Конечномерные и бесконечномерные Евклидовы пространства

Пусть задан базис и (49.9)

При этом является скалярным произведением (показать самостоятельно, что 4 свойства ЕП выполнены). Полученное произведение есть конечномерное Евклидово пространство. Мы показали, что всякое конечномерное линейное пространство может быть сделано Евклидовым.

Бесконечномерным Евклидовым пространством является, например, множество функций, непрерывных на отрезке со скалярным произведением , ибо следующая бесконечная последовательность является ортоногональной и, следовательно, линейно независимой.

Читателю предлагается самостоятельно устанавливать предыдущее утверждение относительно примера бесконечномерного евклидова пространства, (проверить выполнение всех свойств скалярного произведения) а также показать, почему множество всех интегрируемых (по Риману) функций на отрезке не является евклидовым пространством (не выполняется свойство; при этом считается, что)