Пример.
Передаточная функция фильтра: H(z) = 1-2z. Инверсная функция H-1(z) = 1/(1-2z). Частотные спектры функций приведены на рис. 7.1.5.
Рис. 7.1.5.
|
Полюс функции zp = 1/2 и находится внутри единичного круга на z-плоскости.
Перепишем выражение для инверсного фильтра в следующем виде:
H-1(z) = -(1/2z) [1+1/2z+1/(2z)2+...].
Это выражение является разложением в ряд по степеням 1/z и сходится к кругу радиусом 1/2 при z → ¥. Коэффициенты при степенях 1/z являются, соответственно, коэффициентами инверсного фильтра с координатами (-n), т.е. фильтр оперирует с "будущими" отсчетами входного сигнала (см. рис. 7.1.5).
Если диполи функции (7.1.4) представляют собой и диракоиды, и реверсоиды, то обращение будет центроидом и определяется полным рядом Лорана:
H-1(z) = ...+h-2z-2+h-1z-1+h0+ h1z1+h2z2+ ...,
т.е. оператор инверсного фильтра является двусторонним и не обязательно симметричным, как мы обычно рассматривали ранее двусторонние операторы.
7.2. Инверсия импульсного отклика фильтра.
Вычисление коэффициентов инверсного фильтра по значениям каузального (одностороннего) оператора h(n) может быть проведено на основе выражения (7.1.2):
h-1(k)h(n-k) = do(n), (7.2.1)
для чего достаточно развернуть его в систему n-уравнений при n = 0,1,2…, k ≤ n
n = 0: h-1(0)h(0) = 1, h-1(0) = 1/h(0).
n = 1: h-1(0)h(1)+h-1(1)h(0) = 0, h-1(1) = h-1(0)h(1) / h(0).
n = 2: h-1(0)h(2)+h-1(1)h(1)+h-1(2)h(0) = 0, h-1(2) = (h-1(0)h(2)+h-1(1)h(1))/h(0), и т.д.
Продолжая последовательно, можно вычислить любое количество значений коэффициентов инверсного фильтра. Рекуррентная формула вычислений:
h-1(n) = -[
h-1(k)h(n-k)] / h(0). (7.2.2)
Если фильтр деконволюции устойчив и ряд h-1(n) сходится, то появляется возможность разумного ограничения количества членов ряда с определенной ошибкой восстановления исходного сигнала. Метрика приближения Е (квадратичная норма разности) определяется выражением:
Е2 =
[do(n) - h(n) * h-1(n)]2. (7.2.3)
Ошибка восстановления исходного сигнала проявляется со сдвигом на длину прямого оператора фильтра.