Статья: Доказательство Великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры

Доказательство теоремы Ферма методами элементарной алгебры

Бобров А.В.

г. Москва

Контактный телефон – 8 (495)193-42-34

bobrov-baltika@mail.ru

В теореме Ферма утверждается, что равенство   для натуральных  и   может иметь место только для целых .

Рассмотрим равенство

                                                         ,                               (1)

где  и  - натуральные взаимно простые числа, то есть числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1.  В этом случае два числа всегда нечетные. Пусть  - нечетное число,  и - натуральные числа. Для всякого действительного положительного числа выполнима операция нахождения арифметического значения корня, то есть  равенство (1) можно записать в виде:

,                        (2)

где  и  - действительные положительные множители числа  В соответствии со свойствами показательной функции, для любого

из действительных положительных чисел  и  существуют единственные значения чисел  , удовлетворяющие равенствам

                            ,                                                   (3)

 Из равенств (2) и (3) следует:

                   ,  .                    (4)             

Поскольку p>q, всегда имеет место  p-q=k, или  а^p= а^k∙× а^q, то есть числа   и  содержат общий множитель , что противоречит условию их взаимной простоты. Это условие  выполнимо только при  ,  то есть при  . Тогда равенства (4) принимают вид:

                                   ,                  (5)

откуда следует            

,                                                        (6)

то есть для взаимно простых  и  числа  и  всегда являются двумя последовательными целыми числами. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число выражается, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, то есть равенство (1) для натуральных взаимно простых  и  может быть выражено только в виде равенства

                                               .                                       (7)

         Справедливость приведенного доказательства можно проиллюстрировать следующим примером.

Пусть в равенстве Ферма числа  и  – целые взаимно простые,  – четное. Тогда числа         ,  ,   их сумма   и разность - также целые, показатель степени       p>q .

         Целые числа            и    

являются взаимно простыми, если не содержат общих целых множителей, кроме 1.    Это условие выполнимо только тогда, когда общий целый множитель  ,    то есть ,  .

Тогда разность       , что для одновременно целых  и  может иметь местотолько при   , то есть при    или   , что и позволило Пьеру де Ферма сделать почти 370 лет назад свою запись на полях арифметики Диофанта.