Статья: Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Соиск. Дзарахохов А.В.

Кафедра математики.

Горский государственный аграрный университет

Доказана однозначная разрешимость локальной и нелокальной краевых задач для нагруженных уравнений 2 порядка оператора Геллестедта.

Рассмотрим уравнение

 (1)

в области Ω, ограниченной отрезками АА0, ВВ0, А0В0 прямых  соответственно и характеристиками

уравнения (1) в полуплоскости y<0, λ(y) – заданная непрерывная функция.

Пусть  – параболическая,  - гиперболическая области Ω,  - интервал прямой y=0.

ЗАДАЧА 1. Найти в областях Ω1, Ω2 решение

уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

, (2)

, (3)

где  - непрерывные, а  - дважды непрерывно дифференцируемая функции, причем

. (4)

Решение задачи Коши  для уравнения (1), y<0, в области Ω2 имеет вид [1]:

, (5)

где .

Удовлетворяя (5) заданному условию (3), получим

. (6)

В равенстве (6) сделаем замену

.

В результате получим

.

Заменяя в последнем равенстве x через , получаем:

. (7)

Из равенства (7) находим

, (8)

где .

Обращая (8) как обобщенное интегральное уравнение Абеля относительно , получаем [2]:

. (9)

Или с учетом перестановки Дирихле порядка интегрирования во втором интеграле правой части (9), получаем:

. (10)

Рассмотрим

.

Произведя замену переменных  в последнем равенстве, получим

. На основании равенства [3]

будем иметь

. (11)

Подставляя (11) в (10), окончательно получаем функциональное соотношение между  и , привнесенное из гиперболической части области Ω на линию y = 0:

. (12)

При m = 0 оно принимает вид:

. (13)

Устремляя  из Ω1, получаем функциональное соотношение между  и , привносимое на линию y = 0 в виде:

. (14)

В начале рассмотрим случай, когда m = 0. Исключая из уравнения (13) и (14)  и, учитывая краевые условия (2), приходим к задаче

, (15)

. (16)

Решение (15), (16) представим в виде:

, (17)

где обозначено

.

Отсюда полагая x=x0, в силу условия (14) однозначно найдем . Затем подставляя это значение в (17) полностью определяем .

После определения  в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и . Нетрудно убедиться, что решение  этой задачи удовлетворяет интегральному уравнению

, (18)

где

 – функция Грина указанной выше смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Отсюда, полагая в (18) x = x0, для функции  получаем интегральное уравнение

 (19)

с ядром

и правой частью .

Уравнение (19) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода и оно безусловно разрешимо в пространстве .

ЗАДАЧА 2. Требуется найти функцию , удовлетворяющую всем условиям задачи 1, кроме второго условия из (2) и (4), вместо которых берут условия:

, (20)

. (21)

Для решения задачи 2, поступая как выше, с учетом условия (21) функцию  однозначно определим решением уравнения (15), удовлетворяющим условиям

.

Пользуясь функцией Грина  второй краевой задачи для уравнения теплопроводности, убеждаемся, что решение  задачи 2 в области Ω1 удовлетворяет уравнению

, (22)

где .

Отсюда полагая в (22) x = x0 и учитывая условие (20), получаем систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно  и :

 (23)

,

,

,

.

В силу свойства функции Грина  и ядер системы (23), нетрудно убедиться, что система уравнений (23) допускает единственное решение в пространстве  [4].

Пусть теперь m > 0. Исключая  из системы уравнений (12) и (15), получаем интегродифференциальное уравнение относительно :

, (24)

удовлетворяющее граничному условию

 (25)

в случае задачи 1 и нелокальному условию

 (26)

в случае задачи 2.

Интегрируя равенство (24) дважды от 0 до x, с учетом граничных условий (25), (26), получаем:

 (27)

Преобразуем двойной интеграл в левой части равенства (27):

. (28)

Учитывая равенство (28) в (27), получаем:

 (29)

где

. (30)

Преобразуем двойные интегралы в равенстве (30). В результате получим

,

.

Учитывая J3 и J4 в равенстве (30), окончательно будем иметь:

Откуда заключаем, что . Таким образом, относительно  получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

, (31)

.

Так как , то обращая (31) через резольвенту R(x, t), будем иметь

, (31)

где

Полагая в равенстве (31) х=х0 и х=1, однозначно определим

,

, если выполнены условия

.

После определения функции  в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и , которая на основании свойств функции Грина эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. В области Ω2 решение задачи 2 задается формулой (5).

Список литературы

Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1959.

Трикоми Ф.О. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: ОГИЗ, 1947.

Мюнтц Г. Интегральные уравнения //Л.-Н.ГТТИ. 1934. Т1.

Елеев В.А. Краевые задачи для нагруженного гиперболо-параболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Украинский мат. журнал. Киев, 1995. Т.47, №12.