Дипломная работа: *-Алгебры и их применение
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. В.И. ВЕРНАДСКОГО
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Дипломная работа специалиста
|
|
студент 5 курса специальности математика _________________________________ НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ: ассистент каф. алгебры и функционального анализа _________________________________ профессор, доктор физико-математических наук _________________________________ РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ: зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н. _________________________________ |
СИМФЕРОПОЛЬ
2003
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………………..4
Глава I. Основные понятия и определения…………………………………….6
§ 1. * - алгебры……………………………………………………………………...6
1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6
1.2. Примеры…………………………………………………………………………7
1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7
1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11
§ 2. Представления ……………………………………………………………….13
2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13
2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15
2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16
2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19
2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20
§ 3. Тензорные произведения……………………………………………………26
3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26
3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28
Глава II. Задача о двух ортопроекторах………………………………………..31
§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве…………………………..31
1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31
1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 ……………………………….31
1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2 ……………………………….32
1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P2 …………………………………35
1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37
§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве……39
2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 …………………………...39
2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41
Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45
§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве……...45
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45
1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45
1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45
1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46
1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47
1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49
§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном
гильбертовом пространстве …………………………………………………….52
2.1. Спектр оператора А = Р1 +Р2 …………………………………………………52
2.2. Спектр линейной комбинации А = аР1 + bР2 (0<а<b) ……………………..53
Заключение………………………………………………………………………..55
Литература ………………………………………………………………………..56
ВВЕДЕНИЕ
Пусть Н – гильбертово пространство, L(Н) – множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L(Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).
Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.
Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.
Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])
В Главе II изучаются представления *-алгебры P2
P2 = С < p1, p2 | p12 = p1* = p1, p22 = p2* = p2 >,
порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P2, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.
В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 . Неприводимые *-представления P2 одномерны и двумерны:
4 одномерных: π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1;
π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.
И
двумерные: 
, 
τ 
(0, 1).
Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств Н, а также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.
В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.
В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р1, Р2, применяется к изучению сумм Р1+Р2, аР1+bР2 (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р1+Р2 или А = аР1+bР2, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).
Глава I. Основные понятия и определения
§ 1. 
- алгебры
1.1.
Определение
- алгебры.
Определение 1.1. Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб-
рой, если:
1) А есть линейное пространство;
2)
в А
введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
воряющая следующим условиям:
α (x y) = (α x) y,
x (α y) = α (x y),
(x y) z = x (y z),
(x + y) = xz +xy,
x (y + z) = xy + xz для любых x, y, z А и любых чисел α.
Два элемента x, y алгебры А
называются перестановочными, если xy = yx.
Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.
Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x → x* алгебры А в А, что
(i) (x*)* = x;
(ii) (x + y)* = x* + y*;
(iii)
(α x)* = 
x*;
(iv)
(x y)* = y*x* для любых x, y С.
Алгебра над С,
снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй.
Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А,
сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.
Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А.
1.2. Примеры
1)
На А = С
отображение z
→
(комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С
в коммутативную *- алгебру.
2)
Пусть Т –
локально компактное пространство, А = С(Т) – алгебра непре-
рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то
есть для любого ε > 0 множество {tT: |f (t)| 
ε}
компактно, f (t) А. Снабжая А отображением f→
получаем коммутативную *- алгебру.
Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).
3) Пусть Н – гильбертово пространство. А = L(H) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.
4)
Обозначим через К(Н)
совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н;
операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие
действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести
инволюцию А→А* (АК(Н)).
Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы.
Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый
единичный шар S
H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.
5)
Обозначим через W совокупность всех абсолютно
сходящихся рядов 
.
Алгебра W есть *- алгебра, если положить 
. (
)
1.3. Алгебры с единицей
Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию
ех = хе =
х для всех хА
(1.1.)
Элемент е называют единицей алгебры А.
Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.
Доказательство. Действительно, если е΄ - также единица в А, то
е΄х =
хе΄ = х, для
всех хА
(1.2.)
Полагая в (1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим:
ее΄ = е΄е = е΄ и е΄е = ее΄ =е, следовательно е΄ = е.
Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.
Доказательство. Искомая алгебра
должна содержать все суммы х΄=αе + х, хА; с другой стороны,
совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄, в которой
основные операции определяются формулами:
β(αе + х) = βαе + βх, (α1е + х1) + (α2е + х2) = (α1 + α2)е + (х1 + х2),
(α1 е + х1)(α2 е+ х2 )=α1 α2 е +α1 х2 +α2 х1 + х1 х2 (1.3.)
Каждый элемент х΄ из А΄ представляется единственным образом в виде
х΄ =
αе + х, хА, так как по условию А не содержит единицы.
Поэтому А΄ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄
= αе + х, хА, в
которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А
получится при α = 0.
Алгебру А΄ можно также
реализовать как совокупность всех пар (α, х), хА, в которой
основные операции определяются по формулам:
β (α, х) = (βα, βх), (α1, х1) + (α2, х2) = (α1 + α2, х1 + х2),
(α1, х1)(α2, х2) = (α1α2, α1х2 + α2 х1 + х1х2), (1.4.)
аналогично
тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда
рассматривать как совокупность всех пар (0, х), хА
и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х),
мы получим:
(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,
так что вторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.
Переход от А к А΄ называется присоединением единицы.
Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.
Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим
z = (yx)z = y(xz) = ye,
В этом случае говорят, что существует обратный х-1 элемента х.
1.4. Простейшие свойства -
алгебр
Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.
Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть
вещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y
перестановочны. Для каждого хА
элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов
элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта
1.2. Действительно, для любого zC 
, но если z действительно отрицательное число, то его нельзя
представить в виде 
.
Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х1 +iх2, где х1, х2 – эрмитовы элементы.
Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1 +iх2, следовательно:
, 
(1.5.)
Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х1, х2, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1 +iх2.
Эти элементы х1, х2 называются эрмитовыми компонентами элемента х.
Заметим, что хх* = х12 + х22 + i(х2х1 – х1х2),
хх* = х12 + х22 - i(х2х1 – х1х2)
так что х нормален тогда и только тогда, когда х1 и х2 перестановочны.
Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.
Если А - *-алгебра без единицы, а А΄ - алгебра,
полученная из А присоединением единицы, то, положив 
при хА, мы определим
инволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так
что А΄ станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть
*-алгебра, полученная из А присоединением единицы.
Теорема 1.4. Если х-1 существует, то (х*)-1 также существует и
(х*)-1 = (х-1)*
Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения
х-1х = хх-1 = е,
получим х*(х-1)*= (х*)-1х*=е.
