Курсовая работа: Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 
,
ЗАМКНУТЫЕ О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ИНДЕКСОВ ОТНОСИТЕЛЬНО
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ -ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-53 МОКЕЕВА О. А.
Научный руководитель:
доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2009
Оглавление
2
Критерий принадлежности групп, факторизуемых
обобщенно
субнормальными -подгруппами, индексы которых взаимно
просты, наследственно насыщенным формациям
Список использованных источников
Перечень условных обозначений
Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
--- множество всех натуральных
чисел;
--- множество всех простых чисел;
--- некоторое множество простых
чисел, т. е. 
;
---
дополнение к во множестве всех простых чисел; в
частности, 
;
примарное
число --- любое число вида 
.
Буквами
обозначаются простые числа.
Пусть
--- группа. Тогда:
--- порядок группы ;
---
множество всех простых делителей порядка группы ;
-группа --- группа , для которой 
;
-группа --- группа , для которой 
;
--- коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами
всех элементов группы ;
--- подгруппа Фиттинга группы , т. е. произведение всех нормальных
нильпотентных подгрупп группы ;
--- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
--- подгруппа Фраттини группы , т. е. пересечение всех максимальных
подгрупп группы ;
--- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
--- -холлова
подгруппа группы ;
--- силовская -подгруппа группы ;
--- дополнение к силовской -подгруппе в группе ,
т. е. 
-холлова подгруппа группы ;
--- нильпотентная длина группы ;
--- -длина
группы ;
--- минимальное число порождающих
элементов группы ;
--- цоколь группы , т. е. подгруппа, порожденная всеми
минимальными нормальными подгруппами группы ;
--- циклическая группа порядка .
Если
и 
--- подгруппы
группы , то :
--- является
подгруппой группы ;
--- является
собственной подгруппой группы ;
--- является
нормальной подгруппой группы ;
---
ядро подгруппы в группе , т. е. пересечение всех подгрупп,
сопряженных с в ;
--- нормальное замыкание подгруппы
в группе ,
т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами
группы ;
--- индекс подгруппы в группе ;
;
--- нормализатор подгруппы в группе ;
--- централизатор подгруппы в группе ;
--- взаимный коммутант подгрупп и ;
--- подгруппа, порожденная
подгруппами и .
Минимальная
нормальная подгруппа группы 
--- неединичная
нормальная подгруппа группы , не содержащая
собственных неединичных нормальных подгрупп группы ;
--- 
является
максимальной подгруппой группы .
Если
и 
--- подгруппы
группы , то:
--- прямое произведение подгрупп и ;
--- полупрямое произведение
нормальной подгруппы и подгруппы ;
--- и
изоморфны;
--- регулярное сплетение подгрупп и .
Подгруппы
и группы называются перестановочными, если 
.
Группу
называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна
в ;
-нильпотентной, если -холлова подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует
нормальный ряд, факторы которого либо -группы,
либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее
главный фактор является либо -группой, либо
циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
разрешимой,
если существует номер 
такой, что 
;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.
-замкнутая группа --- группа,
обладающая нормальной холловской -подгруппой.
-специальная группа --- группа,
обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой.
-разложимая группа --- группа,
являющаяся одновременно -специальной и 
-замкнутой.
Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением
к подгруппе группы называется
такая подгруппа из , что 
.
Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд
подгрупп 
называется:
субнормальным,
если 
для любого 
;
нормальным,
если 
для любого 
;
главным,
если 
является минимальной нормальной
подгруппой в 
для всех 
.
Класс
групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все ей изоморфные группы.
-группа --- группа, принадлежащая
классу групп .
Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если
--- класс групп, то:
--- множество всех простых
делителей порядков всех групп из ;
--- множество всех тех простых
чисел , для которых 
;
--- формация, порожденная классом ;
--- насыщенная формация,
порожденная классом ;
--- класс всех групп , представимых в виде
где
, 
;
;
--- класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих , но все собственные подгруппы которых
принадлежат ;
--- класс всех -групп из ;
--- класс всех конечных групп;
--- класс всех разрешимых конечных
групп;
--- класс всех -групп;
--- класс всех разрешимых -групп;
--- класс всех разрешимых -групп;
--- класс всех нильпотентных
групп;
--- класс всех разрешимых групп с
нильпотентной длиной 
.
Если
и --- классы
групп, то:
.
