Курсовая работа: Инвариантные подгруппы бипримарных групп

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

Инвариантные подгруппы бипримарных групп

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-41 Таратын В.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии Монахов В.С.

Гомель 2006

Содержание

Введение

1. Основные обозначения

2. Инвариантные подгруппы бипримарных групп

3. О порядках силовских подгрупп общей линейной группы

Заключение

Список литературы

Введение

В настоящей курсовой работе излагается материал на тему: "Инвариантные подгруппы бипримарных групп". Цель этой курсовой работы состоит в том, чтобы исследовать существование примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах.

Моя курсовая работа состоит из трех пунктов. В первом пункте изложены основные обозначения, которые используются в данной работе, что значительно упрощает дальнейшую работу и проверку курсовой.

Во втором пункте было рассказано про инвариантные подгруппы бипримарных групп.

В третьем пункте изложен материал о порядках силовских подгрупп общей линейной группы.

Также в этом пункте изучены и доказаны следующие основные теоремы:

Теорема. Пусть  - конечная разрешимая группа, порядка ,  - простое число и  не делит . Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) ,  и  делит порядок ;

2) ,  делит порядок , где  - простое число, причем , если , и , если ;

3) ,  1 и  делит порядок .

Теорема. Пусть  - группа порядка ,  и  - простые числа. Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , ,  и ;

2) , , , причем , если , и , если ;

3) , ,  и .

Теорема. Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:

1) , ,  и ;

2) , ,  и , если , , если ;

3) , ,  и .

Теорема. Пусть  и  - различные простые числа и  - порядок силовской -подгруппы из группы . Тогда и только , когда выполняется одно из условий:

1) , ,  - любое натуральное число за исключением , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , ,  - любое натуральное число ;

3) , ,  - любое натуральное число  за исключением , где ; , где  - любое целое число, удовлетворяющее неравенству . Для  дополнительно исключаются числа , ,  и ; для  дополнительно исключаются  и .

Завершает мою курсовую работу список используемой литературы, который состоит из девяти источников.

1. Основные обозначения

2. Инвариантные подгруппы бипримарных групп

1. Введение. Две работы (1) и (2), написанные Бернсайдом в 1904 г., посвящены конечным бипримарным группам - группам порядка ,  и  - различные простые числа. В первой работе доказана разрешимость таких групп. Во второй - устанавливался следующий факт: в группе порядка  при  существует характеристическая -подгруппа порядка , за исключением двух случаев ,  и , .

Однако группа , являющаяся расширением элементарной абелевой группы  порядка  с помощью силовской -подгруппы из группы автоморфизмов группы , имеет порядок ,  и в  нет неединичных инвариантных -подгрупп. Этот пример указывает на то, что в работе [??] имеется пробел.

В настоящей работе рассматривается более общая ситуация, чем в [??]. А именно, изучаются разрешимые группы порядка , где . Основным результатом является

Теорема  Пусть  - конечная разрешимая группа, порядка ,  - простое число и  не делит . Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) ,  и  делит порядок ;

2) ,  делит порядок , где  - простое число, причем , если , и , если ;

3) ,  1 и  делит порядок .

Если  и  - различные простые числа,  и  - целые положительные числа, то либо , либо . Поэтому теорема (??) распространяется па все бипримарные группы.

Теорема  Пусть  - группа порядка ,  и  - простые числа. Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , ,  и ;

2) , , , причем , если , и , если ;

3) , ,  и .

Следствие  Если  и  - нечетные простые числа и , то любая группа порядка  обладает характеристической -подгруппой порядка .

Следующая теорема показывает, что границы, установленные для чисел  и , являются точными и что инвариантной -подгруппы в исключительных случаях теорем (4) и (1) может и не быть.

Теорема  Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:

1) , ,  и ;

2) , ,  и , если , , если ;

3) , ,  и .

2. Порядки силовских подгрупп полных линейных групп. На множестве натуральных чисел введем следующую функцию:

где  и  взаимно просто с . Из определения вытекает, что  есть показатель, с которым  входит в произведение . Поэтому

где  - целая часть числа  (см. [??]) и  - наибольшее число, при котором .

Тогда

Лемма  .

Лемма  Пусть  - показатель, которому  принадлежит по модулю , и пусть ,  не делит . Тогда и только тогда  делит , когда  кратно . Если ,  не делит , то, за исключением случая , число  есть наивысшая степень , которая делит .

