Вычислительный эксперимент.
Широкое внедрение ЭВМ в научные исследования и производство, а также расширение из возможностей, привело к бурному развитию методов вычислений и усложнению решаемых задач, связанных с исследованием сложных систем, к разработке новых методов решения сложных математических задач, основой которых явились численные расчеты.
За последние десятилетия начался новый этап в применении математических методов для научных исследований. Этот этап вылился в новое направление, называемое “вычислительный эксперимент” - то есть родилась новая технология математического моделирования. Суть вычислительного эксперимента (ВЭ) заключается в итерационности цикла математического моделирования сложной системы, что позволяет проводить анализ и прогнозирование сложных явлений, объектов и процессов, изучение которых другими способами затруднено или невозможно. В некоторых случаях создание больших вычислительных комплексов эквивалентно созданию сложных экспериментальных установок [29].
Теперь рассмотрим подробно технологию математического моделирования.
Вычислительный эксперимент как средство решения сложных проблем в каждом конкретном случае (в смысле области исследования задачи и производственных условий) имеет свои особенности. Но это не мешает отметить общие основные черты, определяющие единую структуру этого процесса. Для того чтобы лучше понять существо этого метода, полный технологический цикл вычислительного эксперимента можно условно разделить на ряд этапов, которые на самом деле неразрывно связаны между собой:
1. Постановка задачи и план эксперимента;
2. Разработка содержательной модели на языке области исследования;
3. Разработка ММ;
4. Разработка вычислительного алгоритма решения задачи;
5. Программная реализация алгоритма для ЭВМ;
6. Проведение расчетов на ЭВМ;
7. Обработка, анализ и интерпретация результатов, сравнение с физическим экспериментом или точными решениями;
8. Принятие решения о выходе из эксперимента в случае удовлетворительного результата, или о продолжении эксперимента, т. е. возвращение к первому этапу с изменением параметров модели или пересмотром ее, и повторение всего цикла моделирования с модернизацией каждого этапа до получения необходимого результата моделирования.
Основной вычислительного эксперимента является математическое моделирование, теоретической базой - прикладная математика, а технической (производственной) - человеко-машинные вычислительные комплексы (ЭВМ).
Структура этого сложного научно-производственного процесса изображена на рис.1.
Рис. 1 Структура вычислительного эксперимента
Теперь рассмотрим подробно содержание этапов этого процесса.
Исходным пунктом исследования (проектирования) системы (объекта, явления, процесса) с помощью математического моделирования является цель исследования системы. В соответствии с этой целью производится постановка задачи моделирования и план проведения вычислительного эксперимента. Данный метод позволяет решать различные задачи, постановка которых тесно связана с выбором и разработкой математической модели. Строится содержательная модель (расчётная схема) [26] в рамках соответствующей области науки на основе словесно- смыслового описания, которая может содержать и некоторые предположения. Во многих областях для описания системы разработаны специальные приёмы, методы и символы наглядного представления. На этом этапе завершается идеализация системы, задаются границы, формулируются допущения моделирования, определяются главные и второстепенные факторы и параметры системы, оговариваются рамки применимости моделей. Указываются учитываемые свойства системы, и оценка их влияния на её исследуемые характеристики. Формулируется законы (принципы, аналогии), которым подчиняется система. При этом часто одними и теми же моделями могут описываться разные по природе объекты, подчиняющиеся разным фундаментальным законам, и наоборот, данному закону могут отвечать принципиально разные модели (например, линейные и нелинейные). Задаются начальные условия (состояние). На этом этапе формулирования задачи записываются основные уравнения системы, начальные и граничные условия. Кроме основных уравнений (соотношений), как правило выражающих общие законы сохранения; часто необходимо бывает записать дополнительные соотношения, выражающие общие свойства сред, определяющие коэффициенты основных уравнений (диффузии, электропроводности, вязкости, теплоемкости и т. д.). К ним относятся уравнения состояния. Все соотношения являются функциями состояния среды, характеристики которой необходимо знать с достаточной точностью, что иногда заставляет проводить дополнительные вычислительные эксперименты для их определения. Корректность и полнота учёта существенных с точки зрения поставленной задачи свойств системы является необходимым условием получения адекватных моделей. Может быть построена не одна, а несколько вложенных или взаимодополняющих моделей с разной степенью адекватности (или других свойств), что позволяет говорить об иерархии моделей, упорядоченных по сложности и полноте. Часто строятся упрощённые или оценочные модели. При исследовании систем часто требуется совокупность моделей отражающих различные функциональные аспекты и иерархические уровни поведения, состояния или структуры системы. Определяется оптимальная стратегия и план эксперимента - процедура выбора последовательности расчета и значений параметров для получения требуемых результатов.
Следующим этапом будет собственно разработка математической модели системы. На основе содержательной модели формируется математическая задача. На этом этапе решаются важные задачи выбора типа модели и ее конкретного вида в соответствии с теми требованиями и критериями, которые предъявляются к ММ, исходя из постановки проблемы. Здесь используются свои методы, позволяющие предварительно исследователь ММ. К ним относятся также и классические аналитические методы как-то: качественный анализ задачи (исследование особых точек), асимптотические методы, понижение размерности задачи путем осреднения уравнений, метод разделения переменных, линеаризация. Здесь уже ставится (формулируется) чисто математическая задача. Определяется ее корректность, т. е. выясняется характер зависимости от входных данных для того, чтобы определить возможности и метод работы с этой моделью. На этом этапе часто проводят качественные решения задачи, т.е. определяют особые точки, асимптотики и т.п., находятся частные решения для специальных случаев, рассматриваются предельные случаи и определяются различные ограничения. Полученные точные решения (иногда построенные на основе упрощённых моделей) при предварительном исследовании ММ часто используются и в дальнейшем для определения качества вычислительных алгоритмов (по близости полученных результатов), построенных для решения полной задачи моделирования.
Необходимо отметить такую важную особенность ММ, как инвариантность, т. е. возможность описания различных систем одной и той же ММ. Это даёт возможность использования универсального программного обеспечения. Для некоторых типовых содержательных моделей существуют банки ММ, прежде всего простых элементов, облегчающие моделирование во многих областях науки и техники.
Часто создаётся множество возможных ММ одного и того же объекта (явления). Причем, эти ММ могут иметь различный тип, например, детерминированный или вероятностный. А также составляются иерархии моделей по степени полноты или сложности для системы.
Для этого этапа также важно отметить, что часто приходиться строить еще и информационную модель, содержащую структуру входной, выходной и промежуточной информации и способы ее преобразований, особенно актуально это для экономичности ММ при большом объеме данных. Необходимо соблюдать соответствие между содержательным и математическим аспектами ММ, а также соответствие между точностью математического решения и степенью приближений и допущений при построении ММ. При построении ММ важно также соблюдать принцип баланса точности, который требует соизмеримости различных типов погрешностей: погрешности модели, погрешности задания исходных данных, погрешности численного метода, погрешности представления (округления) данных.
Четвёртым этапом является разработка или выбор методов или алгоритмов решения сформулированной математической задачи, т. е. вычислительного или моделирующего алгоритма. На этом этапе производится преобразование математической модели в форму, пригодную для последующего счета на ЭВМ, т. е. представляет собой описание последовательности элементарных действий. Фактически получается цепочка алгебраических формул и логических условий, устанавливающих необходимую последовательность действий. Получается сложная иерархическая структура, которая может перестраиваться в процессе расчетов в зависимости от промежуточных результатов. В большинстве случаев для одной и той же математической задачи можно предложить много различных вычислительных алгоритмов (методов), и следовательно, они будут неравнозначны по своим качествам. Поэтому необходимо уметь отличать их, т. е. оценивать их по каким-то критериям. Эти вопросы служат предметом рассмотрения теории численных методов, математической дисциплины, интенсивно развивающейся в настоящее время, имеющей целью - построение и исследование эффективных вычислительных методов (эффективность или экономичность в нашем понимании - решение поставленной задачи с заданной точностью за минимальное количество действий). Существует даже оценка эффективности алгоритма - количество операций умножения в алгоритме. Это особенно важно в связи с “многовариантным” характером вычислительного эксперимента, т. е., как правило, в ходе вычислительного эксперимента проводится большое количество однотипных расчетов, обусловленных большим количеством входных параметров и широтой диапазона их изменения, влияющих на решение задачи, особенно, если это задача оптимизации.
Разработка вычислительного алгоритма, как правило, включает в себя два шага: аппроксимацию исходной системы дифференциальных уравнений системой алгебраических уравнений (построение разностной схемы) и построение метода решения полученных алгебраических уравнений [27,28]. Т. е. первый шаг представляет собой замену непрерывной среды ее дискретным эквивалентом - разностной сеткой по времени и пространству. Таким образом, производится замена непрерывной области определения задачи дискретным множеством точек (узлов) сетки. При этом необходимо соблюдать ряд условий. Так при дискретизации задачи сплошной среды требуется, чтобы полученная дискретная модель правильно отражала основные свойства сплошной среды. В первую очередь она должна удовлетворять принципу консервативности (удовлетворять законам сохранения массы импульса, полной энергии). Развитие принципа консервативности привело к понятию полной консервативности: при конечных величинах шагов сетки помимо основных законов сохранения соблюдаются также балансы в отдельных видах энергии (кинетической, тепловой, электрической и т.д.) [29]. Практика показала высокую эффективность полностью консервативных схем.
Разностная схема представляет собой, вообще говоря, систему нелинейных алгебраических уравнений, для решения которой применяются различные итерационные методы. Разработка экономичных методов решения таких систем является серьезной проблемой теории численных методов.
Необходимо также отметить, что преобразование собственно математической модели в вычислительный алгоритм требует проверки на соответствие. Эта проверка в принципе может быть проведена формальными методами, так как преобразуются два формальных объекта - ММ и алгоритм.
После разработки эффективного алгоритма следует этап его программной реализации. Этот этап определяется организацией вычислений и технологией программирования. Новая технология строится на основе модульной (блочной) структуры математической модели и алгоритма [30]. Это обусловлено “многовариантностью” и “многомодельностью” вычислительного эксперимента, проявляющихся в многократных изменениях структуры программы (для варьирования параметров задач) и изменениях ММ (уточнениях). На этом этапе производится модульный анализ всей задачи, т. е. определение состава математических модулей и их взаимосвязей в различных схемах решения задач из рассматриваемого класса. Здесь же устанавливается структура программных модулей, общая архитектура пакета прикладных программ (ППП), характер информационных потоков, операционная среда и требования к пользовательским интерфейсам.
Программное обеспечение (ПО) должно создаваться и функционировать с учетом возможности пополнения, совершенствования и обновления его компонент (принцип развития). Языковые и информационные средства программирования и связи между компонентами должны обеспечивать их совместное функционирование и сохранять открытую структуру (принцип совместимости). При этом необходимо стремиться к использованию унифицированного и стандартного ПО и созданию единого информационно совместимого программного комплекса [31].
Этот этап включает разработку программных модулей, их автономную отладку, комплексную отладку, тестирование и документирование. Качество и производительность разработки здесь определяется дисциплиной и стилем программирования, полнотой состава и эффективностью инструментальных средств. По этому важно использование средств автоматизации программирования, использование ППП и библиотек программных компонентов, использование визуального программирования и объектно-ориентированного программирования. Большое значение на этом этапе имеет выбор языка и среды программирования, который в значительной степени определяется целью и задачами моделирования.
Следующим этапом является этап проведения практических расчётов на ЭВМ. Этот этап связан с подготовкой исходных данных, проведением вычислительных сеансов, выводом и обработкой результатов расчётов. Здесь особое значение имеет оперативность выполнения работ и эффективность использования вычислительных ресурсов, что определяется качеством и полнотой ПО, как прикладного, так и системного, и уровнем организации его эксплуатации.
Завершающим этапом является этап анализа и интерпретации результатов и принятия решения о ходе ВЭ. Здесь на основе сравнения численного решения с данными натурного эксперимента на реальном объекте, или данными физического моделирования делаются выводы об адекватности модели и целесообразности продолжения расчётов по разработанным программам, или об их модернизации, или модификации алгоритмов, или об изменении ММ [31,32].
Литература
1. Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. М. 1962. 516 с.
2. БСЭ. Изд. 2 - е.- Т.39. - с. 158.
3. Гаазе-Рапопорт М. Г. Кибернетика и теория систем. «Системные исследования». Ежегодник. М., 1973.
4. Берталанфи Л. фон. Общая теория систем: критический обзор. Сб. ст. Исследования по общей теории систем. М., 1969. - с. 23 - 82.
5. Общая теория систем. М.: Мир. 1966 г.-187с.
6. Вунш Г. Теория систем. М. 1978. - 288 с.
7. Портер У. Современные обоснования общей теории систем. М., 1971.
8. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. - 400 с.
9. Месарович М., Такахара И. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978. - 311 с.
10. Волкова В. Н., Денисов А. А. Основы теории систем и системного анализа. СПб, СПбГТУ. 2001 - 511с.
11. Дружинин В. В., Конторов Д. С., Системотехника. М.: Радио и связь, 1985.- 200 с.
12. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973. - 344 с.
13. Эшби У. Р. Введение в кибернетику. - М.: ИЛ, 1959, - 432 с.
14. Исследования по общей теории систем: Сб. переводов.// Под ред. В. Н. Садовского и Э. Г. Юдина - М.: Прогресс, 1969. - 520 с.
15. Берталанфи Л. фон. История и статус общей теории систем. Системные исследования. Ежегодник, 1972. - М. 1973. с.20-37.
16. Mesarovich M. D., Foundations for a General Systems Thejry. Views on General Systems Theory., Proseedings of theSecond Systems Symposium at Case Institute of Technology. New York - London - Sydney. 1964.
17. Клыков Ю. И., Поспелов Д. А.. Создание модели внешнего машинного мира в памяти машины. - Проблемы эвристики. М. 1969.
18. Поспелов Д. А. Теория гироматов. - Проблемы бионики. М. 1973.
19. Александров Е. А. Основы теории эвристических решений. Подход к изучению естественного и построению искусственного интеллекта. М. 1975. - 256 с.
20. Крон Г. Исследование сложных систем по частям - диакоптика. М.,1972. - 544 с.
21. Буч Г. Объектно-ориентированное проектирование с примерами применения. М. 1992. - 519 с.
22. Шлеер С., Меллор С. Объектно-ориентированный анализ: моделирование в состояниях. Киев. 1993. - 240 с.
23. PC WEEK/RE. №25, 1998.
24. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. М. 1978. - 400 с.
25. Бусленко Н. П., Калашников В. В., Коваленко Н. Н. Лекции по теории сложных систем. М. 1973. – 440 с.
26. Зарубин В. С.. Математическое моделирование в технике. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 496 с.
27. Самарский А. А. Введение в численные методы. М 1982. - 272 с.
28. Самарский А. А. Теория разностных схем. М. Н. 1989 . - 616 с.
29. Самарский А. А. Математический и вычислительный эксперимент. Вестник АН СССР. №5. 1979 г. - С. 38-49.
30. Горбунов-Посадов М.М., Карпов В.Я., Корягин Д. А. Красотченко В. В., Матекин М. П. Пакет «Сафра»: программное обеспечение вычислительного эксперимента. - В кн.: Пакеты прикладных программ: Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1983.
31. Легоньков В. И. О построении программного обеспечения вычислительного эксперимента. - В кн.: Пакеты прикладных программ: Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1983.
32. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Об однородных разностных схемах. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1961г., т.1, №1.
33. Самарский А. А., Попов Ю.П.. Разностные схемы газовой динамики. М. Н. 1980. - 352с.
34. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы Примеры. М. 2001. 320 с.
35. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М.1994.-192 с.
36. Введение в математическое моделирование: учебное пособие. М. 2005. – 440 с.
37. Системы автоматизированного проектирования. Норенков И. П. Кн.1, Принципы, построение и структура. М. В.Ш. 1986.
38. Норенков И. П. Основы автоматизированного проектирования. М. 2000. - 360 с.
39. Корячко В. П., Курейчик В. М., Норенков И. П. Теоретические основы САПР. М. 1987. - 400 с.
40. Бортников Ю. С., Коновалов А. П., Лидоренко Н. С., Рубашов И. Б. Проблемы математического моделирования систем автономной энергетики. Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. №1, 1972 .,стр.88-95.