Если
--- класс групп и ---
группа, то:
--- пересечение всех нормальных
подгрупп из таких,
что 
;
--- произведение всех нормальных -подгрупп группы .
Если
и --- формации,
то:
--- произведение формаций;
--- пересечение всех -абнормальных максимальных подгрупп группы .
Если
--- насыщенная формация, то:
--- существенная характеристика
формации .
-абнормальной называется
максимальная подгруппа группы , если
, где
--- некоторая непустая формация.
-гиперцентральной подгруппой в называется разрешимая нормальная подгруппа группы ,
если обладает субнормальным рядом 
таким, что
(1)
каждый фактор 
является главным фактором группы ;
(2)
если порядок фактора есть степень простого
числа 
, то 
.
--- -гиперцентр
группы , т. е. произведение всех -гиперцентральных подгрупп группы .
Введение
Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим можно сформулировать следующую проблему.
Проблема.
Классифицировать наследственные насыщенные формации с
тем свойством, что любая группа 
, где и --- -субнормальные -подгруппы
взаимно простых индексов, принадлежит .
Именно изучению таких формаций посвящена данная работа. В частности, в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы.
1 Некоторые базисные леммы
В данном разделе доказаны леммы, которые существенным образом используются при доказательстве основного раздела данной главы.
1.1
Лемма
[18-A]. Пусть --- насыщенная формация, принадлежит 
и
имеет нормальную силовскую -подгруппу 
для некоторого простого числа . Тогда справедливы следующие утверждения:
1)
;
2)
, где ---
любое дополнение к в .
Доказательство.
Так как 
, то 
,
а значит, 
. Так как 
и
формация насыщенная, то 
не содержится в 
.
Так как 
--- элементарная группа, то по
теореме 2.2.16, 
обладает -допустимым дополнением 
в . Тогда 
, 
. Если 
, то 
отлична
от и, значит, принадлежит . Но тогда, ввиду равенства 
, имеем
отсюда
следует 
и 
.
Тем самым доказано, что 
.
Докажем
утверждение 2). Очевидно, что 
является -корадикалом и единственной минимальной
нормальной подгруппой группы 
, причем 
. Поэтому, ввиду теоремы 2.2.17,
Очевидно,
. Если 
,
то
отсюда
. Значит, 
.
Лемма доказана.
Пусть
и --- произвольные
классы групп. Следуя [55], обозначим через 
---
множество всех групп, у которых все -подгруппы
принадлежат .
Если
--- локальный экран, то через 
обозначим локальную функцию, обладающую
равенством 
для любого простого числа .
1.2
Лемма
[18-A]. Пусть и ---
некоторые классы групп. Тогда справедливы следующие утверждения:
1)
--- наследственный класс;
2)
;
3)
если 
, то 
;
4)
если 
, то ---
класс всех групп;
5)
если --- формация, а --- насыщенный гомоморф, то --- формация;
6)
если , ,
--- некоторые классы групп и --- наследственный класс, то 
в том и только в том случае, когда 
;
7)
если и ---
гомоморфы и 
, то 
.
Доказательство.
Доказательство утверждений 1), 2), 3) и 4) следует непосредственно из
определения класса групп .
Пусть
, --- нормальная
подгруппа группы и 
---
-подгруппа из 
.
Пусть --- добавление к в . Покажем, что 
. Предположим противное. Пусть 
не входит в 
.
Тогда обладает максимальной подгруппой 
, не содержащей .
Поэтому 
, а значит, 
,
что противоречит определению добавления.
Так
как --- насыщенный гомоморф, то 
. Но тогда 
и
. Значит, класс замкнут
относительно гомоморфных образов.
Пусть
. Пусть ---
-подгруппа из .
Тогда 
, а значит ввиду определения класса
, имеем
Так
как --- формация и 
,
то отсюда получаем, что 
. Таким образом, .
Докажем
утверждение 6). Пусть , 
.
Если не входит в , то получается, что каждая -подгруппа из принадлежит
, а значит, 
.
Получили противоречие. Поэтому 
.
Покажем,
что . Предположим, что множество 
непусто, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Тогда не входит в 
.
Пусть 
--- собственная подгруппа из 
. Так как классы 
и
--- наследственные классы, то 
. Ввиду минимальности имеем
. Значит, 
.
Получили противоречие. Поэтому 
.
