Tаблица 2. Расчетные выражения для составляющих формул (28,29).

 

Форма тела Граничные условия mn An Un Un в c c- d
  П   Л     I рода: tR=const       (2n-1)       cos (mn r)                      
А   С   II рода: q = l = const   np   -     - // -                   -
Т   И   Н   А III рода: - = a (tR - tcp.) a = const tcp. = const Корни уравнения ctg         - // -                    
  Ц   И   I рода   Корни уравнения J0(m)=0       - // -              
  Л     II рода Корни уравнения J1 (µ)=0       - // -               -
И   Н   Д   Р     III рода Корни уравнения         r¹0 : J0(µn r) ; r=0: J0(0)= 1              
  С   Ф   I рода   np     r¹0: sinmnr r r=0: mn            
Е   Р   II рода Корни уравнения tg m= m     - // -                 -
  А   III рода Корни tgm=     - // -          

J0, J1 - функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка.

 

*). Численный эксперимент показал, что для абсолютной сходимости ряда типа требуется »6×103 членов ряда. ( В решениях каждый член ряда умножается на exp ( -mn2 F0) и столько членов ряда не надо).

 

Для расчета температурных полей, среднеинтегральных температур в пластине, цилиндре, шаре при граничных условиях ɪ, ɪɪ,ɪɪɪ рода есть программа HEAT2 для персонального компьютера на Фортране [6]. Вычисления с целью обобщения проводятся сначала в безразмерных значениях координат и времени (r- F0), затем в размерных.

 

 

При охлаждении (нагревании) тел конечных размеров: параллелепипедов(кубов), цилиндров конечных размеров и прямоугольных стержней, можно рассматривать их как тела, образованные пересечением взаимно перпендикулярных соответственно трех пластин, цилиндра и пластины и двух пластин неограниченных размеров, но конечной толщины. Решения таких задач представляются в форме произведения безразмерных температур для тел неограниченных размеров, в результате пересечения которых образовалось рассматриваемое тело. Так, для ограниченного цилиндра высотой 2L и радиуса R распределение температур q(z,r,t) получается перемножением решений для неограниченных пластины толщиной 2L и цилиндра радиуса R

 

q =1- [ 1- [qпл(z,t)] × [1-qц(r,t)] . … (30)

 

Если граничные условия переменны во времени (переменная температура поверхности, переменный тепловой поток, переменная температура среды, например, суточные колебания температуры окружающей среды), то решения находятся с использованием интегрального уравнения типа свертки (теорема Дюамеля) [1,2]

 

q=qɪ·Fнач. + qɪ * Fr , … (31)

где

qɪ- решение при единичном воздействии Fº1;

q - решение при воздействии F=F(t);

r - символ производной по времени;

* - символ свертки: j * y =j(t)*y(t)= j(t-w)y(w)dw=y*j.

 

При аналитически простых воздействиях решение (31) может быть найдено аналитическим путем, при сложных воздействиях - численным интегрированием, например по программе TEZIS (температурные задачи, интегралы свертки) [4,5]. Эта программа решает и обратные задачи теплопроводности (восстановление F или qɪ). Эти задачи труднорешаемы, но решаемы с применением специальных алгоритмов.

 

 

Для прямых задач при численном интегрировании по формуле прямоугольников на равномерной временной сетке (31) получает вид

 

q(ti) = qɪ(ti-tj) × F(tj+1-tj) … (32)

( i , j - 0,1,2,3, …).