Правила нечетких продукций
Нечеткая эквивалентность
Нечеткая эквивалентность. Эквивалентностью нечетких высказываний А и В или просто нечеткой эквивалентностью (записывается как: А=B и читается— "А эквивалентно В") называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого определяется по следующей формуле:
Т(АºВ) =min{mах{ТØA), T(B)}, max{T(A), Т(ØB)}} (3.16)
Примером логической эквивалентности может служить составное нечеткое высказывание: "О. Бендер имеет довольно высокий рост эквивалентно тому, что завтра будет пасмурная погода", истинность которого принимает значение 0.3.
Так же, как в классической математической логике, в нечеткой логике с помощью рассмотренных логических связок могут быть образованы достаточно сложные нечеткие высказывания. При этом для явного указания порядка их следования используются круглые скобки, а иногда — и приоритет соответствующих нечетких логических операций.
Следует отметить, что обязательным условием корректности определения истинности составных нечетких высказываний является требование одновременной подстановки вместо одинаковых букв одних и тех же нечетких высказываний. Кроме рассмотренных логических операций могут быть определены и другие бинарные логические операции с нечеткими высказываниями.
Продукционные системы были разработаны в рамках исследований по методам искусственного интеллекта и нашли широкое применение для представления знаний и вывода заключений в экспертных системах, основанных на правилах. Поскольку нечеткий вывод реализуется на основе нечетких продукционных правил, рассмотрение базового формализма нечетких продукционных моделей приобретает самостоятельное значение. При этом нечеткие правила продукций не только во многом близки к логическим моделям, но и, что наиболее важно, позволяют адекватно представить практические знания экспертов в той или иной проблемной области.
Правило нечеткой продукции. В общем случае под правилом нечеткой продукции или просто — нечеткой продукцией понимается выражение следующего вида:
(i):Q;P;A=>B;S,F,N,
где (i) — имя нечеткой продукции; Q — сфера применения нечеткой продукции; Р — условие применимости ядра нечеткой продукции; A=>В — ядро нечеткой продукции, в котором A — условие ядра (или антецедент); В — заключение ядра (или консеквент); "=>" — знак логической секвенции (или следования); S— метод или способ определения количественного значения степени истинности заключения ядра; F — коэффициент определенности или уверенности нечеткой продукции; N — постусловия продукции.
По аналогии с обычным правилом продукции, в качестве имени (i) нечеткой продукции может выступать та или иная совокупность букв или символов, позволяющая однозначным образом идентифицировать нечеткую продукцию в системе нечеткого вывода или базе нечетких правил. В качестве имени нечеткой продукции может использоваться ее номер в системе.
Сфера применения нечеткой продукции Q, условие применимости ядра нечеткой продукции Р и постусловие нечеткой продукции N определяются аналогично обычной не нечеткой продукции.
Аналогично обычным правилам продукций ядро A=B также является центральным компонентом нечеткой продукции. Ядро продукции записывается в более привычной форме: "ЕСЛИ A, ТО В" или в наиболее распространенном виде: "IF A, THEN В", где A и B— некоторые выражения нечеткой логики, которые наиболее часто представляются в форме нечетких высказываний. При этом секвенция интерпретируется в обычном логическом смысле как знак логического следования заключения В из условия A. В качестве выражений A и В могут использоваться составные логические нечеткие высказывания, т. е. элементарные нечеткие высказывания, соединенные нечеткими логические связками, такими как нечеткое отрицание, нечеткая конъюнкция и нечеткая дизъюнкция.
S — метод или способ определения количественного значения степени истинности заключения В на основе известного значения степени истинности условия A. Данный способ в общем случае определяет так называемую схему или алгоритм нечеткого вывода в продукционных нечетких системах и называется также методом композиции или методом активации согласно Стандарту IEC 1131-7. В настоящее время для этой цели предложено несколько способов, основные из которых рассматриваются ниже в настоящем разделе.
F — коэффициент определенности или уверенности выражает количественную оценку степени истинности или относительный вес нечеткой продукции. Коэффициент уверенности принимает свое значение из интервала [0, 1] и часто называется весовым коэффициентом нечеткого правила продукции.
Продукционная нечеткая система. Продукционная нечеткая система или система нечетких правил продукций представляет собой некоторое согласованное множество отдельных нечетких продукций или правил нечетких продукций в форме "ЕСЛИ A, ТО 'В" (или в виде: "IF A THEN B"), как определено в Стандарте IEC 1131-7. Далее обе эти формы записи будут использоваться как эквивалентные в зависимости от удобства в том или ином контексте.
