Контрольная работа: Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера

© Н.М. Козий, 2008, [UA]

Свидетельство Украины № 25256

о регистрации авторского права

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА

Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:

N = A + B,

где: А и В – простые числа.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N]

Очевидно, что:

- количество членов прогрессии равно N;

- количество четных и нечетных членов прогрессии одинаково и равно:

n = 0, 5 N.

Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – четное число:

V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1]

U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

Очевидно, что часть прогрессии U:

U₁ = [ N-1, N-3 … 0,5N +1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

V₁ =[ 0,5N +1… N-3, N-1],

а часть прогрессии U:

U₂ = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

V₂ = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].

Исходя из этого для числа N при n – четном запишем:

V₀ = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1]

U₀ = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1].

При этом:

V_0i + U_0i = N,

где V_0i и U_0i - i – тые члены прогрессий  V₀   и   U₀.

При n – четном количество членов прогрессии V₀ равно количеству членов прогрессии   U₀ и равно:

K = 0,5∙n = 0,25·N.       /1/

Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – нечетное число:

V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1]

U = [N-1, N-3 … 0,5N … 7, 5, 3, 1]

Очевидно, что часть прогрессии U:

U₃ = [N-1, N-3 … 0,5N]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :

V₃ = [0,5 … N-3, N-1],

а часть прогрессии U:

U₄ = [0,5N … 7, 5, 3, 1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

V₄ = [1, 3, 5, 7 … 0,5N].

Исходя из этого для числа N при n – нечетном запишем:

V₀ = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N]

U₀ = [ 0,5N … 7, 5, 3, 1].

При этом:

V_0i + U_0i = N,

где V_0i и U_0i - i – тые члены прогрессий  V₀   и   U₀.

При n –нечетном количество членов прогрессии V₀ равно количеству членов прогрессии   U₀ и равно:

К=0,5·(n+1) = 0,25·(N + 2).              /2/

Количество пар чисел V_0i + U_0i прогрессий V₀  и   U₀ равно: П =К.

В общем случае обозначим:

Z_pv – количество простых чисел в прогрессии V₀;

Z_sv -- количество составных чисел в прогрессии V₀;

Z_pu -- количество простых чисел в прогрессии U₀;

Z_su -- количество составных чисел в прогрессии U₀;

П_s/v – количество пар чисел V_0i + U_0i, состоящих из составных чисел прогрессии U₀ и простых чисел прогрессии V₀;

П_s/u– количество пар чисел V_0i + U_0i, состоящих из составных чисел прогрессии V₀   и простых чисел прогрессии U₀;

П_р --  количество пар чисел V_0i + U_0i, состоящих из простых чисел прогрессий V₀ и  U₀.

Очевидно, что:

П = К = Z_pv + Z_sv = Z_pu + Z_su ;           /3/

Z_sv = K - Z_pv; Z_su= K - Z_pu.

Из анализа значений числа N с использованием таблицы простых чисел следует:

-для чисел N ≤ 116: Z_pv> Z_su;  Z_pu > Z_sv;

- для чисел N = 118…136:  Z_pv=Z_su;  Z_pu = Z_sv;

- для чисел N≥138: Z_pv<Z_su; Z_pu < Z_sv.

Составим прогрессии V₀  и U₀ для произвольно взятых чисел N, разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Z_pv, Z_sv,  Z_pu, Z_su, П_s/v, П_s/u, П_р и соотношения между ними как для прогрессий V₀  и U₀ в целом, так и для входящих в них подпрогрессий.

ПРИМЕР 1. N=120; n=0,5N =0,5·120 = 60 –четное число.

В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел V_0i + U_0i равно:

П = К = 0,25·N=0,25∙120 =30.

V₀ ={ V₀₁ =[ 1  3  5   7   9   11  13 ] V₀₂ =[ 15  17  19  21 23] V₀₃=[25 27]

U₀ ={U₀₁ = [119 117 115 113 111 109 107 ] U₀₂ =[105 103 101 99 97 ] U₀₃=[95 93]

П_р                        *      *   *            *   *     *  

V₀₄ = [ 29  31 ] V₀₅ = [ 33  35 ] V₀₆= [ 37 39 41  43 45 47 ] V₀₇= [ 49 51 53]

U₀₄= [ 91  89 ] U₀₅= [ 87  85 ] U₀₆= [ 83 81 79  77 75 73 ] U₀₇= [ 71 69 67]

П_р        *                      *     *         *               *

V₀₈ = [ 55  57  59 ] }.

U₀₈ = [ 65  63  61 ] }.

П_р            *

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.

Для прогрессий V₀  и  U₀ в целом имеем:

Z_pv =17,   Z_sv =13, Z_pv = Z_su, П_s/v =5,   П_s/v ≠ П_s/u ,

Z_pu =13,   Z_su =17, Z_pu = Z_sv, П_s/u =1,   П_р = 12.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_s/v = 17 – 5 = 12;

R_u = Z_pu - П_s/u = 13 – 1 = 12.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и  П_р следует:

R_v =R_u = П_р = 12.

Для подпрогрессий V₀₁  и U₀₁ имеем:

Z_pv =6,  Z_sv =1, Z_pv > Z_su, П_s/v =3,   П_s/v ≠ П_s/u,

Z_pu =3,  Z_su =4, Z_pu > Z_sv, П_s/u =0,   П_р = 3.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_s/v = 6 – 3 = 3;  R_u = Z_pu - П_s/u = 3 – 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 3.

Для подпрогрессий V₀₂  и U₀₂ имеем:

Z_pv =3,  Z_sv =2, Z_pv > Z_su, П_s/v =0,  П_s/v = П_s/u = 0,

Z_pu =3,  Z_su =2, Z_pu > Z_sv, П_s/u =0,   П_р = 3.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_s/v = 3 – 0 = 3; R_u = Z_pu - П_s/u = 3 – 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 3.

Для подпрогрессий V₀₄  и U₀₄ имеем:

Z_pv =2,  Z_sv =0, Z_pv > Z_su, П_s/v =1,  П_s/v ≠ П_s/u,

Z_pu =1,  Z_su =1, Z_pu > Z_sv, П_s/u =0,   П_р = 1.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_s/v = 2 – 1 = 1; R_u = Z_pu - П_s/u = 1 – 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 1.

Для подпрогрессий V₀₆  и U₀₆ имеем:

Z_pv =4,  Z_sv =2, Z_pv > Z_su, П_s/v =1,  П_s/v ≠ П_s/u,

Z_pu =3,  Z_su =3, Z_pu > Z_sv, П_s/u =0,   П_р = 3.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_s/v = 4 – 1 = 3; R_u = Z_pu - П_s/u = 3 – 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 3.

Для подпрогрессий V₀₇ и U₀₇ имеем:

Z_pv =1,  Z_sv =2, Z_pv = Z_su, П_s/v =0,  П_s/v ≠ П_s/u ,

Z_pu =2,  Z_su =1, Z_pu = Z_sv, П_s/u =1,   П_р = 1.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_s/v = 1 – 0 = 1; R_u = Z_pu - П_s/u = 2 – 1 = 1.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 1.

Для подпрогрессий V₀₈ и  U₀₈ имеем:

Z_pv =1,  Z_sv =2, Z_pv < Z_su, П_s/v =0,  П_s/v = П_s/u = 0,

Z_pu =1,  Z_su =2, Z_pu < Z_sv, П_s/u =0,   П_р = 1.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_s/v = 1 – 0 = 1; R_u = Z_pu - П_s/u = 1 – 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 1.

ПРИМЕР 2. N=154; n=0,5N =0,5·154= 77 – нечетное число.

В соответствии с зависимостями /2/ и /3/ количество пар чисел V_0i + U_0i равно:

П = К=0,5(n+1) = 0,25(N + 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.

V₀ ={V₀₁= [ 1   3   5   7   9 ] V₀₂= [ 11  13   15  17  19  21   23] »

U₀ ={U₀₁= [153 151 149 147 145] U₀₂= [143 141 139 137  135 133  131 ] »

П_р            *   *                            *            *

V₀₃=[ 25  27  29  31  33  35   37  39] V₀₄=[ 41  43  45  47  49  51  53]

U₀₃=[129 127 125 123 121 119 117 115] U₀₄=[113 111 109 107 105 103 101]

П_р                                         *          *          *

» V₀₅= [55 57 59 61 63 65 67 69]  V₀₆= [ 71  73 ]  V₀₇ = [ 75  77 ] }.

» U₀₅= [99 97 95 93 91 89 87 85]  U₀₆= [ 83  81 ]  U₀₇ = [ 79  77 ] }.

П_р                              *

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.

Для прогрессий V₀  и  U₀ в целом имеем:

Z_pv =21,  Z_sv =18, Z_pv < Z_su, П_s/v =13,  П_s/v ≠ П_s/u ,

Z_pu =15,  Z_su =24, Z_pu < Z_sv, П_s/u =7,   П_р = 8.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_s/v = 21 – 13 = 8; R_u = Z_pu - П_s/u = 15 – 7 = 8.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 8.

Для подпрогрессий V₀₁  и  U₀₁ имеем:

Z_pv =4,  Z_sv =1, Z_pv > Z_su, П_s/v =2,  П_s/v ≠ П_s/u ,

Z_pu =2,  Z_su =3, Z_pu > Z_sv, П_s/u =0,   П_р = 2.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_s/v = 4 – 2 = 2; R_u = Z_pu - П_s/u = 2 – 0 = 2.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 2.

Для подпрогрессий V₀₂  и U₀₂ имеем:

Z_pv =5,  Z_sv =2, Z_pv > Z_su, П_s/v =3,  П_s/v ≠ П_s/u ,

Z_pu =3,  Z_su =1, Z_pu > Z_sv, П_s/u =1,   П_р = 2.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_s/v = 5 – 3 = 2; R_u = Z_pu - П_s/u = 3 – 1= 2.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 2.

Для подпрогрессий V₀₄  и  U₀₄ имеем:

Z_pv =4,  Z_sv =3, Z_pv > Z_su, П_s/v =1,  П_s/v ≠ П_s/u ,

Z_pu =5,  Z_su =2, Z_pu > Z_sv, П_s/u =2,   П_р = 3.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_s/v = 4 – 1 = 3;

R_u = Z_pu - П_s/u = 5 – 2 = 3.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 3.

Для подпрогрессий V₀₆  и U₀₆ имеем:

Z_pv =2,   Z_sv =0, Z_pv > Z_su, П_s/v =1,   П_s/v ≠ П_s/u ,

Z_pu =1,   Z_su =1, Z_pu > Z_sv, П_s/u =0,   П_р = 1.

Определим разности:

R_v = Z_pv - П_s/v = 2 – 1 = 1;  R_u = Z_pu - П_s/u = 1 – 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин R_v , R_u и  П_р следует: R_v = R_u =  П_р = 1.

Из анализа приведенных прогрессий и входящих в их состав подпрогрессий следуют определенные варианты сочетаний величин Z_pv, Z_sv,  Z_pu, Z_{su ,} П_s/v, П_s/u, при которых прогрессии и входящие в них подпрогрессии содержат пары простых чисел V_0i + U_0i , удовлетворяющие условию:

V_0i + U_0i = N:

Вариант 1: Z_pv=Z_pu, Z_sv=Z_su, Z_pv>Z_su, Z_pu>Z_sv, П_s/v=П_s/u = 0 (подпрогрессия V₀₂ - U₀₂ для числа N =120);

Вариант 2: Z_pv=Z_pu, Z_sv=Z_su,  Z_pv<Z_su, Z_pu<Z_sv, П_s/v= П_s/u = 0 (подпрогрессияV₀₈ - U₀₈ для числа N =120);

Вариант 3: Z_pv>Z_pu, Z_sv<Z_su,  Z_pv>Z_su, Z_pu>Z_sv, П_s/v>П_s/u (подпрогрессии V₀₁ - U₀₁, V₀₄ - U₀₄, V₀₆ - U₀₆ для числа N =120 и подпрогрессии V₀₁ - U₀₁, V₀₆ - U₀₆ для числа 154);

Вариант 4: Z_pv>Z_pu, Z_sv<Z_su, Z_pv=Z_su, Z_pu=Z_sv, П_s/v>П_s/u (прогрессия V₀- U₀ для числа N =120);

Вариант 5: Z_pv>Z_pu, Z_sv>Z_su, Z_pv>Z_su, Z_pu>Z_sv, П_s/v>П_s/u (подпрогрессия V₀₂- U₀₂ для числа N =154);

Вариант 6: Z_pv<Z_pu, Z_sv>Z_su, Z_pv=Z_su, Z_pu=Z_sv, П_s/v<П_s/u (подпрогрессия V₀₇- U₀₇ для числа N =120);

Вариант 7: Z_pv<Z_pu, Z_sv>Z_su, Z_pv>Z_su, Z_pu>Z_sv, П_s/v<П_s/u (подпрогрессия V₀₄- U₀₄ для числа N =154);

Вариант 8: Z_pv>Z_pu, Z_sv<Z_su, Z_pv<Z_su, Z_pu<Z_sv, П_s/v>П_s/u (прогрессия V₀- U₀ для числа N =154).

В рассмотренных вариантах преобладает вариант 3 (в 5 из 12 подпрогрессий). Вероятно, что возможны и другие варианты сочетаний величин Z_pv, Z_sv, Z_pu, Z_{su ,} П_s/v, П_s/u.

Значения количества пар П_p простых чисел для некоторых четных чисел N (количества П_p приведены в скобках рядом с числами N):

80(5), 82(5), 84(8), 86(5), 88(4), 90(10), 120(12), 138(5), 150(13), 154(8), 180(15), 184(8), 222(11), 226(7), 228(13), 336(19), 644(17), 1000(28), 1312(22).

Из анализа приведенных данных следует, что строгой зависимости между значениями четных чисел N и количеством пар П_p простых чисел для них не существует, но прослеживается закономерность, в соответствии с которой с существенным увеличением значений числа N увеличивается количество пар П_p для них.

Из изложенного следует, что любое четное число N>4 равно сумме двух и более пар П_p простых чисел при условии, что эти числа могут быть равны. Примеры:

6=1+5=3+3; 8=1+7=3+5; 10=3+7=5+5; 12=1+11=5+7; 14=1+13=3+11=7+7.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛАБОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА

Слабая гипотеза Гольдбаха формулируется следующим образом: любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел:

М = A + B + C,

где: A, B и C – простые числа.

При этом:

A ≠ B ≠ С

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Обозначим:

A + B =N.

Очевидно, что N – четное число.

Тогда:

M = N + C.

Отсюда:

N = M – C.

Вычтя из любого нечетного числа простое число, получим четное число. Выше при доказательстве сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера доказано, что любое четное число, большее двух, равно сумме одной пары или нескольких пар простых чисел. Следовательно, любое нечетное число М, большее семи, равно:

M = N + C = A + B + С,

где: A, B и C – простые числа.

При этом:

A ≠ B ≠ С

Автор: Козий Николай Михайлович, инженер-механик

E-mail: nik_krm@mail.ru

umbolic@gmail.com