Курсовая работа: Биекторы в конечных группах
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
БИЕКТОРЫ В КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ
Исполнитель:
студент группы H.01.01.01 М-43
Векшин П.А.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Скиба С.В.
Гомель 2003
Содержание
Введение
1. Основные обозначения
2. Используемые результаты
3. Основные свойства проекторов и инъекторов
4. Биекторы и их свойства
Заключение
Список использованных источников
Введение
В настоящей курсовой работе излагается материал на тему: "Биекторы конечных групп". Цель моей работы состоит в том, чтобы исследовать свойства конечной разрешимой группы с заданными инвариантами подгруппы Шмидта.
Моя курсовая работа состоит из четырех пунктов. В первом пункте изложены основные обозначения, которые используются в данной работе.
Во втором пункте были введены используемые результаты для дальнейшего изучения биекторов и их свойств. Здесь излагаются шесть теорем, три следствия и шесть лемм.
В
третьем пункте изложены основные свойства проекторов и инъекторов, даны
определения подгруппы группы, максимальной подгруппы группы, инъектора и
биектора. Так же рассмотрены два примера -биекторов,
-биекторов, а так же
пример, когда группа не является метанильпотентной, но
-проекторы и
-инъекторы совпадают между
собой.
В
четвертом пункте изучена и рассмотрена сама тема моей курсовой работы, которая
и является названием данного пункта. Здесь показывается, что -биекторы во всех
разрешимых группах существуют только в случае, когда
совпадает с классом
всех разрешимых
-групп. Кроме того, устанавливается,
что в метанильпотентных группах существование
-биекторов,
превращает его в
-холловскую
подгруппу.
Также в этом пункте изучены и доказаны следующие основные теоремы, (1),(2).
При доказательстве некоторых теорем и лемм использовались ссылки на теоремы, следствия и леммы, формулировки которых можно найти в используемых результатах.
Завершает мою курсовую работу список используемой литературы, который состоит из пяти источников.
1. Основные обозначения
|
группа |
|
класс всех разрешимых групп |
|
класс всех нильпотентных групп |
|
|
|
|
|
прямое произведение
подгрупп |
|
подгруппа Фраттини
группы |
|
фактор-группа группы
|
|
множество всех
простых делителей натурального числа |
|
множество всех
простых делителей порядка группы |
|
коммутант группы |
|
индекс подгруппы |
2. Используемые результаты
Лемма
Если
--- класс Шунка, то
.
Лемма
Пусть
--- класс Шунка и
--- конечная нильпотентная
группа. Если
--- подгруппа из
, то
является
-проектором в
тогда и только тогда,
когда
---
-холловская подгруппа.
Лемма
Пусть
--- радикальный класс и
--- конечная нильпотентная
группа. Если
--- подгруппа из
, то
является
-инъектором в
тогда и только тогда,
когда
---
-холловская подгруппа.
Теорема
Если
--- класс Фиттинга и
--- гомоморф, то
.
Следствие
Если
и
--- радикальные формации,
то
.
Теорема
Если
--- разрешимый класс
Шунка, а
--- разрешимая насыщенная
формация, то
--- разрешимый класс
Шунка.
Следствие
Если
и
--- разрешимые насыщенные
формации, то
--- разрешимая насыщенная
формация.
Теорема
Если
и
--- классы Фиттинга, то
--- класс Фиттинга и
.
Лемма
Пусть
--- разрешимая группа,
тогда
1)
если , то
;
2)
если , то
;
3)
если , то
.
В
частности, если и
--- разрешимые группы
;
4)
.
Теорема
Для
любого класса Шунка в каждой
разрешимой группе
любой
-проектор является
-покрывающей подгруппой и
любые две
-покрывающие подгруппы
группы
сопряжены между собой.
Лемма
Пусть
--- разрешимая группа.
Тогда:
1)
;
2)
.
Лемма
Для
любого гомоморфа и любой группы
справедливы следующие
утверждения:
1)
если -
-проектор группы
и
максимальна в
, то
-
-покрывающая подгруппа
группы
;
2)
если -
-покрывающая подгруппа в
группе
и
, то
-
-покрывающая подгруппа в
;
3)
если -
-покрывающая подгруппа
группы
и
, то
-
-покрывающая подгруппа
фактор-группы
;
4)
если и
---
-покрывающая подгруппа
фактор-группы
, то каждая
-покрывающая подгруппа из
является
-покрывающей подгруппой из
.
Теорема
Пусть
--- класс Фиттинга и
--- разрешимая группа.
Тогда
является
-инъектором группы
тогда и только тогда,
когда
будет
-максимальной в
и
---
-инъектор коммутанта
.
Следствие
Пусть
--- класс Фиттинга и
--- разрешимая группа.
Если
---
-инъектор группы
и
, то
---
-инъектор в
.
Теорема
Если
--- максимальная подгруппа
разрешимой группы
, то
,где
.
3. Основные свойства проекторов и инъекторов
Определение.
Пусть
--- группа и
--- класс групп. Если
и
, то
---
-подгруппа группы
.
Определение.
-максимальной
подгруппой группы
называется
такая
-подгруппа
группы
, которая не содержится ни
в какой большей
-подгруппе.
Определение.
-проектором
группы
называется
такая подгруппа
группы
, что
,
является максимальной в
.
Определение.
Пусть
--- класс групп. Подгруппа
группы
называется
-инъектором, если для
каждой субнормальной подгруппы
группы
пересечение
является
-максимальной подгруппой в
.
Определение.
Пусть
--- класс групп. Подгруппа
группы
называется
-биектором, если
является
-максимальной подгруппой в
, а
является
-максимальной в
для каждой нормальной
подгруппы
.
Ясно,
что -биектор одновременно
является
-проектором и
-инъектором группы
.
Пример
Примерами
-биекторов служат силовские
-подгруппы групп для класса
всех
-групп.
Пример
В
группе силовская 2-подгруппа
является
-биектором.
Пример
Группа
не является
метанильпотентной, но
-проекторы и
-инъекторы совпадают между
собой и являются нехолловыми подгруппами порядка 24.
Для
локальной формации каждая конечная
разрешимая группа
обладает
единственным классом мопряженных
-проекторов.
Если
--- радикальный класс, т.
e. класс Фиттинга, то каждая конечная разрешимая группа содержит единственный
класс сопряженных
-инъекторов. Но
наиболее употребительными в современной алгебре классы конечных групп являются
одновременно и локальными формациями, и радикальными классами. Поэтому вполне
естественно встает вопрос о существовании
-биекторов
в конечных разрешимых группах для локальной радикальной формации
.
В
настоящей работе показывается, что -биекторы
во всех разрешимых группах существуют только в том случае, когда
совпадает с классам
всех разрешимых
-групп. Кроме того
устанавливается, что в метанильпотентных группах существование
-биектора превращает его в
-холловскую подгруппу, и
приведен пример, показывающий, что в разрешимых группах ступени нильпотентности
это свойство нарушается.
Пусть
--- класс групп. Через
обозначается совокупность
всех простых чисел
, для которых в
существует неединичная
-подгруппа, т. е.
. Множество
называется характеристикой
класса
.
Для
любого множества простых чисел через
обозначается класс всех
нильпотентных
-групп.
Лемма
Если
--- класс Шунка, то
.
Доказательство.
Пусть . Ясно, что примитивная
нилпотентная группа имеет простой порядок. Если
---
произвольная примитивная факторгруппа группы
,
то
имеет простой порядок
. Так как
, то
. Из определения класса
Шунка получаем, что
. Таким образом,
. Обратно, если
, то для любого простого
делителя порядка
существует
подгруппа индекса
. Так как
, то
и
. Лемма доказана.
Следствие
Если
--- локальная формация, то
.
Доказательство. Достаточно вспомнить, что локальная формация является насыщенной, а значит и классом Шунка.
Лемма
Пусть
--- класс Шунка и
--- конечная нильпотентная
группа. Если
--- подгруппа из
, то
является
-проектором в
тогда и только тогда,
когда
---
-холловская подгруппа.
Доказательство.
Пусть ---
-проtктор в группе
. Так как
, то по лемме (??)
подгруппа
является
-подгруппой. Пусть
---
-холловская в
подгруппа. Ясно, что
. Nак как
, то
---
-подгруппа и
.
Обратно,
пусть ---
-холловская подгруппа и
пусть
---
-проектор в
. Так как
, то
---
-подгруппа и
.
Лемма
Если
--- радикальныи класс, то
.
Доказательство.
Если , то в
существует субнормальная
подгруппа
простого порядка
, для любого
. Поэтому
,
, и
.
Обратно,
пусть , тогда для каждого
в
существует подгруппа
. Значит все
-подгруппы содержатся в
. Так как
замкнут относительно
прямых произведений, то
. Лемма
доказана.
Лемма
Пусть
--- радикальный класс и
--- конечная нильпотентная
группа. Если
--- подгруппа из
, то
является
-инъектором в
тогда и только тогда,
когда
---
-холловская подгруппа.
Доказательство.
Пусть ---
-инъектор в
. Так как
, то
будет
-подгруппой в
. Если
---
-холловская в
подгруппа, то
и
---
-подгруппа. Поэтому
.
Обратно,
если ---
-холловская подгруппа в
, то
. Если
---
-инъектор, то
и
---
подгруппа, поэтому
. Лемма доказана.
Пусть
, где
--- пробегает все группы
из
. Если
--- разрешимый радикальный
класс, то
.
Следствие
Пусть
--- радикальный класс
Шунка. Тогда в каждой конечной нильпотентной группе
существует
-биектор
и подгруппа
является
-холловской подгруппой
группы
.
Доказательство получаем из лемм (??) и (??).
Следствие
Пусть
--- радикальная локальная
формация. Тогда в каждой нильпотентной группе
существует
-биектор
и подгруппа
является
-холловской подгруппой
группы
.
Обозначим
через совокупность всех
-проекторов группы
, а через
совокупность всех
-инъекторов.
Теорема
Пусть
--- радикальный класс
Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе
существует
-биектор
, то
является
-холловской подгруппой
группы
.
Доказательство.
Пусть . Так как в разрешимой
группе все
-проекторы и все
-инъекторы сопряжены между
собой, то
.
Пусть
--- подгруппа Фиттинга.
Так как
---
-инъектор в
, то по лемме (??)
подгруппа
является
-холловской подгруппой в
.
Так
как нильпотентна и
является
-проектором в
, то
будет
-холловской подгруппой в
по лемме (??). Поскольку
, то
-
-подгруппа. Кроме того,
и
есть
-число. Значит,
---
-холловская подгруппа.
Следствие
Пусть
--- радикальная локальная
формация. Если в конечной метанильпотентной группе
существует
-биектор
, то
является
-холловской подгруппой
группы
.
Замечание.
Группа не является
метанильпотентной, но
-проекторы и
-инъекторы совпадают между
собой и являются нехолловскими подгруппами порядка
.
Теорема
Пусть
--- радикальный класс
Шунка и
--- нормально
наследственный гомоморф. Если в каждой группе
существует
-биектор, то
.
Доказательство.
Предположим, что не содержится в
, и пусть
--- группа наименьшего
порядка из разности
. Если
имеет простой порядок
, то
и
, противоречие. Значит,
--- группа непростого
порядка и можно выбрать нетривиальную нормальную в
подгруппу
. Так как
и
---
-подгруппа в
, то
и
.
Пусть
---
-биектор в
. Тогда
---
-инъектор в
и
. Поскольку
является
-проектором в
, то
-максимальна в
. Так как
--- гомоморф, то
, а по выбору группы
получаем, что
, т. е.
и
, противоречие. Значит,
допущение не верно и
.
Следствие
Если
--- радикальный класс
Шунка, для которого в каждой конечной разрешимой группе существует
-биектор, то
.
Следствие
Если
--- радикальная локальная
формация, для которой в каждой конечной разрешимой группе существует
-биектор, то
.
Для
натурального числа через
обозначим класс всех
разрешимых грeпп нильпотентной длины не более
.
При
имеем класс всех
нильпотентных групп, а при
---
класс всех метанильпотентных групп.
Лемма
Для
любого натурального числа , класс
является радикальной
насыщенной наследственной формацией.
Доказательство.
Применим индукцию по . При
имеем класс
всех нипьпотентных групп,
он являетсяся насыщенной наследственной формацией и классом Фиттинга. Пусть
утверждение справедливо для
. По
следствию (3)
Но
класс состоит из всех разрешимых
групп нильпотентной длины, меньшей либо равной
,
т. е.
, поэтому
Согласно
следствию (2) класс насыщенная
формация, а по теореме (1) и радикальныи. В силу леммы(1), он наследственныи
класс. Следовательно, класс
является
радикальной насыщенной наследственной формацией. Лемма доказана.
Лемма
Пусть
--- разрешимая группа и
. Если
---
-проектор группы
, то
.
Доказательство.
Поскольку --- насыщенная формация,
то
-проектор в группе
существует согласно
следствию (??). Поскольку
, то
. Если
, то
и утверждение доказано.
Пусть
и
. По лемме(2),
, а поскольку
---
-проектор группы
, то
. Тогда
, следовательно,
, и
. Теорема доказана.
Теорема
Если
в разрешимой группе существует
-биектор и
, то
.
Применим
индукцию по порядку группы. Пусть ---
-биектор группы
. Нам надо доказать, что
. Предположим, что
и
. Тогда
является
-биектором подгруппы
по лемме (??) и следствию (??).
По индукции
,следовательно,
--- максимальная подгруппа
группы
.
Так
как --
-инъектор группы
, то
-радикал
и
. По теореме (??),
(2)
Поскольку
-
-проектор группы
, то
и
согласно лемме (??).
Следовательно,
(3)
Согласно
лемме (2) , а из равенств (2) и (3)
находим, что
.Получили
противоречие. Теорема доказана.
Заметим
что в условии этой теоремы требование не
является лишним. Для
в симметрической
группе
силовская
-подгруппа является
-биектором.
Заключение
В
данной курсовой работе было показано, что -биекторы
во всех разрешимых группах существуют только в случае, когда
совпадает с классом
всех разрешимых
-групп. Кроме того,
устанавливается, что в метанильпотентных группах существование
-биекторов, превращает его
в
-холловскую подгруппу.Также
изучены и доказаны следующие основные теоремы:
Теорема1
Пусть
--- радикальный класс
Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе
существует
-биектор
, то
является
-холловской подгруппой
группы
.
Теорема2
Пусть
--- радикальный класс
Шунка и
--- нормально
наследственный гомоморф. Если в каждой группе
существует
-биектор, то
.
Теорема
3
Если в разрешимой группе существует
-биектор и
, то
.
Список использованных источников
[1] Монахов В.С., О биекторах в конечных разрешимых группах// Сб. Вопросы алгебры. Вып. 9 -- Гомель: издательство Гомельского университета, 1996, с. 152-156
[2] Монахов В.С., Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие, Мн.: Высшая школа, 2006
[3] Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. -- М.: Наука. -1989. --- 256с.
[4] Шеметков Л.А., Формации конечных групп. -- М.: Наука. -- 1978. --- 272с.
[5] W. Gaschuts., Lectures on subgroups of Sylow type in finite soluble groups. -- Canberra: Austral. Nat. Univ. --- 1979. -- Vol. 11. --- 100p.