Метод Д’Аламбера (для розв’язування задачі про вільні поперечні коливання нескінченої струни).
Поперечні коливання нескінченної струни
Лекція 4 Методи розв’язування задач про коливання струни
Перш ніж розв’язувати задачу про коливання закріпленої струни, розглянемо більш просту задачу про коливання нескінченної струни.
Розглянемо вільні поперечні коливання нескінченної струни в наступній постановці:
,
П.У. (4.1)
де функції і задані на всій числовій осі.
Задача полягає у знаходженні функції , яка визначає переміщення будь-якої точки х у будь-який момент часу t. По-перше, зведемо хвильове рівняння до канонічного виду. Це рівняння гіперболічного типу. Оскільки визначник
Згідно з методом характеристик запишемо рівняння:
або .
Отже, отримали два звичайних диференціальних рівняння. Проінтегруємо кожне з них:
1)
2)
Тепер введемо нові змінні: .
Щоб у хвильовому рівнянні перейти до цих змінних, знайдемо відповідні частинні похідні та , врахувавши, що
;; ;
Підставивши ці похідні у хвильове рівняння, отримаємо:
Звідси – це хвильове рівняння у канонічному виді. Проінтегрувавши його спочатку по , потім по , отримаємо розв’язок:
, або:
. (4.2)
Це загальний розв’язок хвильового рівняння, де та довільні двічі диференційовні функції. Щоб їх знайти, використаємо початкові умови:
Після інтегрування другого рівняння у межах від 0 до , отримаємо систему:
де
Розв’язавши систему рівнянь, знайдемо шукані функції:
Щоб отримати функції та , достатньо замість аргумента х підставити відповідні аргументи та . Отже, розв’язок задачі
Таким чином, для задачі про поперечні коливання нескінченної струни розв’язок за методом Д’Аламбера має вигляд:
(4.3)
Формула (4.3) називається розв’язком Д’Алембера задачі Коші для рівняння коливань струни.
Приклад 4.1 Знайти розв’язок задачі математичної фізики у такій постановці:
,
За умовою задачі функції За методом Д’Аламбера маємо:
Відповідь: