Статья: Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Езаова А.Г.

Кафедра теории функций.

Кабардино-Балкарский государственный университет

В работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа. Поставленная задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое методом Карлемана-Векуа редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода.

Рассмотрим уравнение

 (1)

где m – натуральное число в конечной односвязной области , ограниченной отрезками  прямых  соответственно – и характеристиками:

уравнения (1).

Пусть ;– интервал  прямой ;

– аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1) при , выходящих из точки , с характеристиками  и  соответственно;

 (2)

 (3)

– операторы дробного интегрирования порядка - при  и обобщенные в смысле Лиувилля производные порядка  при , причем

где – единичный оператор, а – целая часть .

Под регулярным в области  решением уравнения (1) будем понимать функцию , удовлетворяющую уравнению (1) в , и такую, что  может обращаться в бесконечность порядка ниже  на концах А и В интервала I.

Задача Н. Найти регулярное в области  решение  уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

, (4)

, (5)

где ,

 (5`)

. (6)

Пусть существует решение задачи . Тогда, регулярное решение уравнения (1) в гиперболической части , удовлетворяющее данным Коши  , дается формулой [1]:

 (7)

Удовлетворяя (7) краевому условию (5), получим функциональное соотношение между функциями  и , принесенное на из  [2]:

, (8)

где

 (9)

Из постановки задачи Н следует, что функция  непрерывна в области . Поэтому, переходя к пределу при  в уравнении (1) и учитывая граничные условия (4), получим:

, (10)

. (11)

Решая задачу (10), (11) относительно , окончательно получим функциональное соотношение между функциями  и , принесенное из области  на :

 (12)

Подставляя в (9) вместо функции  её выражение (12), получаем :

где

.

Используя формулу Дирихле перестановки порядка интегрирования, перепишем равенство (13) в виде:

 (14)

Следуя [2], преобразуем интегралы:

, , ,

, .

В интегралах  сделаем подстановки

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5)

соответственно. В результате получим равенства:

,

Подставляя значения  в равенство (14) и делая несложные преобразования, получаем:

 (15)

Учитывая (15) в равенстве (7), будем иметь:

 (16)

где обозначено

 (17)

 (19)

Введем вспомогательную функцию  по формуле :

 (20)

Легко заметить, что функция  и в точке x=0 обращается в нуль порядка выше e, а при x=1 может обращаться в бесконечность порядка выше (1-e) относительно x и (1-x) соответственно. Из равенства (20) однозначно определяется функция :

 (21)

Учитывая значение функции  из равенства (21), в интегралах в правой части (16) получаем:

.

Обозначим

. (22)

Тогда окончательно имеем:

.

Аналогично находим, что

,

где обозначено , (23)

; (24)

. (25)

Используя известное тождество [3],

,

где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, уравнение (16) с учетом (5`), (17) – (19), (22) – (25) и делая несложные преобразования, приводится к сингулярному интегральному уравнению [1, 3]:

 (26)

где сингулярный оператор S задаётся формулой:

,

, ,

,

, ,  – известные функции, ограниченные соответственно на 0 £ t £ x £ 1, 0 £ x £ t £ 1, 0 £ x £ 1, причем , .

Производя регуляризацию уравнения (26) по методу Карлемана – Векуа [4] и делая несложные преобразования, оно приводится к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода [2]:

, (27)

где  причем ядро  и функция  ограниченные соответственно при, 0£ x, t£ 1, 0£ x£ 1.

Следуя [2], обозначим через  – множество функций , непрерывных всюду кроме быть может точек x=0, (x=1) и удовлетворяющих условию   где , – целая часть , – целая часть  [1].

В работе [2] найдены необходимые и достаточные условия существования решения уравнения (27) в классе .

Функция , определенная формулой (21), принадлежит классу искомых решений интегрального уравнения (8).

После определения , функция  задаётся формулой (12). Таким образом, в области  приходим к задаче [6]: найти регулярное в области  решение уравнения (1), непрерывное вместе с производной  в замкнутой области  и удовлетворяющее граничным условиям (4) и .

Решение этой задачи задается формулой :

где  – функция Грина этой задачи для уравнения

. (28)

Функция Грина выражается через фундаментальные решения уравнения (28), которые имеют вид:

где ;

;

– функция Бесселя. Функции ,  называются функциями Эйри и удовлетворяют уравнению . Основные свойства функций  и , их оценки вместе с частными производными порядка больше 1, приведены в [7].

Список литературы

Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик. 1972.

Wolfersdorf L. Mfth. Zeitschr., 90,1,1965.

Езаова А.Г. Краевая задача для одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.// Нальчик, вестник КБГУ, серия «математические науки». Вып. 3, 2003.

Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.

Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов. Ташкент, Фан, 1979.

Kattabriga L. Un problem al kontrono per ulna education did or dine despair // Anal Della scholar normal did pisafisa mat. 1959. №2.