Формальные теории
Формальная теория(или исчисление) - это:
1. множество A символов, образующихалфавит;
2. множество F слов в алфавите A, FÌA, которые называются формулами;
3. подмножество В формул, BÌF, которые называютсяаксиомами;
4. множество отношений R на множестве формул, которые называются правилами вывода.
Множество символов А может быть конечным или бесконечным. Обычно для образования символов используют конечное множество букв, к которым, если нужно, приписываются в качестве индексов натуральные числа.
Множество формул F обычно задается индуктивным определением, например, с помощью формальной грамматики. Как правило, это множество бесконечно. Множества А и F в совокупности определяютязык, илисигнатуру, формальной теории.
Множество аксиом В может быть конечным или бесконечным. Если множество аксиом бесконечно, то, как правило, оно задается с помощью конечного множества схем аксиом и правил порождения конкретных аксиом из схемы аксиом.
Множество правил вывода R, как правило, конечно.
Итак, исчисление 
есть четверка (A, F, В, R).
Выводом в исчислении 
называется последовательность формул F1,F2,...,Fn такая, что для любого k (1≤k
n) формула Fk есть либо аксиома исчисления либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул, полученное по правилу вывода.
Формула G называется теоремой исчисления (выводимой в или доказуемой в , если существует вывод F1,F2,...,Fn,G который называется выводом формулы G или доказательством теоремы G. Записывается это следующим образом:
F1,F2,...,Fn+ G.
Исчисление называетсянепротиворечивым, если не все его формулы доказуемы. Можно дать другое определение непротиворечивости: Исчисление называется непротиворечивым, если в нем не являются выводимыми одновременно формулы F и ┐F (отрицание F).
Исчисление называетсяполным (или адекватным), если каждому истинному высказыванию М соответствует теорема теории
Формальная теория называетсяразрешимой, если существует алгоритм, который для любой формулы теории определяет, является ли эта формула теоремой теории или нет.