Визначення ряду Фур’є по ортогональній системі функцій
Тригонометричні системи ортогональних функцій
Визначення системи ортогональних функцій. Система ортонормованих функцій
Еквівалентні функції
План
Лекція 50. Ряд Фур’є по ортогональній системі функцій
- Еквівалентні функції
- Визначення системи ортогональних функцій. Система ортонормованих функцій
- Тригонометричні системи ортогональних функцій
- Визначення ряду Фур’є по ортогональній системі функцій
Основою теми «Ряд Фур’є по ортогональній системі функцій» – це визначений інтеграл Римана. Відомо, що значення інтегралу не зміниться, якщо значення підінтегральної функції змінити в скінченній кількості точок.
Визначення 1. Будемо називати функцію кусково-неперервною на , якщо вона має на цьому сегменті скінчену кількість точок розриву, є інтегрованою на (можливо, навіть, у сенсі невласного інтегралу).
Визначення 2. Дві кусково-неперервні функції і будемо називати еквівалентними на і позначати ~ , якщо їх значення різні лише в скінченній кількості точок з .
Для еквівалентних функцій ~ мають місце наступні властивості:
1) ;
2) для будь-якої функції ~ ;
3) якщо ~ , то ~ ;
4) якщо ~ , і ~ , то ~ .
Таким чином, відношення «~» є відношенням еквівалентності на множині кусково – неперервних функцій, а це приводе до того, що множина кусково – неперервних функцій розпадається на класи еквівалентності. Між цими класами можливо ввести лінійні операції:
1) Складання двох класів (складання двох представників з классів);
2) Множення класу на дійсне число.
Таким чином, множину класів еквівалентних функцій ми перетворили в лінійний простір. Будемо позначати цей простір .
Визначення 3. Система функцій з називається ортогональною, якщо
. (1)
Визначення 4. Число
(2)
будемо називати нормою елементу і позначати .
Визначення 5. Ортогональна система функцій з називається ортонормальною, якщо для .
Зауваження 1. Будь-яку ортогональну систему можливо зробити ортонормальною, розділивши кожну функцію на її норму.
Приклад 1. Система функцій
(3)
є ортогональною на . Для доказу цього треба перевірити виконання умови (1):
для ;
для ;
для ;
; для ;
для ;
для ;
.
Таким чином, подана система (3) ортогональна.
Зауваження 2. Розглянута система (3) буде ортогональною на будь-якому проміжку довжини .
Приклад 2. Система функцій
(4)
ортогональна на і на будь-якому сегменті довжини .
Приклад 3. Система функцій
і система функцій
ортогональні на .
Приклад 4. Система функцій
і система функції
ортогональні на .
Системи з прикладів 1, 2 називаються основними тригонометричними системами.
Нехай і
, (5)
де - ортогональна система функцій на . Припустимо, що рівність (5) можливо почленно інтегрувати (це можливо, наприклад, тоді, коли ряд в правій частині рівності (5) збігається рівномірно). Домножимо (5) на і проінтегруємо:
(6)
Всі інтеграли в правій частині останньої рівності дорівнюють 0, крім -го, завдяки ортогональності системи функцій . Тоді (6) можна записати в вигляді:
,
звідки
(7)
Щоб визначити по формулі (7) немає необхідності вимагати почленного інтегрування ряду (5), достатньо, щоб і були інтегрованими, а це дійсно так, бо і .
Тому можна поставити в співвідношення ряд
(8)
де визначаються по формулі (7).
Ряд (8) називається рядом Фурьє для по ортогональній системі
Запишемо ряд Фурьє для по ортогональній системі функцій
,
де
;
;
, .