Визначення ряду Фур’є по ортогональній системі функцій


Тригонометричні системи ортогональних функцій

Визначення системи ортогональних функцій. Система ортонормованих функцій

Еквівалентні функції

План

Лекція 50. Ряд Фур’є по ортогональній системі функцій

  1. Еквівалентні функції
  2. Визначення системи ортогональних функцій. Система ортонормованих функцій
  3. Тригонометричні системи ортогональних функцій
  4. Визначення ряду Фур’є по ортогональній системі функцій

Основою теми «Ряд Фур’є по ортогональній системі функцій» – це визначений інтеграл Римана. Відомо, що значення інтегралу не зміниться, якщо значення підінтегральної функції змінити в скінченній кількості точок.

 

Визначення 1. Будемо називати функцію кусково-неперервною на , якщо вона має на цьому сегменті скінчену кількість точок розриву, є інтегрованою на (можливо, навіть, у сенсі невласного інтегралу).

Визначення 2. Дві кусково-неперервні функції і будемо називати еквівалентними на і позначати ~ , якщо їх значення різні лише в скінченній кількості точок з .

Для еквівалентних функцій ~ мають місце наступні властивості:

1) ;

2) для будь-якої функції ~ ;

3) якщо ~ , то ~ ;

4) якщо ~ , і ~ , то ~ .

Таким чином, відношення «~» є відношенням еквівалентності на множині кусково – неперервних функцій, а це приводе до того, що множина кусково – неперервних функцій розпадається на класи еквівалентності. Між цими класами можливо ввести лінійні операції:

1) Складання двох класів (складання двох представників з классів);

2) Множення класу на дійсне число.

Таким чином, множину класів еквівалентних функцій ми перетворили в лінійний простір. Будемо позначати цей простір .

 

Визначення 3. Система функцій з називається ортогональною, якщо

 

. (1)

Визначення 4. Число

 

(2)

 

будемо називати нормою елементу і позначати .

Визначення 5. Ортогональна система функцій з називається ортонормальною, якщо для .

Зауваження 1. Будь-яку ортогональну систему можливо зробити ортонормальною, розділивши кожну функцію на її норму.

 

Приклад 1. Система функцій

 

(3)

 

є ортогональною на . Для доказу цього треба перевірити виконання умови (1):

 

для ;

 

для ;

 

 

 

для ;

 

; для ;

 

для ;

 

для ;

 

.

 

Таким чином, подана система (3) ортогональна.

Зауваження 2. Розглянута система (3) буде ортогональною на будь-якому проміжку довжини .

Приклад 2. Система функцій

 

(4)

 

ортогональна на і на будь-якому сегменті довжини .

Приклад 3. Система функцій

 

 

 

і система функцій

 

 

ортогональні на .

 

Приклад 4. Система функцій

 

 

 

і система функції

 

 

ортогональні на .

 

Системи з прикладів 1, 2 називаються основними тригонометричними системами.

 

Нехай і

 

, (5)

 

де - ортогональна система функцій на . Припустимо, що рівність (5) можливо почленно інтегрувати (це можливо, наприклад, тоді, коли ряд в правій частині рівності (5) збігається рівномірно). Домножимо (5) на і проінтегруємо:

 

(6)

 

Всі інтеграли в правій частині останньої рівності дорівнюють 0, крім -го, завдяки ортогональності системи функцій . Тоді (6) можна записати в вигляді:

 

,

звідки

(7)

 

Щоб визначити по формулі (7) немає необхідності вимагати почленного інтегрування ряду (5), достатньо, щоб і були інтегрованими, а це дійсно так, бо і .

Тому можна поставити в співвідношення ряд

 

(8)

 

де визначаються по формулі (7).

Ряд (8) називається рядом Фурьє для по ортогональній системі

Запишемо ряд Фурьє для по ортогональній системі функцій

 

,

 

де

;

 

;

 

, .