Обработка ряда прямых наблюдений, содержащих случайные погрешности и получение результата наблюдений

Описание случайных погрешностей и понятие доверительного интервала

Из математической статистики известно, что случайная величина полностью описывается законами распределения. Есть интегральный и дифференциальный законы распределения, причём дифференциальный закон используется чаще в технике.

Обозначения: P(X) – плотность распределения вероятности

Пример 1:

Пусть измеряемая величина – X

P(X)

Дифференциальный закон распределения

Q – истинной значение X

0 X₁ Q X₂ X

Вероятность попадания (1-P) Вероятность попадания (1-P)

Вероятность попадания (Р)

Пусть, хотим знать будет ли результат «сидеть» в интервале

Пример 2: используется чаще

P(δ)

Закон распределения погрешности

δ₁ 0 δ₂ δ

На практике используют числовые параметры законов распределения или моменты.

Моменты:

1) Математическое ожидание M(X)

2) Дисперсия D(X)

Оценка мат. ожидания – это среднее значение измеряемой величины X при достаточно большом числе измерений n.

где n – число измерений, x_i – значение случайной величины.

В качестве характеристики отклонения среднего используется дисперсия:

Из-за своей размерности (невозможно сравнить дисперсию и мат. ожидание, так как у одной размерность X², а у другого – X) дисперсия на практике заменяется среднеквадратическим отклонением:

Таким образом получаем СКО с размерностью измеряемой величины и мат. ожидание с той же размерностью.

В измерительной технике пользуются понятием доверительного интервала погрешности.

Определение

Доверительный интервал погрешности – это те значения погрешности, за которые не выходит погрешность измеряемой величины с вероятность P_Д .

Причём,

Вероятность Р_Д попадания погрешности в свой доверительный интервал обычна довольно высока и составляет: от 0,8 до 0,(9).

Коэффициент k зависит от выбора закона распределения величины и доверительной вероятности попадания погрешности в интервал.

Пусть n – число измерений случайной величины X

Методы обработки различны, в зависимости от числа измерений n.

Ряд наблюдений – это последовательность значений случайной величины: X₁, X₂, X₃, … , X_n .

Методика обработки результатов наблюдений для n > 40

1) Необходимо выявить промахи (грубые ошибки в результатах, которые явно выбиваются из общего ряда). Для этого есть специальные методики. Эти цифры изымаются.

2) Осуществляется ранжирование значений. X_MIN – на первое место; X_MAX – на последнее место.

3) Ищем среднее значение случайной величины X (или, осуществляем оценку математического ожидания)

4) Оцениваем СКО (среднеквадратичное отклонение)

5) Построение гистограммы (это функция, приближающая плотность вероятности некоторого распределения, построенная на основе выборки из него)

Интервал для деления оси абсцисс на графике-гистограмме выбирается по следующей формуле

X_MIN I II III IV X_MAX

m_i – частота попадания случайной величины в интервал.

6) По виду гистограммы с помощью критериев согласия (параметрических и непараметрических) выдвигают гипотезу по поводу закона распределения и проверяют её.

Чаще всего используют критерий χ² «хи-квадрат» или критерий Пирсона.

P *

X

P *

X