Нечеткая импликация

Логическая дизъюнкция нечетких высказываний

Логическая дизъюнкция. Дизъюнкцией нечетких высказываний А и В (записывается как: А\/В и читается — А или В) называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого по определению принимает значение:

T(А\/В) = max {Т (А), Т(В)}.

Логическую также называют логическим неисключающим "ИЛИ".

Логическую дизъюнкцию нечетких высказываний также называют нечетким неисключающим логическим "ИЛИ", нечеткой дизъюнкцией или max-дизъюнкцией и иногда записывают также в форме А OR В. При этом исторически принято счи­тать формулу основной для определения степени истинности ее результата.

По аналогии с операциями над нечеткими множествами для определения степени истинности дизъюнкции нечетких высказываний могут быть использованы следующие альтернативные формулы.

Алгебраическая сумма степеней истинности нечетких высказываний:

T(А\/В) = Т (А)+ Т(В)-Т(А)*Т(В)

Граничная сумма степеней истинности нечетких высказываний:

T(А\/В) = min {Т (А)+Т(В), 1}

Драстическая сумма степеней истинности нечетких высказываний:

Т(В) если Т(A) = 0;

T(А\/В) = Т(A) если Т(B) = 0

1, в остальных случаях.

Для этих альтернативных способов определения истинности логической дизъюнкции нечетких высказываний могут быть использованы обозначения, аналогичные соответствующим обозначениям операций над нечеткими множествами. Так, нечеткая дизъюнкция, рассчитываемая по формуле или методом алгебраической суммы, обозначается через A+В, методом граничной суммы — через AÅВ, методом драстической суммы — через AÑB. При этом алгебраическую сумму часто называют также вероятностной суммой.

Пример 3.3.2. Как и выше, рассмотрим составное нечеткое высказывание: "О. Бендер имеет довольно высокий рост или завтра будет пасмурная погода" и предположим, что истинность входящих в него элементарных нечетких высказываний по-прежнему равна T(A1) = 0.7 и Т(A2) = 0.2. Тогда истинность логической дизъюнкции этих нечетких высказываний, вычисленная по основной формуле (3.6), равна: Т(A1ÚA2) = 0.7. Значения истинности этой же дизъюнкции, рассчитанные по остальным формулам, равны: Т(A1+A2)= 0.76, T (AÅВ) = 0.9, T(AÑB) = 1.

Нечеткая импликация. Нечеткой импликацией или просто – импликацией нечетких высказываний А и В (записывается как: А É В и читается – «из А следует В», «Если А, то В» ) называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого может принимать значение, определяемое по одной из следующих формул.

- Классическая нечеткая импликация, предложенная Л. Заде:

T(A É B) = max{min{T(A), T(B)}, 1-Т(A))}………

Эту форму нечеткой импликации называют также нечеткой импликацией Заде.

- Классическая нечеткая импликация для случая Т(A) ³ Т(B):

Т(A É B) = mах(Т(ØA )), Т(B)}= mах{1-Т(A ), T(B)}…

Эту форму нечеткой импликации иногда называют нечеткой импликацией Гёделя.

- Нечеткая импликация, предложенная Э. Мамдани:

Т (A É B) = min {Т(A), T(B)}.

Эту форму нечеткой импликации также называют нечеткой импликацией Мамдани или нечеткой импликацией минимума корреляции. Можно заметить, что в случае Т(A)³0.5 и Т(B)³0.5 классическая нечеткая импликация превращается в нечеткую импликацию Мамдани.

- Нечеткая импликация, предложенная Я. Лукасевичем:

T(A É B) = min{ 1, 1-Т(A)+Т(B)}.

Эту форму нечеткой импликации также называют нечеткой импликацией Лукасевича.

- Нечеткая импликация, предложенная Дж. Гогеном:

Т( A É B) = min {1,T(B)/T(A)}, где Т(A)>0.

Эту форму нечеткой импликации также называют нечеткой импликацией Гогена.

- Нечеткая импликация по формуле граничной суммы:

T(A É B) = min {1, Т(A)+Т(B)}

Нечеткая импликация играет важную роль в процессе нечетких логических рассуждений. Так же, как и в математической логике первый ее операнд (нечеткое высказывание) называется посылкой или антецедентом, а второй — заключением или консеквентном.

Хотя классическая нечеткая импликация находит наибольшее применение при решении прикладных задач и она остается справедливой в случае обычных высказываний классической логики, остальные способы вычисления нечеткой импликации в отдельных ситуациях оказываются более эффективными с вычислительной точки зрения.

Пример3.3. Рассмотрим составное нечеткое высказывание r форме нечеткой импликации: "Если О. Бендер имеет довольно высокий рост, то завтра будет пасмурная погода", при этом истинность входящих в него элементарных нечетких высказываний по-прежнему равна T(A1) = 0.7 и T(A2) = 0.2. Тогда истинность этой нечеткой импликации, вычисленная по основной формуле (3.10), равна Т(A1 É A2) = 0.3, и т.д.