Регресійна модель– запис виявленого зв’язку між результативним показником і факторами у вигляді рівняння, коли результуючий показник має випадкову складову, а фактори – детерміновані.

Теоретичною лінією регресії називається лінія, навколо якої групуються крапки кореляційного поля і яка вказує на основну тенденцію зв’язку.

По напрямку зв’язки розрізняють:

- пряма регресія – виникає за умови, якщо зі збільшенням або зменшенням незалежного показника значення залежного показника відповідно збільшується або зменшується;

- зворотна регресія – виникає за умови, якщо зі збільшенням або зменшенням незалежного показника значення залежного показника відповідно зменшується або збільшується.

Регресійний аналіз часто обмежується простим зв’язком між одним факторним і результативним показниками. Але у випадках, коли дуже важко встановити закономірний зв’язок стає необхідним використання множинної регресії.

Таким чином, однією із проблем побудови регресійної моделі є її розмірність, тобто визначення числа факторних показників, що включаються в модель. Їхнє число повинне бути оптимальним. Скорочення розмірності за рахунок виключення другорядних факторів дозволяє одержати більше якісну модель. У той же час побудова моделі малої розмірності може привести до того, що вона буде недостатньо точною.

3.2 Відбір факторів для проведення аналізу

Для вирішення проблеми визначення числа факторних ознак, що включаються в модель можливе скорочення розмірності за рахунок виключення другорядних факторів. Але тоді виникає проблема точності моделі, що описує об’єкт. Практика виробила певний критерій, що дозволяє встановити оптимальне співвідношення між числом факторних показників, що включаються в модель, і обсягом досліджуваної сукупності. Відповідно до даного критерію число факторних ознак повинне бути в 5 разів менше обсягу досліджуваної сукупності.

Складність і взаємне переплетення окремих факторів, що обумовлюють досліджуване економічне явище, можуть проявлятися в мультиколінеарності.

Мультиколінеарність – тісний зв’язок факторів між собою в економічних процесах, описуваних багатофакторними залежностями.

Наявність мультиколінеарності між факторами приводить до наступних негативних наслідків:

1. Перекручуванню величини параметрів моделі, які мають тенденцію до завищення.

2. Зміні змісту економічної інтерпретації коефіцієнтів регресії.

3. Ускладненню процесів визначення найбільш істотних факторних ознак.

Причинами виникнення мультиколінеарності між факторами можуть бути:

1. Факторні ознаки характеризують ту саму сторону процесу, наприклад, не рекомендується включати одночасно в модель показники обсягу виробленої продукції й середньорічної вартості основних фондів, тому що вони обидва характеризують розмір підприємства.

2. Використання у якості факторних ознак таких показників, сумарне значення яких являє собою майже постійну величину.

3. Факторні ознаки, що представляють собою складені елементи один одного.

4. Факторні ознаки, за економічним змістом дублюючі один одного.

Для усунення мультиколінеарності факторів процесу що моделюється необхідно виконати перевірку виконання наступних вимог:

1. Дотримання незалежності по об’єктах спостережень.

2. Факторні й результативні показники повинні відповідати нормальному закону розподілу:

, (3.1)

де: - мінімальне й максимальне значення показника відповідно,

- величина середнього значення показника,

- середньоквадратичне відхилення показника.

Вираз (3.1) є законом 3-х сигм.

3. Повинна дотримуватися статистична однорідність факторних показників і результативного, тобто мінливість показників стосовно свого середнього значення не повинна бути занадто високою. Виконання даної вимоги перевіряється за допомогою коефіцієнта варіації V_y. Коефіцієнти варіації показників не повинні перевищувати 33%:

. (3.2)

4. Між факторними показниками не повинно бути функціонально щільного кореляційного зв’язку. Це означає, що парний коефіцієнт кореляції не повинен перевищувати за модулем (0,7 - 0,8):

(3.3)

де: - середнє квадратичне відхилення між факторним і результативним показниками,

- середнє квадратичне відхилення факторного показника,

- середнє квадратичне відхилення результативного показника.

