Поле и емкость двухпроводной линии с учетом влияния Земли

Рис. 8.

Дано: над плоской поверхностью Земли подвешены горизонтально два цилиндрических провода с параллельными осями (рис. 8).

h₁ – высота подвеса 1-го провода; h₂ – высота подвеса 2-го провода; R – радиусы проводов; d – расстояние между нормальными проекциями осей проводов на поверхности Земли.

По условию задачи требуется: вывести уравнения, связывающие между собой линейные плотности зарядов на проводах и потенциалы проводов. Определить параметры этих уравнений: потенциальные и емкостные коэффициенты, частичные емкости и рабочую емкость линии, если d, h₁ и h₂>>R.

Для решения поставленной задачи можно воспользоваться методом изображений. Распределение поля над поверхностью Земли не изменится, если Землю убрать, а под поверхностью Земли расположить на глубинах h₁ и h₂ провода с линейной плотностью заряда .

После такого преобразования можно считать, что в системе действует электростатическое поле двух пар параллельных разноименно заряженных осей (рис. 9).

Рис. 9.

Поскольку d, h и h >> R, смещением электрических осей относительно геометрических осей можно пренебречь.

Используя принцип наложения, выразим потенциалы проводов через линейные плотности зарядов

Из этих уравнений видно, что потенциалы проводов являются линейными комбинациями линейных плотностей зарядов

или

(1)

Коэффициенты называются потенциальными коэффициентами единицы длины проводов.

, – это собственные потенциальные коэффициенты проводов,

, – это взаимные потенциальные коэффициенты.

;

Как видно, матрица симметричная, значит, для линии выполняется принцип взаимности.

Из системы уравнений (1) выразим τ₁ и τ₂.

(2)

Коэффициенты называются емкостными коэффициентами на единицу длины линии и измеряются в Ф/м. Собственные потенциальные и емкостные коэффициенты всегда положительны.

Взаимные потенциальные коэффициенты положительны, а взаимные емкостные коэффициенты всегда отрицательны.