Властивості повних систем. Поняття замкненої системи
Повна ортогональна система. Критерій повноти ортогональної системи. Рівність Парсеваля
Поняття збіжності в середньому
План
Лекція 52. Властивості ортогональних систем
- Поняття збіжності в середньому
- Повна ортогональна система. Критерій повноти ортогональної системи. Рівність Парсеваля
- Властивості повних систем. Поняття замкненої системи
Нехай подана функціональна послідовність , елементи якої належать .
Визначення 1. Кажуть, що функціональна послідовність збігається в середньому к з , якщо
.
Визначення 2. Кажуть, що функціональний ряд , усі члени якого з простору , збігається в середньому до суми , якщо до в середньому збігається функціональна послідовність зрізаних сум цього ряду, тобто
.
Визначення 3. Система ортогональних функцій з простору називається повною в просторі , якщо ряд Фурьє для будь-якої функції збігається в середньому до .
Теорема 1 (критерій повноти системи ортогональних функцій). Ортогональна система буде повною в тоді й тільки тоді, коли має місце рівність
для будь-якої .
Доказ. Нехай - ортогональна система функцій в просторі . Побудуємо ряд Фурьє для довільної функції :
, де .
За визначенням, система є повною тоді й тільки тоді, коли , тут - а зрізана сума ряду , яка одночасно є многочленом Фурьє. Враховуючи це, згадаємо тотожність Бесселя:
.
Тоді, якщо перейти в лівій частині тотожності Бесселя до границі, коли , отримаємо:
,
але це рівносильно тому, що границя правої частини також дорівнює 0:
.
Остання рівність має назву рівності Парсеваля.
Визначення 4. Ортогональна система функцій з простору називається замкненою, якщо з того, що функція ортогональна кожній функції з системи витікає, що ~0 в просторі , тобто може відрізнятися від 0 лише в скінченній кількості точок сегмента .
Теорема 1. Якщо система є повною в просторі , вона є і замкненою.
Доказ. Нехай функція ортогональна всім функціям .
Покажемо, що ~0 в . Маємо:
,
бо ортогональна усім .
Система є повною, тоді має місце рівність Парскваля: . Враховуючи, що всі , маємо:
,
а тому з рівності Парсеваля отримаємо:
,
звідки за властивістю визначеного інтегралу Римана витікає, що ~0, а тому система функцій є замкненою, що й потрібно було довести.
Теорема 2. Якщо система функцій є повною в , а функції і мають однакові коефіцієнти Фурьє по цій системі, то ~ (якщо і - неперервні, то ).
Доказ. Побудуємо допоміжну функцію . Знайдемо коефіцієнти Фурьє, для :
З того, що для будь-якого витікає, що ортогональна кожній . Оскільки повна, а тому і замкнена, то ~0, чи ~ .
Твердження. Основні тригонометричні системи є повними.