Сравнения
Теорема 1.6.1. Пусть m – натуральное число. Для любых целых чисел a и b следующие условия равносильны:
1. a и b имеют одинаковые остатки от деления на m;
2. a – b делится на m, то есть a – b = m × q, для подходящего целого q;
3. a = b + m × q для некоторого целого q.
. Пусть a = m × q1 + r, b = m × q2 + r, 0 £ r < m, 
. Тогда a – b = m × q1 – m × q2 = m × (q1 – q2) Þ (a – b) 
m.
2
. (a – b) m Þ a – b = m × q, q Î Z, Þ a = b + m × q.
3
. Пусть a = b + m × q, a = m × q1 + r1, b = m × q2 + r2, 0 £ r1, r2 < m, 
. Тогда m × q1 + r1 = m × q2 + r2 + m × q Þ r1 – r2 = m × (q2 + q – q1) Þ 
Þ 
.
Определение 1.6.1. Целые числа а и b называются сравнимыми по модулю m, если они удовлетворяют условиям теоремы 1.6.1. Этот факт обозначают формулой a º b (mod m) или a º b (m). Данное соотношение между целыми числами называют сравнением по модулю m.
Пример 1.6.1. – 6 º 9 º 14 º 24 º 39 º 4 (mod 5).·