Понятие частотных характеристик

Вопросы

  1. Что называется и какие Вы знаете типовые входные воздействия? Для чего они нужны?
  2. Что называется переходной характеристикой?
  3. Что называется импульсной переходной характеристикой?
  4. Что называется временными характеристиками?
  5. Для чего служит формула Хевисайда?
  6. Как получить кривую переходного процесса при сложной форме входного воздействия, если известна переходная характеристика звена?
  7. Что называется безынерционным звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики?
  8. Что называется интегрирующим звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики?
  9. Что называется апериодическим звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики?
  10. Что называется колебательным звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики?
  11. Что называется консервативным звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики?
  12. Почему не являются элементарными инерционные звенья второго порядка с коэффициентом затухания большим или равным единице?
  13. Что называется идеальным дифференцирующим звеном? Почему его нельзя реализовать?
  14. Что называется реальным дифференцирующим звеном, его уравнение динамики, передаточная функция, вид переходной характеристики?

 

Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p)гармонический сигнал

то после завершения переходного процесса на выходе установится гармонические колебания

с той же частотой , но иными амплитудой и фазой, зависящими от частоты возмущающего воздействия. По ним можно судить о динамических свойствах системы. Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ). Анализ ЧХ системы с целью исследования ее динамических свойств называется частотным анализом.

Подставим выражения для u(t) и y(t) в уравнение динамики

(aоpn + a1pn - 1 + a2pn - 2 + ... + an)y = (bоpm + b1pm-1 + ... + bm)u.

Учтем, что

а значит

pnu = pnUmejwt = Um (jw)nejwt = (jw)nu.

Аналогичные соотношения можно записать и для левой части уравнения. Получим:

По аналогии с передаточной функцией можно записать:

.

W(j), равная отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому закону, называется частотной передаточной функцией. Легко заметить, что она может быть получена путем простой замены p на j в выражении W(p).

W(j) есть комплексная функция, поэтому:

где P() - вещественная ЧХ (ВЧХ); Q() - мнимая ЧХ (МЧХ); А() - амплитудная ЧХ (АЧХ): () - фазовая ЧХ (ФЧХ). АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного сигналов, ФЧХ - сдвиг по фазе выходной величины относительно входной:


Если W(j) изобразить вектором на комплексной плоскости, то при изменении от 0 до + его конец будет вычерчивать кривую, называемую годографом вектора W(j), или амплитудно - фазовую частотную характеристику (АФЧХ) (рис.48).

Ветвь АФЧХ при изменении от - до 0 можно получить зеркальным отображением данной кривой относительно вещественной оси.


В ТАУ широко используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) (рис.49): логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ) L() и логарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ) (). Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:

ЛАЧХ получают из первого слагаемого, которое из соображений масштабирования умножается на 20, и используют не натуральный логарифм, а десятичный, то есть L() = 20lgA(). Величина L() откладывается по оси ординат в децибелах. Изменение уровня сигнала на 10 дб соответствует изменению его мощности в 10 раз. Так как мощность гармонического сигнала Р пропорциональна квадрату его амплитуды А, то изменению сигнала в 10 раз соответствует изменение его уровня на 20дб,так как

lg(P2/P1) = lg(A22/A12) = 20lg(A2/A1).

По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе. То есть единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз. Такой интервал называется декадой. Так как lg(0) = - , то ось ординат проводят произвольно.

ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом по оси . Величина () откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы: - + .

ЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы. Зная ЧХ системы можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.