Первый признак сравнения сходимости рядов в форме неравенств
План
Лекция 29. Ряды с положительными членами
Питання
1. Що називається числовим рядом,n-им членом ряду? Навести приклади числових рядів.
2. Що називається n-ою зрізаною сумою числового ряду?
3. Який ряд називається збіжним (розбіжним)? Навести приклади збіжних (розбіжних) рядів.
4. Чи можна відновити числовий ряд, якщо відомою є лише послідовність його зрізаних сум? Відповідь пояснити.
5. Коли сума нескінченної геометричної прогресії є збіжним (розбіжним) рядом?
6. Критерій Коші збіжності ряду.
7. Необхідна умова збіжності ряду. Навести приклади збіжних, розбіжних рядів, для яких виконується необхідна умова збіжності.
8. Що таке залишок ряду після n-го члена? Як повязані збіжність ряду і збіжність його послідовності залишків?
9. Як вплине на збіжність (розбіжність) ряду відкидання чи додавання скінченного числа членів? Пояснити.
10. Що називається сумою, різницею числових рядів? Що називається добутком числового ряду на число?
11. Якою буде сума (різниця) збіжних рядів?
12. Якою буде сума (різниця) розбіжних рядів?
13. Якою буде сума (різниця) збіжного і розбіжного рядів?
14. Яким буде добуток на число збіжного (розбіжного) ряду?
- Первый признак сравнения сходимости рядов в форме неравенств
- Первый признак сравнения в предельной форме
- Второй признак сходимости рядов
- Признаки Коши и Даламбера сходимости рядов с положительными членами
- Интегральный признак Коши-Маклорена
Дальше рассматриваются ряды с положительными членами:
(1)
Пусть - последовательность усеченных сумм ряда . Поскольку (1) - это ряд с положительными членами, то последовательность является монотонно возрастающей, а потому она будет сходящейся тогда и только тогда, когда будет ограниченной сверху. Из этого вытекает
Теорема 1 (критерий сходимости рядов с положительными членами). Для того, чтобы ряд (1) с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность усеченных сумм этого ряда была ограниченной сверху.
Теорема 2 (первый признак сравнения в форме неравенств). Пусть есть два ряда (обозначим их и ) с положительными членами:
, (5)
(7)
Если, начиная с некоторого номера для выполняется неравенство:
(10)
то:
1) Из сходимости ряда вытекает сходимость ряда ;
2) Из расходимости ряда вытекает расходимость ряда .
Доказательство. В условии теоремы сказано, что неравенство (10) для элементов рядов и выполняется, начиная с некоторого номера , но, учитывая то, что сходимость (расходимость) ряда не меняется, если из него удалить конечное количество элементов, можно считать, что неравенство (10) выполняется для .
Пусть - последовательность усеченных сумм ряда ; - последовательность усеченных сумм ряда .
1) Пусть ряд сходится. Из предыдущей теоремы вытекает, что тогда ограничена сверху, т.е. существует такая постоянная , что : . Учитывая неравенство (10), имеем:
для ,
т.е. последовательность усеченных сумм ряда также является ограниченной сверху, а потому ряд сходится.
2) Пусть ряд расходится. Предположим, что при этом ряд является сходящимся, тогда из доказанного в пункте 1) из этого предположения будет вытекать, что - сходящийся. Получили противоречие, поэтому наше предположение является ошибочным, а ряд - расходящимся.
2. Первый признак сравнения в предельной форме
Теорема 3 (первый признак сравнения в предельной форме). Пусть есть два ряда и с положительными членами. Пусть существует
(20)
тогда ряды и ведут себя одинаково, т.е. или одновременно сходятся, или одновременно расходятся.
Пример. Исследовать на сходимость ряд . Построим последовательность усеченных сумм этого ряда:
.
Поскольку ,
то данный ряд является расходящимся. Расходимость этого ряда можно установить еще одним способом, пользуясь первым признаком сравнения в предельной форме, что мы и сделаем. Ряд называется гармоническим рядом. Этот ряд является расходящимся (это будет доказано позднее). Исходный ряд
.
Сохраняя обозначения, введенные в теоремах 2,3:
;
.
Вычислим
.
Таким образом, ряды и ведут себя одинаково, т.е. расходятся, поскольку о гармоническом ряде мы знаем, что он расходящийся.