Афінне відображення. Наближення функції в околі точки диференціювання
Визначення похідної функції багатьох змінних
План
Лекція 24. Похідна функції багатьох змінних
Вопросы
Простейшие свойства дифференцированных функций
Афинное отображение. Приближение функции в окрестности точки дифференцирования
Из (30) вытекает, что - это бесконечно малая, когда . Тогда
Определение 2. Отображение называется аффинным отображением (аффинной функцией), если существует такая линейная функция и такой вектор , что
.
Из (40) следует, что если функция дифференцируема в точке , то в окрестности этой точки она хорошо приближается аффинным отображением , т.е.
.
Теорема 1.Пусть , - открытое множество, функция дифференцируема в точке . Тогда непрерывна в точке .
Теорема 2.Если , дифференцируема в точке , то ее производная определяется однозначно.
Пример. Пусть , т.е. . Докажем, что эта функция дифференцирована в любой точке и найдем эту производную. Пусть приращение для определяется как .
.
Для доказательства дифференцируемости функции осталось проверить, что :
,
Что и нужно было доказать. Таким образом
.
Пример.Пусть , т.е. . Докажем, что эта функция дифференцирована в любой точке и найдем эту производную. Пусть приращение для определяется как .
.
Для доказательства дифференцируемости функции осталось проверить, что .
что и нужно было доказать. Таким образом
.
1. Определение производной функции многих переменных. Аналогия и различие между производными функций одной переменной, многих переменных.
2. Определение аффинного отображения.
3. Как представляется функция многих переменных в окрестности точки дифференцирования?
4. Как связаны между собой дифференцируемость и непрерывность в точке для функции многих переменных?
5. Сколько производных в точке может иметь функция многих переменных?
- Визначення похідної функції багатьох змінних
- Афінне відображення. Наближення функції в околі точки диференціювання
- Найпростіші властивості диференційованих функцій
Пригадаємо визначення похідної звичайної функції одної змінної: . Функція диференційована в точці , якщо існує скінченна границя
, (10)
де . Формула (10) еквівалентна формулі:
. (20)
Відзначимо, що функція в чисельнику формули (20) є лінійною функцією:
.
Визначення 1. Нехай , - відкрита множина. Кажуть , що функція диференційована у точці , якщо існує лінійна форма така, що
. (30)
Якщо (30) має місце, то лінійну форму називають похідною функції у точці і позначають .
Похідна функції у точці – це не число, а функція – лінійна форма.
З (30) витікає, що - це нескінченно мала, коли . Тоді
Визначення 2. Відображення називається афінним відображенням, якщо існує таке лінійне відображення і такий вектор , що
.
З (40) витікає, що якщо функція диференційована в точці , то в околі цієї точки вона добре наближається афінним відображенням , тобто
.