Доказательство. Первое утверждение вытекает из свойств показателей (см. (5)). Вычислим , используя бином Ньютона:

Заметим, что

есть целое число. Действительно,  и число  делит произведение . Учитывая, что , из леммы (??) получаем, что  и  делит . Теперь

где  - целое число. Так как  не делит , то выражение в скобках не делится на , за исключением случая . Лемма доказана.

Исключение , в лемме (??) существенно; легко заметить, что при ,  лемма (??) неверна. Случай  был как раз и пропущен в рассуждениях работы (5).

Лемма  Пусть ,  - нечетное число и  - наименьшее целое число, при котором . Пусть . Определим число  так: если, , то . если , тo   - нечетное число. Тогда

1) если  - нечетное число, то ; ;

2) если  - четное число и ,  - нечетное число, то , , где , ,  и  - нечетные числа.

Доказательство. Воспользуемся биномом Ньютона:

Если  - нечетное число, то

 - нечетное число. Если  - четное число, то

 - нечетное число.

Пусть теперь  - нечетное число . Тогда

где

Ho  - нечетное число, поэтому  - нечетное число. Так как , если , и , если , то , где  - нечетное число.

И наконец, если , .  - нечетное число, то

 - нечетное число. Лемма доказана.

Лемма  Пусть  и  - различные простые числа,  - показатель числа  по модулю  и ,  не делит . Пусть ,  или  и  - порядок силовской -подгруппы группы . Если , то , где  - целое число, удовлетворяющее неравенству . Если , то . Здесь число  определяется как и в лемме3.

Доказательство. Порядок группы  известен (см.2):

Ясно, что  - наивысшая степень , которая делит произведение .

Рассмотрим, вначале случай, когда . Применяя лемму (3), заключаем, что в произведении  лишь следующие сомножители кратны :

где  определяется неравенством . Так как  есть наивысшая степень , которая делит , где ,  не делит , то наивысшая степень , которая делит , есть .

Следовательно,

.

Пусть теперь . Тогда  и . Заметим, что

Применим индукцию по . Если , то , а так как ,  и , то утверждение для  справедливо.

Предположим, что равенство выполняется для , и докажем его для . Пусть вначале  есть нечетное число, т.е. ,  и . По лемме (4) ,  - нечетное число. Поэтому . Так как , а , то утверждение для  справедливо.

Пусть теперь  - четное число. Тогда  и . Кроме того, если ,  не делит , то по лемме (??) ,  - нечетное число. Значит,

Лемма доказана полностью.

Лемма  Пусть  и  - различные простые числа и  - порядок некоторой -подгруппы группы . Тогда либо , либо справедливо одно из следующих утверждении:

1) , ,  и ;

2) , ,  и , если , , если ;

3) , , , и .

Доказательство. Пусть  - показатель числа  по модулю  и ,  не делит . Так как  - порядок силовской -подгруппы группы , то . Если , то лемма (??) справедлива. Поэтому пусть в дальнейшем . Рассмотрим вначале случай, когда . По лемме в этом случае , где  определяется неравенством . Допустим, что . Так как , то  и  - противоречие. Значит, , поэтому либо , либо .

Пусть . Тогда , а так как , то  и . Если , то  и  - противоречие. Если , то . Кроме того, . Поэтому из условия  следует, что . Получили утверждение для  из пункта 2.

Теперь пусть . Тогда . Легко показать, что , поэтому . Если , то  и . Отсюда следует, что

получили противоречие. Значит, , т.е.  и . Поэтому . Воспользуемся неравенством , которое справедливо при . Тогда

и из  следует, что  и . Получили утверждение из пункта 3. Случай  разобран полностью.

Рассмотрим теперь случай . Тогда . Пусть  - наименьшее целое число, при котором , и пусть . Предположим, что . Тогда . Но  и , поэтому  и . Если , то ,  и . Кроме того, . Отсюда . Следовательно, при  справедливо неравенство . Так как , то  и

Таким образом, при  всегда . Значит, надо рассмотреть лишь два случая:  и .

Пусть , тогда . Непосредственно проверяется, что  при . При  имеем , причем . Поэтому . Получили утверждение из пункта 1.

Осталось рассмотреть . Теперь . В  силовская -подгруппа имеет порядок . Так как , то  и . Но , . Поэтому этот случай записан в пункте 2. Лемма доказана полностью.

Доказательство теоремы (??). Пусть ,  - упорядоченная пара простых чисел,  - натуральное число и , ,  удовлетворяют одному из трех требований теоремы. Через  обозначим элементарную абелеву группу порядка , через  - силовскую -подгруппу группы . Так как  есть группа автоморфизмов группы , то группа , являющаяся расширением группы  с помощью группы , не имеет инвариантных -подгрупп . Покажем, что  - искомая группа. Вычислим порядок группы . Из леммы (??) следует, что  причем:

1) , если  и ;

2) , если ,  и , если , , ;

3) , если , .

В первых двух случаях непосредственно проверяется, что . Используя неравенство , которое справедливо при , в третьем случае получаем . Таким образом,  и в каждом из трех случаев . Теорема (??) доказана.

3. Доказательство теоремы (??). Допустим, что теорема неверна и группа  - контрпример минимального порядка. Пусть  - силовская -подгруппа,  - силовское -дополнение в .

Обозначим через  наибольшую инвариантную -подгруппу из . Подгруппа  характеристическая и  не имеет неединичных инвариантных -подгрупп. Предположим, что . Факторгруппа  имеет порядок . Если , то  - противоречие. Поэтому  и для  выполняется одно из утверждений пунктов 1 - 3 заключения теоремы. Но тогда это утверждение выполняется и для  - противоречие. Следовательно, в  нет неединичных инвариантных -подгрупп.

Пусть  - подгруппа Фиттинга группы . Так как  разрешима, то . Ясно, что . Если , то  и группа  удовлетворяет условию теоремы. Но для  не выполняется ни одно из утверждений пунктов 1 - 3 заключения теоремы, иначе оно выполнялось бы и для . Поэтому группа  обладает неединичной инвариантной -подгруппой . Теперь  централизует , а это противоречит теореме о том, что в разрешимых группах подгруппа Фиттинга содержит свой централизатор (см. [??]). Таким образом, .

Допустим, что подгруппа Фраттини  группы  неединична. Тогда факторгруппа  удовлетворяет условию теоремы. Если в  имеется неединичная инвариантная -подгруппа , то по теореме Гашюца [??] группа  нильпотентна и  обладает инвариантной -подгруппой  - противоречие. Но для  не выполняется ни одно из утверждений пунктов 1 - 3. Следовательно,  и все силовские в  подгруппы элементарные абелевы.

Пусть ,  - силовская подгруппа группы . Тогда группа автоморфизмов  группы  является прямым произведением групп  (см. [??]). Так как  совпадает со своим централизатором в , то  изоморфна некоторой -подгруппе из . Но силовская -подгруппа из  имеет вид , где  - некоторая силовская -подгруппа из  (см. [??]). Поэтому  изоморфна некоторой подгруппе из . По условию теоремы , поэтому существует номер  такой, что .

Если , то  и , есть силовская -подгруппа группы . Применяя лемму (??), заключаем, что ,  и  или ,  и , или ,  и . Используя условие , нетрудно получить соответствующие оценки для числа . Теорема доказана.

4. Пример. В 1969 г.Г.Я. Мордкович на Гомельском алгебраическом семинаре С.А. Чунихина высказал предположение: в группе порядка  при  либо силовская -подгруппа инвариантна, либо существует неединичная инвариантная -подгруппа. Мы построим пример, опровергающий это предположение.

Напомним, что  означает наибольшую инвариантную -подгруппу группы . Группа  называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа инвариантна.

Лемма  Пусть , где  - подгруппа группы , . Если  для всех , то .

Доказательство проведем индукцией по . Для  лемма справедлива. Пусть утверждение верно для  и . Так как  и , то  и . Теперь . Отсюда следует, что . Лемма доказана.

Нам потребуется следующая конструкция Л.А. Шеметкова (см. [??]).

Лемма Л.А. Шеметков  Для любой упорядоченной пары ,  различных простых чисел существует группа  порядка  со следующими свойствами:

1) ,  - показатель, которому принадлежит  по модулю ;

2)  не -замкнута, силовская -подгруппа из  максимальна в  и .

Предположение  Для каждого из следующих трех случаев

1) , ;

2) , ;

3) ,  существует не -замкнутая группа  порядка , причем  и .

Доказательство. Пусть ,  - упорядоченная пара простых чисел, удовлетворяющая одному из требований предложения (??). Пусть  - -группа из леммы (??) с максимальной силовской -подгруппой,  - -группа, построенная в теореме (??), с инвариантной силовской -подгруппой и , где . Так как  не -замкнута, то и  не -замкнута. Кроме того,  и , . Поэтому,  по лемме (??). Осталось показать, что в каждом из трех случаев натуральное число  можно задать так, что группа  будет иметь порядок , причем .

Пусть , . Тогда , а . Если , то , где , . Нетрудно проверить, что .

Пусть теперь , . Предположим, что . Тогда ,  и , где , a . Если в качестве  выбрать натуральное число, удовлетворяющее неравенству: , то . Допустим теперь, что . Тогда ,  и , где , . Так как , то существует натуральное число , удовлетворяющее неравенству . Если положить , то .

Наконец, пусть , . Тогда ,  и , где , . Теперь в качестве  надо выбрать натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Тогда . Предположение (??) доказано.

3. О порядках силовских подгрупп общей линейной группы

В заметке (1) исправлена ошибка, допущенная Бернсайдом в работе (2). А именно в (3) доказано, что группа  порядка , где  и  - различные простые числа и , либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , ,  и ;

2) , ,  и , если , , если ;

3) , ,  и .

Доказательство этого результата сводится к случаю, когда силовская -подгруппа из  является минимальной инвариантной подгруппой, совпадающей со своим централизатором. В этом случае силовская  - подгруппа из  изоморфно вкладывается в общую линейную группу  и возникает необходимость сравнить порядок силовской -подгруппы из  с числом . В лемме 2.5 из [??] указывались значения ,  и нижняя граница для числа , при которых порядок силовской  - подгруппы из  больше .

Цель настоящей заметки - указать все значения чисел ,  и , при которых силовская -подгруппа из  имеет порядок больший, чем .

Теорема  Пусть  и  - различные простые числа и  - порядок силовской -подгруппы из группы . Тогда и только тогда , когда выполняется одно из условий:

1) , ,  - любое натуральное число за исключением , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , ,  - любое натуральное число ;

3) , ,  - любое натуральное число  за исключением , где ; , где  - любое целое число, удовлетворяющее неравенству . Для  дополнительно исключаются числа , ,  и ; для  дополнительно исключаются  и .

Доказательство теоремы основывается на формуле для вычисления порядка силовской -подгруппы общей линейной группы , полученной в [??].

Пусть  и  - различные простые числа,  - показатель числа  по модулю  и ,  не делит . Через  обозначим порядок силовской -подгруппы группы , а через  - показатель, с которым  входит в произведение . В [??] доказана следующая

Лемма  Если , то . Если , то  и число  определяется так: пусть  - наименьшее целое, при котором  и ; если , то ; если , то ,  - нечетное число.

Напомним, что  - целая часть числа , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее  (см. [??]).

Лемма  Если  - натуральное число, то

Доказательство. Пусть  - наибольшее целое число, при котором . Так как , то

С другой стороны,

 и .

Лемма  Если  - натуральное число , то .

Доказательство проводим индукцией по . Если , то

Пусть утверждение верно для . Докажем его для .

Если  кратно , то

. Но  - целое число, а  -

дробное. Поэтому

Если  кратно , то .

Пусть, наконец, оба числа  и  не кратны , тогда , причем  не целое число. Так как число  целое, то , откуда . Лемма доказана.

Лемма  Если  - натуральное число, а  - наибольшее целое число, при котором , то .

Доказательство. По лемме (??), , поэтому . Неравенство  докажем индукцией по . Для  и  справедливость неравенства проверяется непосредственно.

Пусть  и пусть это неравенство верно для всех . Докажем его для . Разность  обозначим через . Так как , то . Поэтому если  - наибольшее целое число, при котором, , то  и по индукции имеем

Вычислим . Так как

то

Лемма доказана.

Замечание. Границы, указанные в лемме (??), точные. Левая граница достигается при , правая - при .

Лемма  Если натуральное число , то  и .

Доказательство обоих неравенств легко получить индукцией по .

Доказательство теоремы 3. Сохраним все обозначения леммы (??). Рассмотрим вначале случай, когда . По лемме (5), в этом случае , где . Допустим, что . Так как , то  и . Поэтому , и, применяя лемму (??), получаем , что противоречит условию теоремы.

Значит, , поэтому либо , либо .

Пусть . Тогда , а так как , то  и .

Пусть . Тогда . Если  четное, то , т.е.4 делит . Противоречие. Значит,  нечетное. Поэтому , и так как число  нечетное, то . Таким образом, если , то .

Итак, если , то либо  и , либо  и .

Пусть . Тогда из леммы (??) следует, что

Предположим, что . Тогда  (см. лемму (??)), а так как при  справедливо неравенство , то . Учитывая, что  или , получаем .

