Линейная независимость собственных векторов, имеющих попарно-различные собственные значения
Существование одномерных и двумерных инвариантных подпространств
Теорема 51.3: Линейная оболочка, натянутая на собственный вектор x, соответствующий собственному значению λ линейного оператора
, является инвариантным подпространством линейного оператора.
Доказательство:
Для любого 
имеем y=αx при некотором α. Тогда 
, то есть 
и теорема 51.3 доказана.
А так как степень характеристического многочлена P(x) совпадает с размерностью всего линейного пространства, то имеет место следующая теорема:
Теорема 51.4: Всякий линейный операторв линейном пространстве нечётной размерности имеет инвариантное одномерное подпространство (являющееся линейной оболочкой собственного вектора x, соответствующее собственному значению λ - вещественному корню характеристического многочлена линейного оператора).
(
- мнимая единица, т.е 
)
Пусть теперь
- комплексный корень характеристического многочлена. Перейдя к матричной форме записи, получим, что система линейных уравнений (51.2) должна иметь комплексное ненулевое решение z=x+yj, или (A - вещественная матрица, ибо 
- вещественный линейный оператор):
(51.4)
Раскроем в (51.4) скобки: 
Сравнивая вещественные и мнимые части обеих частей последнего равенства, имеем
и 
(51.5)
или, переходя к линейному оператору и полагая 
(см. (50.2)) ранее выбранный базис, получим:
и 
(51.6)
Берем теперь любое 
,то есть 
при некоторых α и β. Тогда: 
то есть L({x;y} (являющееся двумерным линейным подпространством) – инвариантное подпространство линейного оператора . Таким образом, доказана следующая теорема:
Теорема 51.5: Всякий линейный операторимеет одномерное или двумерное инвариантное подпространство.
Покажем, что имеет место следующая теорема:
Теорема 51.6: Если собственные значения 
линейного операторапопарно различны, то соответствующие им собственные вектора 
линейно независимы.
Доказательство:
Используем метод математической индукции по числу собственных значений m :
1. База индукции: m=1
Так как собственный вектор x≠0, то система {x} линейно независима (см. §16, теорема 16.0).
2. Шаг индукции: 
Имеем: вектора 
линейно независимы (попарно различные собственные значения - 
; соответствующие им собственные вектора - 
).
Рассмотрим произвольную линейную комбинацию для собственных векторов 
(51.7)
Тогда 
то есть доказано равенство
(51.8)
Умножая обе части (51.7) на λk+1 и вычитая полученное равенство из (51.8), имеем
(51.9)
А так как система 
линейно независима по индуктивному предположению, то
(51.10)
Ввиду того, что 
(то есть 
) для любых j=1,…k (собственные значения 
попарно различны), из равенства (51.10) получаем, что
(51.11)
Подставляя вместо 
в (51.7) их значения из (51.11), получим, что 
, а так как 
, то из теоремы 16.0 имеем 
, то есть (см. (51.11): 
, и, следовательно, система линейно независима (ибо мы показали, что равенство (51.7) может выполняться только при нулевых значениях 
). Теорема 51.6 доказана.
Простым следствием теоремы 51.6 является следующая теорема:
Теорема 51.7: Если все корни характеристического многочлена 
линейного операторадействительные и простые (попарно различные), то в линейном пространстве имеется базис из собственных векторов линейного оператора.
Рассмотрим матрицу линейного оператора в базисе его собственных векторов:
то есть эта матрица имеет вид:
и является диагональной матрицей.
Итак, доказаны следующие две теоремы:
Теорема 51.8: Матрица линейного операторав базисе его собственных векторов является диагональной.
Теорема 51.9: Если уравнение
(51.12)
Имеет вещественные простые (попарно различные) корни, то существует такая невырожденная матрица C , что C-1∙A∙C является диагональной матрицей.
Эта матрица C будет матрицей перехода к базису из собственных векторов линейного оператора соответствующих собственным значением
,являющихся корнями уравнения (51.12).