Устойчивость по входу

Два вида устойчивости представляют интерес. Первый вид относится к способности системы возвращаться в прежнее состояние равновесия после устранения причины, вызвавшей это отклонение, а другой вид относится к способности системы вырабатывать ограниченный выходной сигнал как реакцию на ограниченный входной сигнал. Способность предварительно возбужденной системы возвращаться в нулевое состояние равновесия (устойчивость по начальным условиям) связана с ее свободным движением.

При этом независимо от того, как велико начальное состояние, при . Такую систему называют часто асимптотически устойчивой.

Устойчивость второго вида: устойчивость «ограниченный вход – ограниченный выход» определяется при нулевых начальных условиях посредством интеграла свертки

.

,

где является весовой функцией замкнутой системы, - вынужденное движение предварительно невозбужденной системы. В данном случае мы рассматриваем устойчивость по задающему воздействию v(t), полагая, что возмущение и шум измерения отсутствуют.

a) система устойчивая по входу, b) система неустойчивая по входу.

Легко показать, что

.

Пусть значения входа v(t) ограничены, т. е. существует постоянная величина стакая, что для всех t. При этом

.

Отсюда выходной сигнал будет ограниченным для всех t, если выполняется условие

.

Вывод. Для устойчивости системы типа «ограниченный вход – ограниченный выход» необходимо и достаточно, чтобы ее весовая функция была абсолютно интегрируема.

Нетрудно показать, что это условие выполняется, если система с одним входом и одним выходом устойчива по начальным условиям. Действительно,весовая функция k(t) связана с ПФ Ф(p) замкнутой системы соотношением

k(t) =L^-1[Ф(p)] = ,

где - корни характеристического уравнения замкнутой системы =0, другими словами, полюсы ПФ . Если имеет место асимптотическая устойчивость (устойчивость по начальным условиям), то , что гарантирует устойчивость по входу.

Однако такое совпадение условий устойчивости для этих двух видов имеет место только тогда,