Двухмерное вращение вокруг оси.

Описание поверхностей в форме Фергюсона.

Описание поверхности методом Кунса.

Уравнение поверхности в форме Безье.

Пусть кривая прямой, представляется в форме Безье характеристической ломаной, движется в направление “V”, каждая точка (вершина) характеристической ломаной проходит определенный путь, таким образом, получается каркас поверхности (формула) и т.д.

Уравнение полиноминальной поверхности в форме Берштейна-Безье будет иметь вид:

где – вершина характеристик многогранника;m – число вершин по направлению V; n – число вершин по направлению U; i – текущая вершина по направлению U;j – текущая вершина по направлению V;

Луч задан на прямоугольной области, сетчатый каркас поверхности, сетки кривых разбивает поверхность на совокупность ячеек, каждый из которых ограничен параметрически, представленных парой U-кривых и V-кривых.

Параметрически заданная ячейка поверхности r(U,V) имеет вид границы от 0≤U≤1; 0≤0<1; Представленная внутренняя часть поверхности, ограниченная 4-мя исходными ограниченными кривыми r(U;0); r(1;0); r(U;1); r(0;V).

Форрест предложил трактовку алгоритма составляющий уравнение поверхности Кунса, который составляет вследующим для данной ячейки поверхности решается более простая задача, по двум граничным кривым r(0;V); r(1;V) построит линейчатую поверхность, который будет выглядеть следующим образом:

Для первой пары:

Тоже самое со второй парой:

Сумма дает нам третью поверхность.

у которой граничные кривые будут являться суммой граничной кривой и прямого отрезка.

Для восстановления исходных граничных кривых необходимо из уравнения суммы вычесть какую-нибудь линейчатую поверхность (формула), граница на котрый служат эти прямолинейные отрезки, тогда:

Отсюда запишем:

В матричном виде:

Пусть кривая представляется в форме Фергюсона, уравнения:

Непрерывно перемещаются в трехмерном пространстве в направление V и изменяет свою форму в процессе этого изменения, в результате получаем поверхность r(U;V), представленная своим каркасом и т.д.

Для вывода уравнения поверхности нужно обобщить способ задания кривой, путем установления зависимых коэффициентов от второго параметра “V”.

Используем параметрическую запись кривой, запишем:

тогда уравнение поверхности будет:

Действия

В общем случае вращение около произвольной точки может быть выполненной путем переноса центром вращения координат, поворот относительно начала координат, а потом переноса точки вращения в исходное положение.

Таким образом, вектор положения (x,y) около точки (mи n) на произвольный угол может быть выполнен с помощью преобразования.

Выполнив 2 операции умножения матрицы можно записать: