Визначення потрійного інтегралу

План

Лекція 48. Потрійний інтеграл і його обчислення

Вычисление тройных интегралов

Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов

Определение тройного интеграла

План

Лекция 48. Тройной интеграл и его вычисление

  1. Определение тройного интеграла
  2. Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов
  3. Вычисление тройных интегралов

Пусть в некоторой пространственной области (рис.1) определена функция:

 

.

 

Разобьем поверхностями на конечное количество частей , ,..., с объемами , ,..., . В каждой части произвольно выберем промежуточные точки , и вычислим в них значения функции . Тогда

 

 

 

называется интегральной суммой для тройного интеграла.

Обозначим:

.

 

Определение. Если существует

 

,

 

который не зависит ни от того, как тело разбивалось на части, ни от выбора промежуточных точек , то этот предел называется тройным интегралом от функции по области и обозначается:

 

.

 

Теорема 1 (необходимое условие существования тройного интеграла). Пусть для функции существует тройной интеграл по области , тогда ограничена на .

Задание. Выписать свойства интегрируемых функций и тройных интегралов (Фихт., т.ІІІ, стр.310-313).

Пусть - прямоугольный параллелепипед (рис.2), который проектируется на YOZ в прямоугольник . Для такого имеет место теорема.

Теорема 2. Если для функции существует тройной интеграл и для любого фиксированного существует двойной интеграл

,

то существует и повторный интеграл:

 

и

.

 

Если дальше предположить, что для любых і существует интеграл , то

. (1)

 

При нужном существовании интегралов переменные интегрирования в формуле (1) можно менять местами.

 

 

Рис.2.

 

Замечание. Можно показать, что если существует тройной интеграл и интеграл для любых и , то

 

,

 

де .

Пусть имеет произвольную форму, функция определена на . Построим - прямоугольный параллелепипед, который содержит в себе , и определим на нем функцию :

 

 

Этим путем получаются все следующие формулы.

Пусть тело находится между плоскостями (рис.3), и каждой плоскостю , перпендикулярной оси ОХ, где , пересекается по некоторой фигуре с площадью , проекцию которой на плоскость YOZ обозначим (рис.3).

 

 

 

Рис.3

 

Тогда

(2)

 

в предположении существования двойного и тройного интегралов.

Пусть - цилиндрический брус с образующей, параллельной оси OZ, ограниченный снизу и сверху соответственно поверхностями (рис.4):

 

 

 

Тогда аналогично (2) имеем:

 

, (3)

 

 

Рис.4.

 

если предположить существование тройного и простого интегралов.

Пример. Вычислить , где область определяется следующим образом (рис.5):

 

 

 

Тогда

 

.

 

 

  1. Визначення потрійного інтегралу
  2. Властивості інтегрованих функцій і потрійних інтегралів
  3. Обчислення потрійних інтегралів

Нехай в деякій просторовій області (рис.1) визначена функція:

 

.

 

Розібємо поверхнями на скінченну кількість часток , ,..., з обємами , ,..., . В кожній частці довільно обоеремо проміжкові точки , і обчислимо в них значення функції . Тоді

 

 

 

називається інтегральною сумою для потрійного інтеграла.

Позначимо:

.

 

Визначення. Якщо існує

 

,

 

яка не залежить ні від того, як тіло розбивалося на частки, ні від вибору проміжкових точок , то ця границя називається потрійним інтегралом від функції по області і позначається:

 

.