдущих рисунков видно, что
d= ; tgr= ; r=arctgr; d= = .
Дирекционный угол находят по полученному румбу, учитывая четверть, в которую направлена прямая. Четверть определяется по знакам приращений координат:
1 четверть α=r; 2 четверть α=180° - r;
3 четверть α=r+180°; 4 четверть α=360° - r.
6.Топографические карты и планы