Но это означает, что (х-1)* есть обратный к х*.
Подалгебра А1 алгебры А называется
*-подалгеброй, если из хА1
следует, что х*А1
.
Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности,
пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.
Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.
Теорема 1.5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра,
содержащая нормальный элемент х , и если х-1 существует,
то х-1В.
Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми
элементами из В, то этим же свойством обладают х-1 и (х*)-1
= (х-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х-1В.
Определение 1.6. Элемент хА
- *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря,
если х обратим и х = (х*)-1.
В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.
Унитарные элементы А образуют группу по умножению – унитарную группу А. Действительно, если x и y – унитарные элементы *-алгебры А, то
((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y*)-1 = xy,
поэтому xy унитарен, и так как ((х-1)*)-1= ((х*)-1)-1 = х-1, то х-1 унитарен.
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что
f (x + y) = f (x) + f (y),
f (αx) = α f (x),
f (xy) = f (x) f (y),
f (x*) = f (x)*
для любых х,yА, αС.
Если отображение f биективно,
то f называют изоморфизмом
(*-изоморфизмом).
Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:
(i) I ≠ A;
(ii)
Из х, yI следует x + y I;
(iii)
Из хI, а αА следует α хI.
Если I = А, то I называют несобственным идеалом.
Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.
Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.
Пусть I –
двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными
относительно идеала I,
если х-yI. Тогда вся алгебра А разбивается на классы
эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех
этих классов. Введем в А1 операции сложения, умножения на
число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I – двусторонний идеал, то результат операций
не зависит от выбора этих представителей.
Следовательно, А1 становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.
*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.
Определение 1.9. Идеал I
(левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из хI следует х*I.
Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I, то I есть одновременно и левый и правый идеал.
В фактор-алгебре A/I по самосопряженному двустороннему
идеалу I можно определить инволюцию следующим
образом. Если х-yI, то х*-y*I. Поэтому при переходе от х к х*
каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2.
выполнены; следовательно, A/I есть *-алгебра.
Если х → х΄ есть *-гомоморфизм А на А΄, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I *-изоморфна *-алгебре А΄.
Обратно, отображение х → [х] каждого элемента хА в содержащий
его класс вычетов по I
есть *-гомоморфизм алгебра А на A/I.
§ 2. Представления
2.1. Определения и простейшие свойства представлений.
Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н – гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).
Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L(H), что
π (x+y) = π (x) + π (y), π (α x) = α π(x),
π (xy) = π (x) π (y), π (x*) = π (x)*
для любых х,
y А и α С.
Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н называется пространством представления π.
Определение 2.2. Два представления π1 и π2 инволютивной алгебры А в Н1
и Н2 соответственно, эквивалентны (или унитарно
эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н1
в гильбертово пространство Н2, переводящий π1(х) в π2(х) для любого хА,
то есть
U π1(х) =
π2(х)
U для всех х А.
Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π (х)f (для всех хА)
плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или
тотализирующим) для представления π.
Определение 2.4. Подпространство Н1
Н называется инвариантным, относительно представления π, если π (А)Н1Н1.
Если Н1 инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (хА)
можно рассматривать как операторы Н1. Сужения π(х) на Н1 определяют подпредставления π1 *-алгебры А в Н1.
Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.
Доказательство. Пусть f
ортогонален к Н1, то есть (f, g) = 0 для всех gН1. Тогда для любого хА (π(х)f, g) = (f,
π(х)*g) = (f, π(х*)g)
= 0, так как π(х*)gН1. Следовательно, вектор π(х)f также ортогонален к Н1.
Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н на
подпространство Н1Н1.
Теорема 2.2. Н1 – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1.
Доказательство. Пусть Н1 – инвариантное подпространство
и fН1, но также π(х)f Н1. Отсюда для любого вектора fН
π(х)Р1f Н1
следовательно, Р1π(х)Р1f = π(х)Р1f ,
то есть Р1π(х)Р1 = π(х)Р1.
Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также
Р1π(х)Р1 = Р1π(х).
Следовательно, Р1π(х) = π(х)Р1; операторы Р1 и π(х) коммутируют.
Обратно, если эти операторы перестановочны, то для fН1
Р1π(х)f = π(х)Р1f = π(х)f ;
Следовательно,
также π(х)f Н1.
Это означает, что Н1 – инвариантное подпространство.
Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.
Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида
h = f1 + … + fn, где f1, …, fn – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х)h = π(х)f1 +…+ π(х)fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х)g.
2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (πi)i
I - семейство представлений *-алгебры А в
гильбертовом пространстве Нi (iI). Пусть
|| πi (х) || ≤ сх
где сх – положительная константа, не зависящая от i.
Обозначим
через Н прямую сумму пространств Нi,
то есть Н = 
Нi. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный
линейный оператор π(х)
в Н, который индуцирует πi (х)
в каждом Нi. Тогда
отображение х → π(х)
есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений
πi и обозначаемое πi или π1
…..πn
в случае конечного семейства представлений (π1…..πn).
Если (πi)iI – семейство представлений *-алгебры А,
совпадающих с представлением π,
и если CardI = c,
то представления πi обозначается через сπ. Всякое представление,
эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.
Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.
Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.
Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.
Доказательство. Пусть f0 ≠ 0 – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х)f0, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 – инвариантное подпространство, в котором f0 есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления π.
Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1.
Обозначим через М совокупность всех систем {Нα}, состоящих из взаимно ортогональных
циклических подпространств представления; одной из таких систем является
построенная выше система {Н1, Н2}.
Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует
частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно,
верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Нα}М
будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная
система {Нα}. Но тогда Н=
Нα; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(Нα) существовало бы отличное от {0}
циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {Нα}
Н0М, содержащую
максимальную систему {Нα}, что невозможно.
2.3. Неприводимые представления.
Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.
Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.
Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.
Теорема 2.5. Представление π в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.
Доказательство. Пусть представление π неприводимо.
При f
Н, f ≠ 0,
подпространство, натянутое на векторы π(х)f , хА, есть
инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает
с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное
пространство
{α f | α C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть π(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.
Обратно, если представление π приводимо и К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления π в Н.
Теорема 2.6. (И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А) в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).
Доказательство.
Пусть представление π
неприводимо и пусть ограни-
ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В –
эрмитов оператор; обозначим через E(λ)
спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х) ; в виду
неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f) не убывает при
возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0 такое,
что E(λ) =0 при λ<λ0 и E(λ) =1 при λ>λ0 . Отсюда
В=
λ
dE(λ) = λ0 1.
Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор,
переста-
новочный со всеми операторами π(х).
Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно,
В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В*
Поэтому
эрмитовы операторы В1=
, В2=
также перестановочны со
всеми операторами π(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор
В = В1+iВ2
кратен единице, то есть В – скаляр.
Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.
Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н → Н΄
такой, что Тπ(х)=π΄(х)Т для любого хА,
называется оператором сплетающим π и
π΄.
Пусть Т : Н → Н΄ - оператор, сплетающий π и π΄. Тогда Т* : Н΄ → Н является оператором, сплетающим π΄ и π, так как
Т* π΄(х) = (π΄(х)Т)* = (Тπ(х*))* = π(х)Т*
Отсюда получаем, что
Т* Тπ(х)=Т* π΄(х)Т= π(х)Т*Т (2.1.)
Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен с π(А). Пусть Т = U|T| - полярное разложение Т. Тогда для любого хА
Uπ(х)|T| = U|T| π(х)= Тπ(х)= π΄(х)Т=π΄(х)U|T| (2.2.)
Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует
Uπ(х) = π΄(х)U (2.3.)
Если, кроме того, 
= Н΄,
то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и
Н΄ и (2.3.) доказывает что π и
π΄ эквивалентны.
Пусть π и π΄ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Н΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н → Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* - скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.
2.4. Конечномерные представления.
Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление
*-алгебры А. Тогда π = π1…..πn , где πi неприводимы.
Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q
и что наше предложение доказано при dimπ<q. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄ π΄΄, причем dimπ΄<q, dimπ΄΄<q, и достаточно применить предположение индукции.
Разложение π = π1
…..πn не единственно. Тем не менее, мы
получим некоторую теорему единственности.
Пусть ρ1, ρ2 – два
неприводимых подпредставления π. Им
отвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2.
Пусть Р1 и Р2 – проекторы Н на Н1
и Н2. Они коммутируют с π(А).
Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающий
ρ1 и ρ2. Следовательно, если Н1
и Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1
и ρ2 эквивалентны. Это доказывает, что любое
неприводимое подпредставление π
эквивалентно одному из πi . Итак, перегруп-
пировав πi , получаем, что π = ν1…..νm, где каждое νi есть кратное ρiνi΄ неприводимого представления νi΄, и νi΄ попарно эквивалентны. Если ρ
– неприводимое представление π, то
предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное
подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Нi, отвечающих νi, кроме одного. Поэтому Н΄
содержится в одном из Нi. Это доказывает, что каждое пространство Нi определяется однозначно: Нi – это подпространство Н,
порожденное пространствами подпредставлений π,
эквивалентных νi΄. Таким образом, доказано
предложение.
Теорема 2.8. В разложении π
= ρ1ν1΄…..ρmνm΄ представления π, (где ν1΄,…, νm΄ неприводимы и неэквивалентны) целые
числа ρi и классы представлений νi΄ определяются единственным образом,
как и пространства представлений.
2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.
Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т,
снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими
свойствами: ТВ, ØВ, В инвариантно
относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к
дополнению.
Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 – борелевские пространства. Отображение f: Т1→Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1.
Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.
Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т.
Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т
есть пара ε = ((H(t))tT, Г), где (H(t))tT – семейство гильбертовых
пространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множество
векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:
(i) Г – векторное
подпространство 
Н(t);
(ii)
существует
последовательность (х1, х2,…) элементов Г
таких, что для любого tT элементы хn(t) образуют последовательность H(t);
(iii)
для любого хГ функция t→||x(t)|| μ – измерима;
(iv)
пусть х
– векторное поле; если для любого yГ функция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то хГ.
Пусть ε = ((H(t))tT, Г) μ – измеримое поле
гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем
с интегрируемым квадратом, если хГ
и 
||x(t)||2 dμ(t) < +∞.
Если х, y
– с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λС) – тоже и
функция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим
(x,
y) = (x(t), y(t)) dμ(t)
Тогда
векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н,
называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое 
x(t)dμ(t).
Определение 2.10. Пусть ε = ((H(t))tT, Г) – измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т. Пусть для любого tT определен оператор S(t)L(H(t)). Если для любого хT поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем.
Пусть Т – борелевское пространство, μ - положительная
мера на Т, t→Н(t) - μ - измеримое поле гильбертовых
пространств на Т. Пусть для каждого tT задано представление π(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t→π(t) есть поле представлений А.
Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого хА поле
операторов t→π(t)х измеримо.
Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого хА можно
образовать непрерывный оператор π(х)=π(t) (x) dμ(t) в гильбертовом прост-
ранстве Н =Н(t) dμ(t).
Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление А в Н.
Доказательство. Для любых х, yА имеем
π(х+y) = π(t) (x+y) dμ(t) = (π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) =π(t) (x )dμ(t) +
+π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)
Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*
Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π
=π(t) dμ(t).
Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t)L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=Н(t)dμ(t).
Пусть ε = ((H(t))tT, Г) – μ-измеримое поле
гильбертовых пространств на Т, μ1 – мера на Т,
эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ1, μ
абсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)=
. Тогда отображение,
которое каждому хН==Н(t)dμ(t) составляет
поле t→ρ(t)-1/2х(t)Н1=Н(t) dμ1(t),
есть изометрический изоморфизм Н на Н1, называемый каноническим.
Действительно,
||ρ(t)-1/2х(t)dμ1(t)||2 = ||х(t)||2ρ(t)-1 dμ1(t) = ||х(t)||2dμ1(t) = ||х(t)||2
Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),
Н
=Н(t) dμ(t) , π1==π(t )dμ(t),
Д – алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ1 – мера на Т, эквивалентная μ,
Н1 =Н(t) dμ1(t) , π1 =π(t) dμ1(t),
Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π1 и Д в Д1.
Доказательство. Пусть ρ(t)=. Канонический изоморфизм из Н
в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х
=x(t) dμ(t)Н в
Ux = ρ-1/2х(t) dμ1(t).
Пусть α А. Имеем
π1(α)Ux = π(t)(α) ρ-1/2 х(t) dμ1(t) = Uπ(t)(α)
х(t) dμ(t) = Uπ(α)x,
поэтому и
преобразуем π в π1. Тогда
если SД, то аналогично SUx = USx, для любого хН.
Определение 2.14. Пусть Т, Т1 – борелевские
пространства; μ, μ1 – меры на Т и Т1
соответственно; ε = ((H(t))tT, Г), Z1 = ((H1(t1))t1T1, Г), - μ-измеримое и μ1-измеримое
поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т1
– борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ1;
η-изоморфизм ε
на ε1 называется семейство (V(t))tT, обладающее следующими
свойствами:
(i)
для любого tT отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н1(η(t));
(ii)
для того, чтобы
поле векторов t→x(t)H(t) на Т было μ-измеримо, необходимо и
достаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t) Н1(η(t)) на Т1 было μ1-измеримо.
Отображение, переводящее поле хН
=Н(t) dμ(t) в поле η(t))→V(t)х(t) Н1 = Н1(t) dμ1(t)
, есть изоморфизм Н на Н1, обозначаемый V(t) dμ(t).
Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т, t→H(t) – μ- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ π(t) - μ- измеримое поле представлений А в H(t),
Н
=Н(t) dμ(t), π ==π(t) dμ(t),
Д – алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1, μ1, t1→H1(t1), t1→ π1(t1), Н1, π1, Д1.
Предположим, что существует:
1. N, N1 – борелевские подмножества Т и Т1, такие что μ (N) = μ (N1) = 0;
2. борелевский изоморфизм η: T\N →T\N1, преобразует μ в μ1;
3.
η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (tZ\N) на поле t1→Н1(t1) (t1Т1\N1) такой, что V(t) преобразует π(t) в π1(η(t)) для каждого t.
Тогда V =V(t)dμ(t) преобразует Д
в Д1 и π
в π1.
Доказательство. Обозначим через It, It1 единичные
операторы в Н(t)
и Н1(t1). Если f
L∞(T, μ) и если f1 – функция на Т1\N1, получаемая из f|(T\N) при помощи η, то V преобразует f(t)It dμ(t) в f1(t1) It1 dμ1(t1), поэтому V преоб-
разует Д в Д1. С другой стороны, пусть αА и х = х(t) dμ(t)Н.
Тогда
Vπ(α)х = Vπ(t)(α)
х(t) dμ(t) = V(η-1(t1)) π(η-1(t1))(α) х(η-1(t1))
dμ1(t1) = π1(t1)(α) V(η-1(t1)) х(η-1(t1))
dμ1(t1) = π1 (α) V х
Поэтому V преобразует π в π1.
Приведем примеры прямых интегралов.
1.
Пусть имеется
последовательность гильбертовых пространств 
и
дискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любого
nN. Тогда
Н(n) dμ(n) = 
Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.
2.
Пусть Т=[0,
1] и в каждой точке tТ соответствует поле комплексных чисел С, и на Т
задана линейная мера Лебега dt.
Тогда С dt = L2 (0, 1).
Изоморфизм устанавливается отображением х = х(t) dt →х(t)L2 (0, 1).
Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.
§ 3. Тензорные произведения пространств
3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть
- конечная
последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, 
- некоторый
ортонормированный базис в Нк.
Образуем формальное произведение
(3.1.)
α = (α1,…,
αn) 
(n
раз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность (
) и на
формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они
образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется
тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается Н1
,…, Нn = 
. Его векторы имеют вид:
f = 
(fαC),
|| f ||2
=
< ∞ (3.2.)
Пусть g = 
,
тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой
(f, g) = 
(3.3.)
Пусть f(k) = 
(к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению
f = f(1)… f(n)
= 
(3.4.)
Коэффициенты fα = 
разложения (3.4.)
удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит ,
при этом
|| f || = 
(3.5.)
Функция Н1,…, Нn 
<
> 
линейна
по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в - эта линейная оболочка
называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1,…,
Нn и обозначается α.
Приведенное определение тензорного произведения
зависит от выбора ортогонального базиса в
каждом сомножителе . При изменении
базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей
структуры исходному произведению.
Пусть Н1 и Н2 –
гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного
произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1 f2, причем считается, что
(f1 + g1) f2 = f1 f2 + g1 f2
(3.6.)
f1 (f2 + g2) = f1 f2 + f1 g2
(3.7.)
(λ f1) f2=λ (f1 f2)
(3.8.)
f1 λ (f2) = λ (f1 f2)
(3.9.)
f1,
g1Н1; f2, g2
Н2;
λ С.
Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).
Затем вводится скалярное произведение в L.
(f1 f2 ,
g1 g2
) = (f1 g1)(f2 g2)
(3.10.)
f1,
g1
Н1; f2, g2
Н2,
а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.
3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.
Теорема 3.1. Пусть 
, 
- две последовательности
гильбер-
товых пространств, 
-
последовательность операторов АкL(Нк,
Gк). Определим тензорное произведение А1 …Аn = Ак
формулой
(
) f
= () = 
(3.11.)
(f ).
Утверждается, что ряд в правой части (3.11.)
сходится слабо в 
и определяет оператор 
L (, ),
причем
|| ||
= 
|| || (3.12.)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1,…, Нn = (Н1,…,
Нn-1)Нn общий случай получается
по индукции.
Пусть 
-
некоторый ортонормированный базис в Gк (к
= 1, 2) и пусть g = 
G1 G2.
В качестве f возьмем
вектор из Н1 Н2
с конечным числом отличных от нуля координат fα.
Зафиксируем α2,
β1 Z+ и обозначим через f(α2) Н1
вектор f(α2)
= 
и через g(β1)G2 – вектор g(β1)
=
. Получим
= 
=
= 
≤ 
=
= 
≤ 
=
= 
Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1G2 ряда 
уже при произвольном c Н1Н2 и оценка
его нормы в G1G2 сверху через ||A1||
||A2|| ||f||.
Таким образом, оператор A1 A2:
Н1 Н2
→G1G2
определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не
превосходит ||A1|| ||A2||.
Из (3.5.) и (3.11.) следует
||(A1 A2)
(f1 f2)|| = ||A1
f1|| ||A2 f2||
(fк Нк ,
к = 1, 2)
Подбирая должным образом орты f1, f2
последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1|| ||A2||,
поэтому неравенство ||(A1 A2)||
≤ ||A1|| ||A2||
не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.
Из (3.11.) получаем для Ак L(Hк, Gк),
Вк L(Hк, Gк) (к = 1,…, n)
соотношения
(Вк)
(Ак) = (Вк Ак)
(3.13.)
(Ак)*
= Ак*
(3.14)
(Ак)
(f1 …
fn) = A1 f1… An fn
(3.15.)
(fк
Hк;
к = 1,…, n)
(3.15) однозначно определяет оператор Ак.
Приведем пример. Пусть Hк
= L2(
(0,1),
d (mк)) = L2
Действительно, вектору вида (3.1.) поставим
в соответствие функцию 
L2.
Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает
требуемый изоморфизм между и L2.
Глава II. Задача о двух ортопроекторах
§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве
1.1. Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P2
P2 = С < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >
порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.
Положим u = 2p1 – 1, v = 2p2 – 1, тогда u, v самосопряженные элементы.
u2 = (2p1 – 1)2 = 4p1 – 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы.
Тогда *-алгебру P2 можно задать иначе:
P2 = С < p1*= p1, p2*=p2 | p12 = p1, p22 = p2 > = C <u* = u, v* = v | u2 = 1, v2 =1 >
Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.
Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P2 , с точностью до унитарной эквивалентности.
1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 . Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.
P2 = С < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >
Обозначим через Рк = π(рк),
к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк
(к = 1, 2) и π -
*-представление, то Рк2 = Рк* = Рк
(к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Нк =
{yH
| Рк y = y } к = 1, 2.
Возможны следующие случаи:
1. Н1 = Н2 = {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0.
2. Н1 = Н (то есть dim H1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1 = 1, Р2 = 0.
3. Н1 = {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогда Р1 = 0, Р2 = 1.
4. Н1 = Н2 = Н (dim H1 = dim H2 =1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1.
Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2, причем они неэквивалентны.
1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2
. Обозначим через Нк область значений оператора Рк
при к = 1,2. Пусть Нк┴ - ортогональное
дополнение подпространства Нк (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H1Н1┴
, Н=H2Н2┴
Введем дополнительные обозначения :
Н0,0 = Н1┴ ∩Н2┴, Н0,1 = Н1┴ ∩Н2, Н1,0 = Н1 ∩Н2┴, Н1,1 = Н1 ∩Н2. (1.1.)
Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что Hij нетривиально, то есть dim Hij =1. Пусть, например, dim Н1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н1,0 = л.о. {h}, но тогда P1h = h, P2h = 0; следовательно Н1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.
Будем считать, что Hij ={0} для любых i = 0, 1 и j
=0, 1, (то есть Hij
линейно независимы) и dim H1
= dim H2 =1. Тогда в Н можно найти
два ортогональных базиса {e1, e2} и {g1,
g2}, в которых матрицы операторов
Р1 и Р2 имеют вид 
.
Найдем матрицу оператора Р2 в базисе {e1,
e2}.
Пусть g1 = a11e1 + a12
e2
g2 = a21e1 + a22e2
e1 = b11g1 + b12g2
e2 = b21g1 + b22g2
Рассмотрим векторы h1 = eite1 и h2 = eile2, тогда
|| h1 || = || eite1 || = || e1 || = 1, || h2 || = || eile2 || = || e2 || = 1
(h1 ,h2 ) = (eite1 , eile2) = ei(t-l)(e1, e2 ) = 0, то есть {h1 ,h2} – ортонормированный базис.
Р1h1 =ei t Р1 e1 = h1, Р1h2 =eil Р1 e2 = 0.
Значит в базисе {h1
,h2} матрица оператора Р1
также имеет вид . Тогда можно
считать, что a11, a12 > 0 (так как, например, a11 e1=|a11| eite1
=|a11| h1)
(e1, e2 ) = 0, значит a11
a21 = a12
a22 = 0 или 
, тогда существует такое
комплексное число r, что
a22 = - ra11
a21 = ra12
Базис (e1, e2 ) ортонормированный; следовательно
a112 + a122 = 1
|a22 |2 + |a21 |2 = 0
тогда | r | = 1.
Р2 e1 = Р2 ( b11g1 + b12g2) = b11g1 = b11a11e1 + b11a12e2,
Р2 e2 = Р2 ( b21g1 + b22g2) = b21g1 = b21a11e1 + b21a12e2.
Найдем b11 и b21:
e1 = b11g1 + b12g2 = b11 (a11e1 + a12 e2) + b12 (a21e1 + a22e2) = (b11a11 + b12a12)e1 + (b11a12 + b12a22)e2,
b11a11 + b12a12
= 1
b11a12 + b12a22 = 0 или
b11a11 + b12a12
r = 1
b11a12 - b12a11 r = 0,
Тогда b11 = a11.
Аналогично
E2 = b21g1 + b22g2 = (b21a11 + b22a21)e1 + (b21a12 + b22a22)e2,
b21a11 + b22a21=
0
b21a12 + b22a22 = 1,
отсюда находим, что b21 = a12.
Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1, e2 } будет иметь вид (обозначим ее также через Р2)
Р2 = 
, где a11>0, a12>0
и a112 + a122 =1
А) Пусть
a112 = τ, тогда a122 =1 – τ, a11a12 = 
.
Так как a11a12 >0, то τ(0, 1).
Тогда Р2 = 
.
В) Положим a11 = cosφ,тогда a12 = sinφ и Р2 запишется следующим образом
Р2 = 
.
Найдем коммутант π(P2).
Пусть Т = 
оператор перестановочный с
Р1 и Р2, тогда
ТР1 = = 
Р1Т = = 
Следовательно b = c = 0.
ТР2 = 
= 
Р2Т = =
Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.
Покажем, что все эти представления неэквивалентны.
Пусть τ, ν(0, 1), τ ≠
ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н,
устанавливающий эквивалентность. Тогда
UР1
= Р1U, следовательно U=
, a,
b C
UР2
(τ) = = 
Р2 (ν)
U = 
=
.
Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.
Теорема 1.1. Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 .
Тогда:
(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0(p1) = 0; π0,0(p2) = 0; π1,0(p1) = 1; π1,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0; π0,1(p2) = 1; π1,1(p1) = 1; π1,1(p2) = 1;
(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные
представления имеют вид: π(p1) 
, π(p2) 
τ (0, 1).
Доказательство следует из сказанного выше и в
пункте (ii) можно положить π(p2) = φ (0, 
).
1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P2 . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство
max (dimН1, dimН1┴) + max (dimН2, dimН2┴) > 2n+1 (1.4.)
Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Нi,j ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.
Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Нi,j = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Нi,j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.
Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, хН1
такой, что Р1Р2х = λх, где λС.
Доказательство. Пусть 
,
ортонормированный базисы в
Н, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид 
, где I
– единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е)
и (g) связаны уравнениями
к = 1,…, n к = 1,…, n
Так как хН1,
то 
, gk C, к = 1,…, n.
Тогда
Р1Р2х
= Р1Р2
= Р1Р2
= Р1
=
= Р1
=
=
(
)
= 
Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1,…, qn:
= 
j = 1,…, n
Подбирая λC так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль,
получим ненулевое решение q1,…, qn. Это доказывает лемму.
Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р2х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р1 и Р2.
Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b 
С
имеем
Р1 (aх + bР2х)
= aх + λbх =
(a + λb) х L,
Р2 (aх + bР2х)
= aР2х + bР2х
= (a + b) Р2 х L
dimL = 2, так как Нi,j = {0} (для всех i, j= 0,1).
Действительно, если aх +
bР2х = 0, где, например, а
≠ 0, то х = 
Р2х,
значит = 0 или 1 и х Н1,1;
тогда Н1,1≠{0}.
Итак, получаем предложение.
Теорема 1.2. Если dimН
= n, n>2,
то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры P2 . Все
неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.
1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P2, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.
Теорема 3.1. (спектральная теорема).
Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2
подпространств
Н = Н0,0Н0,1Н1,0Н1,1 (
(С2Нк)),
(1.1.)
где каждому подпространству
Нк соответствует одно φк (0, ), φк ≠
φi при к≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m).
Пусть Рi,j:
Н → Нi,j , Рφк:
Н → С2Нк
– ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда
существуют единственные разложения операторов
I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1(
Рφк), (1.2.)
P1 = P1,0P1,1((Iк )) (1.3)
Р2 = P0,1 P1,1
(
Iк )) (1.4)
где Iк – единичный оператор на Нк (к = 1,…, m).
Доказательство. Пусть dimНi,j = ni,j. Сразу можем записать разложение
Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и
теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄
в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк (0, ):
Н΄ = 
Нφк,
(l = n - 
)
Собирая вместе все Нφк, у которых одно φк, получим изоморфизм
Нφк…Нφк
≈ С2Нк
, где Нφк nк
экземпляров, dim(Нφк…Нφк
)=2nк dim(С2Нк) = dimС2 dimНк
= 2nк . Следовательно, получаем
разложение (1.1.)
Н = Н0,0
Н0,1 Н1,0 Н1,1 ((С2Нк))
Пусть πi,j – сужение π на Нi,j ( i, j= 0,1), πк – сужение π на Нφк (к = 1,…, m), то есть πi,j и πк - *-подпредставления.
Учитывая кратности подпредставлений получаем
π = n0,0π0,0n0,1π0,1n1,0π1,0n1,1π1,1(nкπк)
(1.5.)
В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.
Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)
I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1 (Рφк)
Тогда ортопроекторы Р1 и Р2 примут вид
P1 = P1,0 P1,1
((Iк ))
Р2 = P0,1 P1,1 ( Iк ))
Причем n1,0π1,0(р1) = P1,0 , n0,1π0,1(p2) = P0,1 , n1,1π1,1(р1) = P1,1 , n0,0π0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно.
§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно
UА = АU-1 или АU = U-1А (2.1.)
Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.
Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы.
Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L
относительно операторов А и U. Тогда UL
= АВLL, но
тогда ВLАLL, то есть пара А, В
– приводима.
Обратно, пусть А и U
неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть 
LН: АLL и ВLL, то из включения
АВLАLL следует
приводимость А и U, что невозможно.
Лемма 2.2. Ортопроекторы Р1 и Р2 неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.
Доказательство. Пусть Р1 и Р2
приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное
подпространство LН
такое, что Р1LL,
Р2LL.
Рассмотрим АL = (2Р1 – I)LL, ВL = (2Р2 – I)LL, то есть А и В
приводимы.
Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р1
и Р2 также будут приводимы, так как Р1L
= 
LL, Р2L = 
LL, для любого
инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.
Лемма 2.3. Если eiφ
(U), то e-iφ(U).
Доказательство.
1) Если eiφ принадлежит точечному
спектру оператора U, то существует fН: ||f||
= 1 и Uf = eiφ
f. Тогда по (2.1.) UАf = АU-1f = eiφАf, следовательно, Аf
собственный вектор оператора U, то есть e-iφ
принадлежит спектру U.
2) Если eiφ(U), то существует
последовательность единичных векторов 
в
Н || fn || = 1 такая, что
||Ufn - eiφfn || = || UАfn - eiφ A fn || = || U-1Аfn - eiφ A fn || → 0 при n → ∞ (|| Аfn || =1)
Тогда eiφ(U-1),
следовательно e-iφ(U).
Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.
Доказательство. Рассмотрим соотношения
А (U + U-1) = АU + АU-1 = (U-1 +U)А
А (U - U-1) = А (U2 – 2I + U-2) = (U2 – 2I + U-2)А = (U - U-1)2А
Таким образом А (U + U-1) = (U-1 +U)А (2.2.)
А (U - U-1) = (U - U-1)2А (2.3.)
Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем
U + U-1 = cI
(U - U-1)2 = d2I
где c,
d С. По теореме
преобразования спектров eiφ+
e-iφ
= c, eiφ-
e-iφ
= ±d.
1)
Если d = 0, то (U) состоит из одной точки eiφ, где φ=0 или φ=π, и U
= I или U = -I.
Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1
и А = +I или А = -I. Поскольку
существует одномерное инвариантное подпространство y
оператора А: л.о. {(A+I)x}, хH.
2)
Если d ≠
0, то (U) дискретен и состоит из двух
точек eiφ=
и e-iφ=
φ(0, π)
Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению eiφ
(или e-iφ),
Нeiφ = {fH |
Uf = eiφf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое
на собственные векторы f и
Af для оператора U: Uf = eiφf,
U(Аf) = eiφ Аf
инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimНeiφ= dimН-eiφ=1
Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {eiφ, e-iφ} φ(0,
π) в базисе из
собственных векторов оператора U имеют вид:
А = 
, U = 
, В = 
Теорема 2.2. Неприводимые пары Р1,
Р2 ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.
Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.
2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1 (
(С2L2((0, ), dρк)))
(2.4.)
где ρ1 >
ρ2 >… ρк меры на интервале
(0, ), такое, что имеют место
равенства
P1 = P1,0 P1,1
((Iк ))
(2.5.)
Р2 = P0,1 P1,1 (Iк ))
(2.6.)
Iк
– единичный оператор в L2((0, ),
dρк)
Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств
Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 Н΄, то есть
отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из
инвариантных двумерных подпространств.
Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P2 отвечает циклическое представление πF *-алгебры P2 в некотором гильбертовом пространстве НF. При этом НF можно реализовать как L2(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μF на Т.
Пусть каждому вектору ξ
Н поставим в
соответствие подпространство Нξ Н,
которое получается замыканием множества векторов вида π(х)ξ,
где хА.