Если , то  и . Кроме того, , поэтому

 и .

Таким образом, при  выполняется неравенство . Так как , то . Противоречие с условием теоремы.

Следовательно,  или  и  или .

Итак, нам необходимо рассмотреть следующие случаи: , ; , ; , .

Случай 1. Пусть , . В этом случае

Если , то, вычисляя  для каждого значения  с помощью натуральных логарифмов, убеждаемся; что  в точности для следующих , , , , , , , , --, --.

Пусть  и  - наибольшее натуральное число, при котором . Ясно, что . С помощью индукции легко проверяется неравенство; . Используя лемму (??), мы получаем:

Теперь

 Таким образом, .

Случай 2. Пусть , . В этом случае , где , если  четное, и  если  нечетное, а . Если  или 3, а , то непосредственно убеждаемся, что . Если , то , а  и  т.е. . Используя лемму (??), получаем

 т.е.

Теперь пусть . Из леммы (??) имеем  или . Поэтому . Осталось рассмотреть случай, когда . Тогда , поэтому, используя леммы (??) и (??), получаем:

Таким образом, при любом  имеет место неравенство .

Случай 3. Пусть , . В этом случае , где  - целая часть числа . Если , то  и . Отсюда следует, что . Противоречие. Значит,  и . Мы можем записать , .

Рассмотрим вначале случай, когда , т.е. когда .

Тогда , .

Если , то , где  - основание натуральных логарифмов и

, т.е. .

Если , то  и , т.е. . Найдем значения  для  и . Для  имеем:

Для  имеем:

Если , то , и при  получаем

, т.е. .

Если , то . Определим для  и  значения , при которых . Для  имеем , т.е. , а . Для  имеем , т.е. , а .

Теперь рассмотрим случай, когда , т.е. когда .

Если , то  и . Непосредственно убеждаемся, что лишь при  или  имеет место неравенство .

Если , то  и . Непосредственно убеждаемся, что лишь только при  и  имеет место неравенство .

Пусть . Так как , a , то

,

так как .

Таким образом, .

Пусть теперь . Тогда . Пусть вначале . Тогда , и по лемме 3 имеем . Поэтому

Здесь мы воспользовались неравенством , которое вытекает из неравенства . Таким образом, доказано, что .

Остался случай . Так как , то

и, применяя лемму (??), получаем

Таким образом, .

Теорема доказана.

Заключение

Итак, в данной курсовой работе исследовано существование примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах. Также изучены и доказаны следующие основные теоремы:

Теорема. Пусть  - конечная разрешимая группа, порядка ,  - простое число и  не делит . Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) ,  и  делит порядок ;

2) ,  делит порядок , где  - простое число, причем , если , и , если ;

3) ,  1 и  делит порядок .

Теорема. Пусть  - группа порядка ,  и  - простые числа. Если , то либо  обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , ,  и ;

2) , , , причем , если , и , если ;

3) , ,  и .

Теорема. Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:

1) , ,  и ;

2) , ,  и , если , , если ;

3) , ,  и .

Теорема. Пусть  и  - различные простые числа и  - порядок силовской -подгруппы из группы . Тогда и только , когда выполняется одно из условий:

1) , ,  - любое натуральное число за исключением , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , ,  - любое натуральное число ;

3) , ,  - любое натуральное число  за исключением , где ; , где  - любое целое число, удовлетворяющее неравенству . Для  дополнительно исключаются числа , ,  и ; для  дополнительно исключаются  и .

Список литературы

[1] Burnside W., On groups of order , Proc. London Math. Soc.2, № 1 (1904), 388--392.

[2] Вurnside W., On groups of order  (Second paper), Proc. London Math. Soc., 2, № 2 (1905), 432--437.

[3] Вurnside W., Theory of groups of finite order, Cambridge, 1911.

[4] Виноградов И.М., Основы теории чисел, М., Наука, 1965.

[5] Huppert В., Endliche Gruppen. I, Berlin, Springer, 1967.

[6] Шеметков Л.А., К теореме Д.К. Фаддеева о конечных разрешимых группах, Матем. заметки, 5, № 6 (1969), 665--668.

[7] Монахов В.С., Инвариантные подгруппы бипримарных групп. Матем. заметки, 18, № 6 (1975) б 877-886.

[8] Burnside W., On groups of order  (second paper), Proc. London Math. Soc., 2, N 2 (1905), 432--437.

[9] Виноградов И.М., Основы теории чисел, М., 1965.