Вычисление объема тела с помощью поверхностного интеграла
План
- Определение поверхностного интеграла ІІ типа
- Вычисление поверхностного интеграла ІІ типа
- Вычисление объема тела с помощью поверхностного интеграла
1. Определение поверхностного интеграла ІІ типа
Пусть - двусторонняя поверхность, которая определена явно уравнением:
.
Зафиксируем какую-либо ее сторону. Поскольку поверхность задана явным образом, то это может быть нижняя или верхняя сторона поверхности (рис.1).Выберем верхнюю сторону. Тогда положительное направление обхода замкнутой кривой на верхней стороне поверхности отвечает положительному направлению обхода проекции на ХОУ. Такая проекция будет рассматриваться со знаком «+». Для нижней стороны поверхности все будет наоборот: положительному направлению обхода замкнутой кривой поверхности отвечает отрицательное направление обхода проекции на ХОУ. Такая проекция будет иметь знак «-» (рис.1,2).
Пусть на определена функция . Разобьем гладкими кривыми на , , ..., . На каждой части выберем произвольно промежуточную точку . Построим
,
где - площадь проекции подповерхности с нужным знаком, которая называется интегральной суммой для поверхностного интеграла ІІ типа.
Рис.1.
Обозначим
.
Определение. Если существует
,
который не зависит ни от того, как поверхность разбивалась на части , ни от выбора промежуточных точек, то этот предел называется поверхностным интегралом ІІ типа от по , который отвечает выбранной стороне поверхности и обозначается:
.
Замечание. Если изменить сторону поверхности, интеграл поменяет знак.
Если при построении интегральной суммы проекции строятся не на ХОУ, а на XOZ(YOZ), то получим два других поверхностных интеграла ІІ типа:
( ).
Пусть на поверхности определены функции , , . Тогда сумма
называется поверхностным интегралом ІІ типа общего вида.
Рис.2.
2. Вычисление поверхностного интеграла ІІ типа
Пусть поверхность определена явно: . К тому же - непрерывны в . Рассмотрим , который берется по верхней стороне поверхности. Тогда в интегральной сумме все положительные:
. (1)
Правая часть полученного равенства - это интегральная сумма для двойного интеграла .
Если в равенстве (1) перейти к пределу, когда , то получим:
,
и вдобавок существование одного из интегралов ведет к существованию другого.
Если поверхностный интеграл вычисляется по нижней стороне поверхности , то
.
Замечание. Если - часть цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси OZ, то
.
Пусть тело ограничено гладкими поверхностями:
И цилиндрической поверхностью , образующая которой параллельная оси OZ (рис.3).
Из геометрического смысла двойного интеграла вытекает, что
,
где .
Полученная формула для вычисления объема имеет место для тел, которые возможно разбить на части вида, представленного на рис.3 (цилиндрические тела І типа), с помощью цилиндрических поверхностей с образующей, параллельной оси OZ.
Рис.3.
Для цилиндрических тел ІІ типа (ІІІ типа) с образующей, параллельной оси OХ (ОУ) имеют место формулы для вычисления объема:
.
Если тело является одновременно цилиндрическим телом І, ІІ и ІІІ типа, то для вычисления его объема имеют место все три формулы. Если эти формулы сложить почленно, получим общую формулу для вычисления объема:
,
где интеграл берется по внешней стороне поверхности .