Ограничения операторов из π(А)
на Нξ является циклическим представлением. Обозначим его
через πξ, а соответствующую меру на Т через
μξ. Введем упорядочение в Н,
полагая ξ>η, если μξ > μη
(то есть μη абсолютно непрерывна по мере μξ).
Если ηНξ, то НηНξ, тогда πη – циклическое подпредставление
πξ. Пусть Е Т
и μξ (Е)
= 0, тогда μη (Е) = 0, следовательно μξ > μη,
а значит ξ>η.
Множество максимальных векторов всюду плотно в Н.
Пусть существует счетное разложение Н = Нηк. Пусть
{ζi} – последовательность, в
которой каждый из векторов ηi
встречается бесконечное число раз. Определим ξк
индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:
1) ξк+1 – максимальный вектор в (
Нξi)┴,
2) d (ζк, Нξi) ≤ 
.
Тогда разложение Н =
Нξк
такое что ξк>ξк+1
и μк>μк+1 .
Пусть представления πμ в L2(Т,
μ) и πν
в L2(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L2(Т,
μ) →L2(Т, ν) устанавливающий их
эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции
g на Т v(g)=vπμ(g)f = πν
(g)vf = πν (g)a = ga. Так как v – изометрическое
отображение, то dμ=|a|2dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по
мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν
абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит
существует разложение Н΄ = (С2L2(Т, μк)),
где μ1>μ2>… и соответствующие этим мерам
представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.).
Тогда из (2.4.) следуют формулы:
P1 = P1,0 P1,1
((Iк ))
Р2 = P0,1 P1,1 (Iк ))
Iк
– единичный оператор в L2((0, ),
dρк).
Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1 С2Н(φ)dЕ(φ) (2.7.)
в прямой интеграл
инвариантных относительно Р1, Р2 подпространств и
определенное на Т = (0, )
разложение dЕ(φ) единичного оператора I+=E(0, ) в Н+ =С2Н(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство
P1 = P1,0 P1,1
I+
(2.8.)
Р2 = P0,1 P1,1 dЕ(φ) (2.9.)
Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А,
действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую
переменную в пространстве 
L2(R, dρк),
где ρк зависит от разложения единицы оператора А. Тогда
доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует
непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.
Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов
§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.
Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово
пространство. Если Р – ортопроектор, то (Р)
= р (Р) = {0, 1}, где р (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.
Доказательство. Рассмотрим выражение Рх -
λх = y, х, y
Н, λ С. Тогда (1 -
λ) Рх = Рy . Если λ ≠
1, то Рх = 
Рy. Если х ≠ 1, то х = 
(Рy
- y), тогда (Р)
= {0, 1}.
Так как Р ≠ 0 и Р ≠
I, то существует х ≠ 0 такой, что Рх
≠ 0. Тогда Р(Рх) = Рх, то есть 1
р (Р). Существует y ≠ 0: (I
- Р)y ≠ 0, тогда
Р(I - Р)y =
0 = 0 · (I - Р)y, то
есть 0 р (Р). Итак, (Р) = р (Р) = {0, 1}.
1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р1 и Р2 в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1 + Р2 в неприводимых представлениях.
1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть
dimH =1. Пусть, как и выше, Нк
– область значений оператора Рк к = 1,2. Обозначим через А =
Р1 + Р2 и найдем (А).
1) Р1 = Р2
= 0, то для любого х
Н Ах
= 0 или Ах = 0 · х, то есть 0 (А).
2) Р1 = 0, Р2
= I, то для любого х Н2 = Н Ах
= х, то есть 1 (А).
3) Р1 = I, Р2 = 0, то для любого х Н1 = Н Ах
= х.
4) Р1 = Р2
= I, то для любого х Н1 = Н2
= Н Ах = Р1х + Р2х = 2х,
то есть 2 (А).
Таким образом, если dimH
=1, то (А) {0, 1, 2}.
1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.
1) х Н0,0 ,
тогда Ах = 0 и 0 (А).
2) х Н0,1 или
х Н1,0 ,
тогда Ах = х и 1 (А).
3) х Н1,1, тогда
Ах = 2х, то есть 2 (А).
Если существуют i, j= 0,1 такие, что Нi,j ≠ {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Нi,j Нk,l = H. В этом случае (А)
{0, 1, 2}.
Пусть теперь Нk,l = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существует
одномерное инвариантное подпространство L
относительно Р1 и Р2, тогда АLL. Пусть х L,
тогда Рkх = λкх
(k = 1, 2 ). Так как Рk ортопроектор, то возможны
случаи:
(i) λ1 = 0, λ2 = 0;
(ii) λ1 = 0, λ2 = 1;
(iii) λ1 = 1, λ2 = 0;
(iv) λ1 = 1, λ2 = 1;
Но это означает, что k,l =
0,1 такие, что Нk,l ≠ {0} вопреки
предположению. Тогда пара Р1, Р2 неприводима. Значит мы
можем записать матрицы операторов Р1 и Р2 в некотором
ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.
Р1 = ,
Р2 τ (0, 1)
Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР1 + bР2,
a и b С. Для этого решим
характеристическое уравнение det(aР1
+ bР2 – λI)
= 0.
(1.1.)
Тогда 
, 
(1.2)
Положим a = 1, b =1, ε = 
, тогда λ1
= 1+ε , λ2
= 1-ε и 0<ε<1 (поскольку 0<τ<1.
Тогда (А) {0, 1, 2}
{1+ε , 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр А
одновременно.
1.5. Спектр в n-мерном
пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =КL, где К, L
инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х Н существует
единственное разложение x = k
+l, k
K,
l L. Пусть λ (А),
тогда Ах = λх =λk
+λl;, следовательно, если пространство Н
разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр
оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на
соответствующие инвариантные подпространства.
Используя лемму 1.2. главы II,
представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н0
= Н0,0, Н1=Н0,1Н1,0, Н2=Н1,1
и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нφк
φк (0,
), (к = 1,…, s). При этом операторы Р1 и Р2
неприводимы в Нφк (к = 1,…, s), и собственные значения 1+εк, 1-εк входят одновременно в спектр А. Так
как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет
место разложение на собственные подпространства
Нφк = Н1+εк Н1-εк , причем dimН1+εк = dimН1-εк =
1 (1.3)
Если φк ≠ φi, то εк ≠ εi (так
как εк =
=cosφк
и φк (0,
)). Объединим все Нφк
, у которых одинаковые φк , в одно слагаемое, и
обозначим его через Нφк. При этом, если dimНφк = 2qk,
то есть Нφк состоит из qk
экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φк ,
то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства,
получим Нφк = Н1+εк Н1-εк , dimН1+εк = dimН1-εк = qk.
Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 и Р2 тогда и только тогда, когда
(А)
{0, 1, 2}(
{1+ε , 1-ε}), 0<εк<1,
причем dimН1+εк = dimН1-εк к = 1,…, m.
Доказательство. Пусть А = Р1 и Р2, тогда его спектр был найден выше:
(А)
{0, 1, 2}({1+ε , 1-ε}), где 0<εк<1для любого к = 1,…, m.
Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть
dimН1+εк = dimН1-εк . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):
Н = Н(0) Н(1) Н(2) ((С2Нк))
(1.4.)
(1.4.) можно записать иначе
Н = Н(0) Н(1) Н(2) ((С2(Н1+εк Н1-εк )))
(1.5.)
Зададим ортопроекторы Р1 и Р2 следующим образом
P1 = PН2((Iк
))
(1.6.)
Р2 = PН1 PН2 ( Iк )) (1.7.)
где PНк – ортопроектор в Н на Н(к) (к = 1, 2), Is – единичный оператор в Hs s=1,…, m. Но тогда
Р1 + Р2
= PН1 PН2 ( 
Iк
)) = А, при этом А = А*
1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует λ1 + λ2 = a + b. Пусть λ2 = ε, тогда λ1 = a + b – ε.
Оценим ε. Заметим, что (a +b)2 – 4ab(1-τ) = (a - b)2 + 4abτ > 0.
Тогда ε = 
> = 0, то есть ε = 0.
Допустим, что ε ≥ a , тогда
a ≤
≤ b
– a
(b - a)2 +4abτ ≤ (b – a)2
abτ ≤ 0, но abτ > 0 и значит ε < a
Итак,
λ1 = ε
λ2 = a + b – ε. (1.8.)
0 < ε < a
Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.
Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда
(А) {0,
a, b, a + b}({εк , a + b - εк}), 0<εк<1, и
dimНεк = dimНa+b-εк (Нεк , Нa+b-εк - собственные подпространства оператора А, отвечающие εк) к=1,…m.
Доказательство. Пусть А = aР1
+ bР2, 0<a<b. Найдем (А).
1) х Н0,0, то
Ах = 0 и 0(А);
2) х Н0,1 ,
то Ах = bx и b(А);
3) х Н1,0 ,
то Ах = ax и a(А);
4) х Н1,1 ,
то Ах = (a+b)x и a+b(А).
Тогда (А) {0, a, b, a + b}({εк , a + b - εк}), где
0<εк<1,
к=1,…m. Причем числа εк, a + b
- εк
входят одновременно в спектр А, и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда
сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному εк также
инвариантна относительно А и dimНεк = dimНa+b-εк = qk.
(с учетом кратности εк)
Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)
Н = Н(0) Н(a) Н(b)Н(a+b) ((С2Нк))
(1.9.)
Где Н(0)=Н0,0 , Н(a) =Н1,0 , Н(b)=Н0,1 , Н(a+b)=Н1,1 или
Н = Н(0) Н(a) Н(b)Н(a+b) ((Нεк Нa+b-εк) (1.10.)
Положим
P1 = PaPa+b
((Iк ))
(1.11.)
Р2 = Pb Pa+b ( Iк )) (1.12.)
Но тогда
aР1 + bР2 = aPabPb (а+b)Pa+b (a(Iк ))
(bIк )) = A.
Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b}({εк , a + b - εк}), (0<εк<1, к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинация
ортопроекторов.
§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2. Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А
представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 + Р2
тогда и только тогда, когда (А) =
[0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму
инвариантных относительно А пространств
Н = Н0
Н1 Н2 (
(С2L2((0, ), dρк)))
(2.1.)
и меры ρк инвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.
Доказательство. Пусть А = Р1 + Р2.
Н0=Н0,0 , Н1=Н1,0Н0,1
, Н2=Н1,1
Поставим в соответствие φ→ε cosφ,
где φ
(0, ). Тогда, как было найдено
выше, спектр (А) [0, 2] и Н
можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II)
в ортогональную сумму (2.1.)
Н = Н0
Н1 Н2 ((С2L2((0, 2),
dρк)))
Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρк (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х.
Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А) [0, 2]. Тогда зададим
ортопроекторы Р1΄ Р2΄ равенствами
Р1΄
= P1P2((Iк
))
Р2΄ = P2 ( 
Iк
))
где Pi: Н→Нi (i = 0, 1, 2) ортопроектор, Ik – единичный оператор в L2((0, 2), dρк)). Тогда А =Р1΄ + Р2΄ - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Рк΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.
2.2. Спектр линейной комбинации А = aР1 + bР2 (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР1 + bР2 (0<a<b).
Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А
представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР1 + bР2,
0<a<b тогда
и только тогда, когда (А) [0, a]
[b,
a+b] и Н
можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А
пространств
Н = Н0 Нa НbНa+b ((С2L2([0, a] [b, a+b],
dρк)))) (2.2.)
и меры ρк инвариантны относительно преобразования х→a+b.
Доказательство. Пусть А = aР1
+ bР2 (0<a<b). Пусть Н0=Н0,0,
На=Н0,1, Нb=Н1,0
, Нa+b=Н1,1. Так как (А) [0,
a] [b, a+b]
и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А
входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично
теореме 2.1. получаем
Н = Н0 Нa НbНa+b ((С2L2([0, a] [b, a+b],
dρк))))
где меры ρк (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+b-х.
Обратно, пусть (А)
[0,
a] [b, a+b]
и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р1 и Р2
следующим образом
P1 = PaPa+b
((Iк ))
Р2 = Pb Pa+b ( Iк ))
где Рα:
Н→Нα , α = a,
b, a+b – ортопроекторы, Iк
– единичный оператор в L2([0,a]
[b,
a+b]). Тогда
А =
aР1 + bР2 = aР1 bР2(a+b)Pa+b ((Iк ))
( Iк
))
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 .
P2 = С <p1, p2 | pк2 = pк* =pк>.
А именно: 4 одномерных π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1; π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.
И
двумерные: , τ (0, 1)
Изучен спектр операторов Р1 + Р2, aР1 + bР2 (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1 + Р2 и А = aР1 + bР2 (0<a<b).
ЛИТЕРАТУРА
1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.
2. Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.
3. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.
4. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.
5. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.
6. Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.
7. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.
8. Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.
9. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.
10. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.
11. NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.
12. Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.