Основная проблема приближенных рассуждений с использованием нечетких правил продукций заключается в том, чтобы на основе некоторых нечетких высказываний с известной степенью истинности, которые являются условиями нечетких правил продукций, оценить степень истинности других нечетких высказываний, являющимися заключениями соответствующих нечетких правил продукций.
Чтобы иметь возможность решить эту проблему, необходимо ответить на более частный вопрос:
Чему должна быть равна степень истинности заключения отдельного нечеткого правила продукции, если известна степень истинности условия этого правила? Таким образом, в системах нечетких продукций центральное место занимает способ или метод определения истинности заключений в нечетком правиле продукции.
Нетрудно заметить, что взаимосвязь между условием и заключением в нечетком правиле продукции в общем случае представляет собой некоторое бинарное нечеткое отношение на декартовом произведении универсумов соответствующих нечетких высказываний. Этот подход и будет использоваться в дальнейшем для определения различных схем или методов нечеткого вывода на основе продукционных нечетких систем.
В общем случае для формального определения различных методов нечеткого вывода применительно к нечеткому правилу продукции рассмотрим два нечетких множества A и В, заданных соответственно на универсумах X и Y. При этом нечеткое множество A интерпретируется как условие некоторого нечеткого правила продукции, а нечеткое множество B — как заключение этого же правила.
Основная идея заключается в том, что нечеткое множество A можно рассматривать как унарное отношение на универсуме X, а нечеткое множество B можно рассматривать как унарное отношение на универсуме Y. В этом случае первое отношение определяется функцией принадлежности mA(x), а второе отношение — функцией принадлежности mB(y)
Теперь предположим, что некоторым образом определено бинарное нечеткое отношение на декартовом произведении универсумов: Q={<x,y>,mQ(<x,y>)},
где хÎХ и yÎY. Если дополнительно известна функция принадлежности mA(х) первого множества, то функция принадлежности mB(y) второго множества может быть определена в результате нечеткой композиции соответствующих нечетких отношений с использованием, например, формулы для максиминной нечеткой композиции.
Кроме максиминной нечеткой композиции предложены и другие способы для определения результата композиции нечетких отношений. Таким образом, для определения функции принадлежности нечеткого множества В можно использовать следующие методы, основанные на различных расчетных формулах для определения функции принадлежности результата.
· Max-min-композиция или максиминная нечеткая свертка:
mB(y) = max {min{mA(х), mQ(<x,y>)}}.
хÎХ
· Max-prod-композиция:
mB(y) = max {mA(х)· mQ(<x,y>)}.
хÎХ
Прямой и обратный методы вывода заключений в системах нечетких продукций
По аналогии с обычными продукционными системами важным компонентом систем нечетких продукций является так называемый метод или схема вывода заключений на основе нечетких условий в базе правил нечетких продукций. Наиболее известными являются два таких метода вывода заключений: прямой и обратный, особенности которых рассматриваются ниже.
Прямой метод вывода заключений в системах нечетких продукций, называемый также методом нечеткого восходящего вывода или методом прямой нечеткой цепочки рассуждений (fuzzy forward-chaining reasoning), основан на использовании нечеткого обобщения правила вывода модус поненс — FMP (fuzzy modus ponens, нечеткий модус поненс). Согласно Л. Заде, суть нечеткого модус поненс заключается в следующем. Классическая импликация АÉ В в правиле вывода МР заменяется на правило нечеткой продукции: "ЕСЛИ х есть A, ТО у есть В", где A и В — нечеткие множества, а само правило нечеткой продукции представляет некоторое нечеткое отношение между переменными х и у, при этом хÎ Х и yÎ Y. Что касается посылки А правила МР, то она заменяется на нечеткое условие “х есть А”, где “A” — нечеткое множество, отражающее знания о реальном значении переменной х. Объединение правила нечеткой продукции и нечеткого условия позволяет получить новую информацию о значении переменной у в форме: "y есть B". При этом заключение по правилу FMP получается как функция принадлежности нечеткого множества В' на основе функции принадлежности условия A’ и функции принадлежности нечеткой импликации как соответствующего нечеткого отношения с использованием одного из методов нечеткой композиции.