Щоб усунути мультиколінеарність, необхідно виключити з моделі одну або декілька лінійно зв’язаних факторних ознак, або перетворити вихідні факторні ознаки в нові, укрупнивши їх. Питання про те, який з факторів варто відкинути, зважується на основі якісного й логічного аналізів досліджуваних фінансово-економічних показників. Рішення щодо усунення або заміни фактора може бути прийнято експертним шляхом.

3.3 Визначення регресійної функції. Оцінка якості регресійної моделі

Для визначення типу регресійної функції проводиться аналіз емпіричних даних по наступних напрямках:

1. Визначення напрямку зв’язку.

2. Визначення зміни напрямку зв’язку досліджуваної сукупності (чи є залежність монотонною).

3. Визначення характеру змін: рівномірно прискорюваних або що вповільнюються (лінійного або нелінійного характеру).

Необхідні, для визначення типу функції, відомості одержують із емпіричного матеріалу. Висновок про напрямок і форму зв’язку (аналітичному вираженню) можна одержати шляхом паралельного порівняння рядів показників, а також із графічного аналізу.

У наступній таблиці наведені типи функцій, що використовуються найбільше часто для опису парних та багатофакторних залежностей.

У таблиці прийняті наступні позначення:

а₀ – довільний член регресії,

а₁ – коефіцієнт регресії.

Таблиця 3.2 – Типи регресійних функцій

Найменування	Функція	Випадок використання
Лінійна	,	X і Y зростають приблизно в арифметичній прогресії.
Гіперболічна	,	Зв’язок між X і Y зворотний.
Показова	,	Логарифми Х зростають приблизно в арифметичній прогресії.
Параболічна		X збільшується в арифметичній прогресії, а Y значно швидше.
Ступенева
Логістична		Відношення приростів логарифмів Х є постійною величиною.

З наведених форм зв’язку вибирають за формальними критеріями апроксимації одну. Для цього рекомендується використовувати один із двох критеріїв, що характеризують середню помилку апроксимації функції:

1. Показник середньої помилки апроксимації:

,

де: n – число значень досліджуваного показника,

- i–е значення досліджуваного показника,

- вирівняне по функції i–е значення досліджуваного показника.

2. Показник середньої квадратичної помилки:

,

де: k – число факторних ознак.

Застосування зазначених критеріїв є досить надійним способом відбору адекватних математичних моделей, при цьому значення помилки апроксимації не повинне перевищувати 12% - 15%.

Вірогідність побудованої регресійної моделі можна перевірити за допомогою коефіцієнта детермінації (R²):

, , (3.4)

де - значення параметра Y, розраховане відповідно до регресійної моделі.

Коефіцієнт детермінації показує якою мірою варіація результативного показника обумовлена впливом факторних показників.

Якщо , то лінія регресії точно відповідає всім спостереженням.

Колиможна стверджувати, що видимий зв’язок між X і Y є відсутній.

Якщо R² має нечітко виражене граничне значення (наприклад, 0.5), то в таких випадках зручно використовувати критерій Фішера або F-Тест.

При проведенні F-Тесту будемо вважати нульовою гіпотезою те, що значення R² отримане випадково й між величинами немає зв’язку.

Порядок перевірки моделі на адекватність за критерієм Фішера такий:

1. Розрахунок величини F-відносини:

(3.5)

2. Вибір користувачем рівня значимості =0,05 або =0,01.

3. По статистичних таблицях F-розподілу знаходимо граничне значення F_кр при v₁=( k-1) і v₂=( n-k) ступенях волі.

Якщо розраховане значення , то відкидається нульова гіпотеза з ризиком помилки не більше, ніж у випадків.

Потім провадитися оцінка значимості коефіцієнтів регресії за допомогою t-критерію Ст’юдента:

. (3.6)

Параметр моделі зізнається статистично значимим, якщо ,

де - рівень значимості критерію перевірки гіпотези про рівність нулю параметрів, що вимірюють зв’язок (задається користувачем),

- число ступенів волі, що характеризує число вільно елементів сукупності, що варіюють.

Після оцінки значимості всіх коефіцієнтів регресії з моделі виключається той фактор, коефіцієнт при якому є не значимим й має найменше значення критерію.

Таким чином, при виборі кращої регресійної моделі варто керуватися такими принципами:

1. Модель повинна бути адекватною за F-критерієм Фішера.

2. Коефіцієнти регресії повинні бути статистично значимі (задовольняти t-критерію Ст’юдента).

3. Обрана математична функція повинна мати мінімальну помилку апроксимації серед всіх розглянутих рівнянь регресії.

При цьому можливі наступні варіанти:

1. Побудована модель на основі перевірки за F-критерієм Фішера адекватна, і всі її коефіцієнти значимі. Така модель може бути використана для прийняття рішень і здійснення прогнозів.

2. Модель за F-критерієм Фішера адекватна, але частина коефіцієнтів регресії незначима. У цьому випадку модель придатна для прийняття рішень, але не повинна використовуватися для прогнозування. Використання моделі для прогнозування можливо після виключення факторів, коефіцієнти яких є незначимі.

3. Модель за F-критерієм Фішера адекватна, але всі коефіцієнти регресії є незначимі. Така модель повністю вважається неадекватною.

Параметри рівняння регресії розраховуються за методом найменших квадратів.

Заповнити вікно діалогу за зразком (рис. 3.1):

Рисунок 3.1- Вікно діалогу «Описательная статистика»

У якості вхідного інтервалу виділяємо таблицю з найменуваннями стовпців (В2:D14), обов’язково встановлюємо прапорець «Метки в первой строке». Excel використовує ці мітки для створення заголовків у вихідній таблиці. Виділяємо прапорець «Итоговая статистика».

Після натискання кнопки ОК, будуть отримані наступні результати, як показано на рис.3.2.

Рисунок 3.2 – Описова статистика показників

За результатами описової статистики для аналізу будуть використовуватися наступні показники:

1. Середнє значення – являє собою координату показника, щодо якої групуються всі значення ряду даних.

2. Стандартне відхилення – являє собою позитивне значення кореня квадратного з дисперсії показника.

3. Мінімальне значення – являє собою найменше значення показника.

4. Максимальне значення – являє собою найбільше значення показника.

У відповідність із законом 3-х сигм (формула 3.1) зробимо перевірку показників на відповідність нормальному закону розподілу.

Для цього необхідно в чарунку В16 за допомогою функції ЕСЛИ ввести формулу (3.1):

=ЕСЛИ(И(B12>=B3-3*B7;B13<=B3+3*B7);"розподіл нормальний";"розподіл інший").

Заповнити вікно діалогу за зразком (рис. 3.3 ):

Рисунок 3.3- Вікно функції ЕСЛИ

В чарунки D16, F16 скопіювати вираження чарунки В16. Як видно з рис.2.12 всі фактори мають нормальний закон розподілу, та можуть бути використані для побудови регресійної моделі.

2. Повинна дотримуватися статистична однорідність факторних показників і результативного. Виконання даної вимоги перевіряється за допомогою коефіцієнта варіації V_y. Коефіцієнти варіації показників не повинні перевищувати 33%.

Для перевірки даної умови необхідно ввести в чарунку В17 формулу (3.2): =B7/B3, потім скопіювати вираження в чарунки D17 і F18та встановити відсотковий формат цих чарунок. Як видно з рис. 3.2 статистична однорідність дотримується для всіх показників. Це означає, що результати моделювання будуть досить точними.

3. Між факторними показниками не повинно бути функціонально щільного кореляційного зв’язку. Це означає, що парний коефіцієнт кореляції не повинен перевищувати за модулем приблизно 0,7 – 0,8.

Для перевірки даної умови необхідно виконати команду Сервис – Анализ данних – Корреляция. Заповнити вікно діалогу за зразком:

Рисунок 3.4- Вікно діалогу «Корреляция»

У результаті виконання даного діалогу будуть отримані наступні результати (рис.3.5)

Рисунок 3.5- Коефіцієнти кореляції

Як видно з рис. 3.5 між факторними показниками коефіцієнт кореляції склав - 0,95. Даний показник є зависоким, це означає, що між факторами може бути функціональний зв’язок. Але з приводу того, що у прикладі аналізується вплив всього двох факторів на результативний показник, то ці фактори можуть бути використані для побудови регресійної моделі.

Для побудови регресійної моделі необхідно виконати наступні команди: Сервис – Анализ данних – Регрессия.Заповнити вікно діалогу за зразком (рис.3.6.):

Рисунок 3.6 – Вікно діалогу «Регрессия»

У результаті виконання діалогу будуть отримані наступні дані (рис.3.7):

Рисунок 3.7 – Регресійна статистика

На підставі коефіцієнтів, отриманих у результаті регресійного аналізу, становимо рівняння регресії:

Y=306,45+0,21x₁+34,09x₂

Зробимо оцінку значимості регресійної моделі.

Множинний коефіцієнт детермінації R² близький до одиниці та склав 0,962. Це означає, що лінія регресії точно відповідає всім спостереженням, і є достовірною.

Розглянемо технологію перевірки моделі на адекватність на основі F-критерію Фішера.

У результаті отримано наступні коефіцієнти еластичності для показників:

Обсяг реалізації продукції – 24,64%,

Витрати на рекламу – 34,05%.

Аналіз приватних коефіцієнтів еластичності показує, що за абсолютним приростом найбільший вплив на показник прибутку чинить показник витрат на рекламу, тобто підвищення витрат на рекламу на 1% приводить до зростання показника прибутку на 34,05%. Підвищення показника обсягів реалізації продукції на 1% підвищує показник прибутку на 24,64%.

3.5 Прогнозування значень економічних показників на основі регресійних моделей у Microsoft Excel

Побудовані регресійні моделі можна використовувати не тільки для аналізу економічних явищ і процесів, але і для прогнозування заснованих на екстраполяції заданих ознак. Застосування таких методів доцільно у випадках стійкої екстраполяційної спрямованості досліджуваного явища. Тобто, коли можна припустити, що діяльність у минулому мала певну тенденцію, яку можна очікувати в перспективі, наявній інформації досить для внесення можливих коректив і виявлення статистично достовірних залежностей.

Екстраполяція– прогнозування тенденції розвитку економічного показника на певний період упередження.

Період упередження – відрізок часу від моменту, для якого є останні статистичні дані про досліджуваний об’єкт, до моменту, до якого ставиться прогноз.

Період упередження варто планувати принаймні в 2 рази коротше, ніж період спостереження.

Екстраполяція дає можливість одержати крапкове значення прогнозу. Точний збіг фактичних даних і прогностичних крапкових оцінок, отриманих шляхом екстраполяції кривих, що характеризують тенденцію, має малу ймовірність. Виникнення таких відхилень пояснюється наступними причинами:

1. Обрана для прогнозування крива не є єдино можливою для опису тенденції. Можна підібрати таку криву, що дає більш точний результат.

2. Виконання прогнозу здійснюється на підставі обмеженого числа вихідних даних. Крім того, кожний вихідний рівень має ще випадковий компонент. Тому й крива, по якій здійснюється екстраполяція, буде містити випадковий компонент.

Будь-який статистичний прогноз носить наближений характер. Тому доцільно визначення довірчих інтервалів прогнозу. Величина довірчого інтервалу визначається в такий спосіб:

, (3.8)

де - середня квадратична помилка рівняння регресії;

- значення результуючої ознаки, отримане по рівнянню регресії;

- визначається відповідно до рівня значимості по t – розподілу Ст’юдента.

Період упередження повинен бути в три рази коротше періоду спостережень.

При прогнозі необхідно враховувати наступні опорні моменти.

1. До початку прогнозування необхідно визначити спрямованість прогнозу та його мету.

2. Варто представити перелік можливих рішень (управлінський рівень рішень), які можуть бути прийняті на основі прогнозу.

3. Для визначення обмежень необхідно обумовити необхідну точність прогнозу.

4. Деякі рішення небажано приймати навіть у тих випадках, коли ймовірність здійснення прогнозу 90-95 %, тому що занадто велика ціна помилки.

Однак є рішення, які можна приймати при значно менших ймовірностях здійснення прогнозу.

5. При оцінці вірогідності прогнозу необхідно визначити ті зміни, які можуть відбутися й вплинути на розвиток подій.

6. Після визначення джерел інформації встановлюються цінність минулого досвіду (ретроспективний аналіз), швидкість і обсяг поточних змін.

Побудуємо прогноз показника прибутку залежно від показників (змінні витрати на од. продукції, торговельна націнка на од. продукції).

По отриманому рівнянню регресії спрогнозуємо результуючий фактор на два періоди упередження, припускаючи обсяг реалізації продукції в першому періоді – 1500 тис. грн.., в другому – 1600 тис грн., витрати на рекламу в першому періоді – 10 тис. грн.., в другому – 10,5 тис грн. Прогнозне значення показника прибутку наведено в табл. 3.4.

Таблиця 3.4 – Прогнозне значення показника прибутку

Для побудови прогнозу та довірчих інтервалів необхідно ввести формули (3.8) як це показано на рис. 3.8.

Рисунок 3.8- Формульний вид прогнозу показника прибутку

3.6 Контрольні питання

1. Дайте визначення регресійного аналізу. Які показники використовуються для регресійного аналізу?

2. У яких випадках зв’язок між показниками є кореляційним?

3. Дайте інтерпретацію значень лінійного коефіцієнта кореляції?

4. Які існують види зв’язків між показниками?

5. Перелічить вимоги, пропоновані до показників у кореляційно-регресійному аналізі. Дайте визначення мультиколінеарності.

6. До яких проблем приводить наявність мультиколінеарності. Перелічить причини виникнення мультиколінеарності.

7. Проаналізуйте типи функцій, що використовуються для побудови регресійної моделі.

8. Які критерії апроксимації використовуються в кореляційно-регресійному аналізі для вибору типу функції процесу що моделюється?

9. За допомогою якого критерію можна оцінити вірогідність регресійної моделі?

10. Як оцінюється значимість коефіцієнтів регресії?

11. Дайте інтерпретацію коефіцієнтів регресії, кореляції, еластичності.

12. Дайте визначення періоду упередження й екстраполяції.

13. З яких причин точний збіг фактичних даних і прогностичних крапкових оцінок є мало ймовірним.

14. Які фактори необхідно враховувати при прогнозі?

15. За яким критерієм перевіряється придатність факторів для прогнозування?

3.7 Практичні завдання

У ході виконання практичного завдання необхідно виконати наступні дії:

1. Зробити відбір факторів при заданих значеннях параметрів.

2. Побудувати лінійну багатофакторну регресійну модель при заданих значеннях вхідних параметрів, перевірити її адекватність.

3. Зробити аналіз регресійної моделі по розрахованих коефіцієнтах регресії, кореляції, еластичності.

4. Зробити прогноз економічного показника по побудованій моделі, якщо модель придатна для прогнозування.

5. Роздрукувати результати виконання завдання.

Звіт про хід виконання практичного завдання повинен включати: титульний аркуш, роздруківку ходу виконання завдання, економічні висновки за результатами дослідження набрані в Word.

Варіант №1

Варіант №2

Варіант №3

Варіант №4

Варіант №5

Варіант №6

Варіант №7

Варіант №8

Варіант №9

Варіант №10

Варіант №11

Варіант №12

Варіант №13

Варіант №14

Варіант №15