Контрольная работа: Высшая математика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

НОУ ВПО «С.И.Б.У.П.»

Контрольная работа

по дисциплине «Высшая математика»

Вариант 13.

Выполнила студентка

Проверил:

Красноярск, 2008г.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

A = B + C,

где B: работает только 1-й (2-й простаивает); C: работает только 2-й (1-й простаивает). Каждое из этих событий есть произведение 2 независимых событий:

B = D;

C = E,

где D, E – события, состоящие в том, что 1-й и 2-й комбайны работают; ,  - противоположные им события, т.е. 1-й и 2-й комбайны не работают. Их вероятности:

P (D) = 0,8

P (E) = 0,6

P () = 1 – P (D) = 1 – 0,8 = 0,2

P () = 1 – P (E) = 1 – 0,6 = 0,4

По теоремам сложения и умножения вероятностей

P (A) = P (B) + P (C) = P (D) P () + P () P (E) = 0,8 * 0,4 + 0,2 * 0,6 = 0,44

Б) Данное событие (оба комбайна простаивают) есть произведение 2 независимых событий:

F =

По теореме умножения вероятностей

P (F) = P () P () = 0,2 * 0,4 = 0,08

Задание 2

Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.

Происходит n = 800 независимых испытаний, в каждом из которых данное событие (опоздание на поезд) происходит с вероятностью p = 0,01. Наиболее вероятное число наступлений события удовлетворяет неравенствам

np – q ≤ k < np + p,

где q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99

800 * 0,01 – 0,99 ≤ k < 800 * 0,01 + 0,01

7,01 ≤ k < 8,01

k = 8

Так как n велико, p мала, соответствующую вероятность найдем по формуле Пуассона:

Pn (k) = ,

где a = np = 800 * 0,01 = 8

P800 (8) =  = 0,140

На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия, даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них для первого и для второго.

X       0       1       2                 Y       0       2

p       0,1    0,6    0,3              p       0,5    0,5

Составить закон распределения случайной величины Z = X + Y числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Составить функцию распределения и построить ее график. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.

Величина Z может принимать значения:

0 + 0 = 0

0 + 2 = 2

1 + 0 = 1

1 + 2 = 3

2 + 0 = 2

2 + 2 = 4

Вероятности этих значений (по теоремам сложения и умножения вероятностей):

P (Z = 0) = 0,1 * 0,5 = 0,05

P (Z = 1) = 0,6 * 0,5 = 0,3

P (Z = 2) = 0,1 * 0,5 + 0,3 * 0,5 = 0,2

P (Z = 3) = 0,6 * 0,5 = 0,3

P (Z = 4) = 0,3 * 0,5 = 0,15

Закон распределения:

Z       0       1       2       3       4

p       0,05  0,3    0,2    0,3    0,15

Проверка:

∑ pi = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,15 = 1.

Функция распределения

F (x) = P (X < x) =  =

Математические ожидания:

M (x) = ∑ xipi = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 = 1,2

M (y) = ∑ yipi = 0 * 0,5 + 2 * 0,5 = 1

M (z) = ∑ zipi = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 = 2,2

M (z) = M (x) + M (y) = 1,2 + 1 = 2,2

Задание 4

Случайная величина X задана функцией распределения

F (x) =

Найти: 1) вероятность попадания случайной величины X в интервал (1/3; 2/3); 2) функцию плотности распределения вероятностей f (x); 3) математическое ожидание случайной величины X; 4) построить графики F (x) и f (x).

1)         Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) равна

f (x) = F`(x) =

3)         Математическое ожидание

M (X) =  =  =  =  = ¾ (14 – 04) = ¾

4)         Графики:

Задание 5

f (x) =  =  =

Б) Вероятность того, что нормальная величина примет значение из интервала (α; β), равна

P (α < X < β) =  -  =  -  = Ф (1,14) – Ф (-1,14) = 0,3735 + 0,3735 = 0,747

Значения функции Лапласа Ф (x) = берем из таблиц.

В) Вероятность того, что отклонение нормальной величины от математического ожидания не превышает ε, равна

P (|X – a| < ε) =

P (|X – 26| < 0,5) =  = 2Ф (0,714) = 2 * 0,2611 = 0,5222

СТАТИСТИКА

В задаче приведена выборка, извлеченная из соответствующей генеральной совокупности. Требуется: 1) по несгруппированным данным найти выборочную среднюю; 2) найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака X генеральной совокупности (генеральной средней), если признак X распределен по нормальному закону; известны γ = 0,98 – надежность и σ = 200 – среднее квадратическое отклонение; 3) составить интервальное распределение выборки с шагом h = 200, взяв за начало первого интервала x1 = 700; 4) построить гистограмму частот; 5) дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

Проведено выборочное обследования объема промышленного производства за 16 месяцев и получены следующие результаты (тыс. руб.):

750; 950; 1000; 1050; 1050; 1150; 1150; 1150; 1200; 1200; 1250; 1250; 1350; 1400; 1400; 1550

1)         Выборочная средняя

      =  = (750 + 950 + 1000 + 1050 + 1050 + 1150 + 1150 + 1150 + 1200 + 1200 + 1250 + 1250 + 1350 + 1400 + 1400 + 1550) / 16 = 18850 / 16 = 1178,1 тыс. руб.

2)         Доверительный интервал

 -  < a <  + ,

где Ф (t) = γ / 2 = 0,98 / 2 = 0,49. По таблице функции Лапласа находим: t = 2,32.

1178,1 -  < a < 1178,1 +  

1178,1 – 116,3 < a < 1178,1 + 116,3

1061,8 < a < 1294,4 тыс. руб.

3)         Подсчитаем границы интервалов:

x2 = x1 + h = 700 + 200 = 900 и т.д.

Подсчитаем частоты интервалов (т.е. количество значений объема производства, попавших в данный интервал). Интервальное распределение выборки:

4)         Гистограмма частот:

5)         Экономическая интерпретация. Средний объем промышленного производства за 16 месяцев составил 1178,1 тыс. руб. С надежностью 0,98 можно утверждать, что средний объем производства находится в пределах от 1061,8 до 1294,4 тыс. руб. Наибольшее число месяцев (7) объем производства находился в интервале от 1100 до 1300 тыс. руб.

Задание 2

По корреляционной таблице требуется: 1) в прямоугольной системе координат построить эмпирические ломаные регрессии Y на X и X на Y, сделать предположение о виде корреляционной связи; 2) оценить тесноту линейной корреляционной связи; 3) составить линейные уравнения регрессии Y на X и X на Y, построить их графики в одной системе координат; 4) используя полученное уравнение, оценить ожидаемое среднее значение признака Y при заданном x = 98. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

В таблице дано распределение 200 заводов по основным фондам X в млн. руб. и по готовой продукции Y в млн. руб.:

1)         Расчетная таблица:

Подсчитаем условные средние:

x = 20 =  = (12 * 4 + 18 * 6) / 10 = 15,6 и т.д.

y = 12 =  = 20 * 4 / 4 = 20,0 и т.д.

Эмпирические ломаные регрессии:

Эмпирические линии регрессии близки к прямым. Можно сделать предположение о линейном характере связи между величиной основных фондов и готовой продукцией.

2)         Выборочные средние:

 =  = 12870 / 200 = 64,35

 =  = 7362 / 200 = 36,81

Выборочные средние квадратические отклонения

σx =  =  = 24,12

σy =  =  = 11,39

Выборочный коэффициент корреляции

r =  =  = 0,922

3)         Уравнение линейной регрессии Y по X:

x -  = r(x - )

x – 36,81 = 0,922 *  (x – 64,35)

x = 0,435x + 8,786

Уравнение линейной регрессии X по Y:

y -  = r( y - )

y – 64,35 = 0,922 *  (y – 36,81)

y = 1,951y – 7,452

Графики:

4)         Ожидаемое среднее значение Y при X = 98:

x = 98 = 0,435 * 98 + 8,786 = 51,5 млн. руб.

Экономическая интерпретация. Связь между величиной основных фондов и готовой продукций прямая и очень тесная: коэффициент корреляции положителен и близок к 1. При увеличении основных фондов на 1 млн. руб. готовая продукция возрастает в среднем на 0,435 млн. руб. При увеличении готовой продукции на 1 млн. руб. основные фонды возрастают в среднем на 1,951 млн. руб. При величине основных фондов 98 млн. руб. ожидаемое среднее значение готовой продукции 51,5 млн. руб.

Задание 3

Даны эмпирические значения случайной величины. Требуется: 1) выдвинуть гипотезу о виде распределения; 2) проверить гипотезу с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости α = 0,05. За значения параметров a и σ принять среднюю выборочную и выборочное среднее квадратичное отклонение, вычисленные по эмпирическим данным.

В таблице дано распределение дохода от реализации некоторого товара:

1)         Вычислим середины интервалов дохода:

xi = (8 + 12) / 2 = 10 и т.д.

Расчетная таблица:

Выборочное среднее

      =  = 1084 / 60 = 18,067

Выборочное среднее квадратическое отклонение

s =  =  = 4,412

Выдвигаем гипотезу о нормальном распределении.

2) Расчетная таблица для применения критерия Пирсона:

Наблюдаемое значение

χн2 = ∑ (ni - ni`)2 / ni` = 2,7

Критическое значение (из таблиц при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = 6 – 3 = 3)

χкр2 = 7,8

Так как χн2 < χкр2, гипотезу о нормальном распределении принимаем.