Применительно к системам нечетких продукций прямой метод вывода реализуется посредством преобразования отдельных фактов проблемной области в конкретные значения функций принадлежности условий нечетких продукций. После этого преобразования по одному из методов нечеткой композиции находятся значения функций принадлежности заключений правых частей по каждому из правил нечетких продукций. Эти значения функций принадлежности либо являются искомым результатом вывода, либо могут быть использованы в качестве дополнительных условий в рассматриваемой базе правил нечетких продукций. При этом правила, которые могут быть использованы для выполнения нечеткой композиции, также называют активными.
Процесс вывода прямым методом в системах нечетких продукций в общем случае может иметь рекурсивный (итеративный) характер. Он может быть остановлен либо в случае отсутствия активных правил нечетких продукций, либо в случае получения функции принадлежности заключения, которое является целевым в контексте решения исходной проблемы. В этом случае функция принадлежности заключения характеризует успех процесса вывода в системах нечетких продукций и решение поставленной проблемы.
Обратный метод вывода в продукционных системах, называемый также методом нечеткого нисходящего вывода или методом обратной нечеткой цепочки рассуждений (fuzzy backward-chaining reasoning), основан на использовании нечеткого обобщения правила вывода модус толленс - FMT (fuzzy modus tollens, нечеткий модус толленс). Суть нечеткого модус толленс заключается в следующем. Классическая импликация АÉ В в правиле вывода МТ заменяется на правило нечеткой продукции: "ЕСЛИ х есть A, ТО у есть B", где A и B — нечеткие множества, а правило нечеткой продукции представляет некоторое нечеткое отношение между переменными х и у, при этом хÎХ и yÎY, как и в методе FMP. Заключение В заменяется нечетким заключением в форме "является ли у В' или "у есть В”. При этом нечеткое множество В' не равно нечеткому множеству В, используемому в заключении правила нечеткой продукции. Целью вывода методом обратной нечеткой цепочки рассуждений является установление истинности условия правила нечеткой продукции в форме: "является ли х A’" или "х есть A’". В этом случае заключение по правилу FMT получается как функция принадлежности нечеткого множества Л' на основе функции принадлежности заключения 'В' и функции принадлежности нечеткой импликации как соответствующего нечеткого отношения с использованием одного из методов нечеткой композиции.
Принципиальное различие между обратными методами вывода заключений в нечетких и обычных системах продукций заключается в том, что применительно к системам нечетких продукций функции принадлежности условий неизвестны и должны быть как-то заданы. Процесс обратного вывода в системах нечетких продукций начинается с подстановки отдельных интересующих нас значений функции принадлежности заключений в правые части соответствующих правил нечетких продукций, которые в этом случае становятся активными. После анализа каждого из активных правил находятся функции принадлежности условий, которые используются в этих правилах. Эти функции принадлежности условий принимаются в качестве подцелей, которые могут быть использованы в качестве функций принадлежности новых заключений в рассматриваемой базе правил нечетких продукций.
Процесс вывода обратным методом также имеет рекурсивный (итеративный) характер. Он может быть остановлен либо в случае отсутствия новых активных правил, либо в случае получения значений функций принадлежности условий, которые подтверждаются фактами проблемной области. Подобное подтверждение условий характеризует успех процесса вывода и справедливость значений функции принадлежности исходных заключений.
Задания для самостоятельной работы по теме 3.
1) Назовите основные характеристики нечетких множеств.
2) Дайте определение нечеткой переменной
3) Определите лингвистическую переменную
4) В чем заключается отличие числовой лингвистической переменной от нечисловой
5) Определите нечеткие числа и операции над ними.
6) В чем заключается принцип обобщения Заде?
7) Дайте понятие лингвистической неопределенности
8) Как сравнивать два нечетких числа
9) Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого mA(x1)=0,3; mA(x2)=0; mA(x3)=1; mA(x4)=0,5; mA(x5)=0,9 . Представить А в виде A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 }или……?
10) Можно ли сказать, что представленные ниже множества нечеткие?
1. Пусть E = {0,1,2,..,10}, M =[0,1]. Множество "несколько" можно определить таким образом: "несколько" = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; ее характеристики: высота = 1, носитель={3,4,5,6,7,8}, точки перехода - {3,8}.
2. Пусть E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,....} - множество марок автомобилей, а E' = [0,µ] - универсальное множество "стоимость", тогда на E' мы можем определить множества типа: "для небогатых ", "для среднего класса", "престижные", с функциями принадлежности типа: