Производные и дифференциалы высших порядков

Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Т.к. приращение функции и дифференциал dy – эквивалентные б.м.в. (при ), т.е.

~ ,

то в приближенных методах вычислений пишут

≈,

с точностью до б.м.в. более высокого порядка малости.

Учитывая, что дифференциал функции по определению

,

получим

.

Или

,

откуда

.

Ex.1. Применяя дифференциал вычислить приближенно значение функции

y=sinx в т. x=1⁰, т.е. sin 1⁰.

Решение:

Пусть x₀=0⁰, x=1⁰, тогда Δx=1⁰ – 0⁰ = 1⁰.

тогда .

Т.к. производная , то

Или

В радианах 1⁰ .

Т.о. .

Заметим, что точное значение

.

Т.о., абсолютная погрешность не превышает одной десятитысячной.

Пусть функция y=y(x) определена и дифференцируема в т. . Тогда называют производной 1-го порядка. Т.к. производная 1-го порядка также является функцией, то ее можно дифференцировать.

Def.	Производной 2-го порядка называют производную от производной 1-го порядка, т.е. – производная 2-го порядка (по Лагранжу) или – производная 2-го порядка (по Лейбницу).

Символ можно рассматривать как единый символ, который читается как «дэ два игрек по дэ икс дважды».

Однако, учитывая, что , то .

Т.о., мы получили формулу для вычисления дифференциала 2-го порядка, т.е. – дифференциал 2-го порядка.

Аналогично вычисляются дифференциалы 3-го порядка , 4-го порядка , и т.д.

Ex.1. Вычислить дифференциал 3-го порядка для функции y=sinx.

Решение.

Т.о.,

.