Статья: Доказательство Великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры
Доказательство теоремы Ферма методами элементарной алгебры
Бобров А.В.
г. Москва
Контактный телефон – 8 (495)193-42-34
bobrov-baltika@mail.ru
В теореме Ферма утверждается, что равенство для натуральных
и
может иметь место только
для целых
.
Рассмотрим равенство
, (1)
где
и
- натуральные взаимно
простые числа, то есть числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1.
В этом случае два числа всегда нечетные. Пусть
-
нечетное число,
и
- натуральные числа. Для
всякого действительного положительного числа выполнима операция нахождения
арифметического значения корня, то есть равенство (1) можно записать в виде:
, (2)
где
и
- действительные
положительные множители числа
В
соответствии со свойствами показательной функции, для любого
из
действительных положительных чисел и
существуют единственные
значения чисел
, удовлетворяющие
равенствам
, (3)
Из равенств (2) и (3) следует:
,
. (4)
Поскольку
p>q, всегда имеет место p-q=k,
или аp= аk∙×
аq, то есть
числа
и
содержат общий множитель
, что противоречит условию
их взаимной простоты. Это условие выполнимо только при
, то есть при
. Тогда равенства (4)
принимают вид:
,
(5)
откуда следует
, (6)
то
есть для взаимно простых и
числа
и
всегда являются двумя
последовательными целыми числами. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное
число выражается, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, то
есть равенство (1) для натуральных взаимно простых
и
может быть выражено только
в виде равенства
. (7)
Справедливость приведенного доказательства можно проиллюстрировать следующим примером.
Пусть
в равенстве Ферма числа и
– целые взаимно простые,
– четное. Тогда числа
,
, их сумма
и разность
- также целые, показатель степени p>q .
Целые
числа и
являются
взаимно простыми, если не содержат общих целых множителей, кроме 1. Это
условие выполнимо только тогда, когда общий целый множитель , то есть
,
.
Тогда
разность , что для одновременно
целых
и
может иметь место
только при
, то есть при
или
, что и позволило Пьеру де
Ферма сделать почти 370 лет назад свою запись на полях арифметики Диофанта.