Докажем
утверждение 7). Пусть 
и ---
-подгруппа из группы .
Отсюда следует, что 
, 
.
А это значит, что 
. Отсюда нетрудно
заметить, что 
. Следовательно, 
. Итак, 
.
Лемма доказана.
1.3
Лемма
[18-A]. Пусть --- наследственная насыщенная
формация, 
--- ее максимальный внутренний
локальный экран. Тогда и только тогда -корадикал
любой минимальной не -группы является силовской
подгруппой, когда:
1)
;
2)
формация имеет полный локальный экран 
такой 
,
что 
для любого 
из
.
Доказательство.
Необходимость. Пусть --- максимальный
внутренний локальный экран формации . Пусть --- произвольное простое число из . Так как 
---
насыщенный гомоморф, то по лемме 4.1.2, 
---
формация.
Пусть
--- формация, имеющая локальный экран такой, что для
любого из .
Покажем , что 
. Согласно теореме 2.2.13, 
--- наследственная формация для любого из .
Отсюда нетрудно заметить, что 
для любого из .
А это значит, что 
.
Пусть
--- группа минимального порядка из 
. Так как ---
наследственная формация, то очевидно, что ---
наследственная формация. А это значит, что 
и
. Покажем, что ---
полный локальный экран, т. е. 
для любого из .
Действительно. Пусть --- произвольная группа
из 
. Отсюда 
.
Пусть 
--- произвольная 
-группа из .
Так как 
, то 
.
Отсюда 
. Так как ---
полный экран, то 
. А это значит, что 
. Следовательно, 
.
Отсюда нетрудно заметить, что . Теперь,
согласно теореме 2.2.5, 
, где 
--- единственная минимальная нормальная
подгруппа группы , ---
-группа и 
.
Так как 
и 
,
то 
. Отсюда 
.
Противоречие. Итак, . Покажем, что для любого из
. Пусть 
и
--- 
-группа.
Пусть 
--- произвольная -подгруппа из .
Тогда 
. Отсюда 
.
А это значит, что 
. Противоречие.
Достаточность.
Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Так как разрешима,
то по теореме 2.2.5,
где
--- -группа,
. Согласно условию, 
---
-группа. А это значит, что 
--- -замкнутая
группа. Но тогда, --- -замкнутая группа. Согласно лемме 4.1.1, --- силовская подгруппа группы . Лемма доказана.
1.4
Лемма
[18-A]. Пусть --- наследственная насыщенная
формация, --- ее максимальный внутренний
локальный экран. Тогда и только тогда любая минимальная не -группа бипримарна и -замкнута,
где 
, когда:
1)
;
2)
формация имеет полный локальный экран такой, что и
любая группа из 
является примарной -группой для любого простого из .
Доказательство.
Необходимость. Пусть --- произвольная
минимальная не -группа. Согласно условию,
--- бипримарная -замкнутая
группа, где . По лемме 4.1.1, 
. Согласно лемме 4.1.3, формация имеет полный локальный экран такой, что и
для любого простого из
. Покажем, что любая группа из 
примарна. Предположим противное. Тогда
существует группа 
и 
. Пусть ---
группа наименьшего порядка такая, что 
.
Очевидно, что 
и 
.
Нетрудно заметить, что 
и 
имеет
единственную минимальную нормальную подгруппу. Значит, по лемме 2.2.18,
существует точный неприводимый 
-модуль , где 
---
поле из элементов.
Пусть
. Покажем, что 
.
Поскольку 
и 
,
то 
.
Пусть
--- собственная подгруппа из 
. Покажем, что .
Пусть 
. Если 
,
то 
. Следовательно, .
Пусть 
. Тогда ---
собственная подгруппа из . А это значит,
что 
и 
. Так как 
и ---
наследственная формация, то 
. Но тогда и 
, а значит и .
Пусть
теперь 
. Так как 
,
то 
и 
. Отсюда следует,
что . Итак, .
Cогласно условию, бипримарна, что
невозможно, т. к. 
.
Достаточность.
Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию, разрешима. По теореме 2.2.5,
где
--- -группа,
.
Согласно
условию, --- примарная -группа. А это значит, что --- бипримарная -замкнутая
группа. Но тогда --- бипримарная -замкнутая группа. Лемма доказана.
2 Критерий принадлежности групп, факторизуемых обобщенно субнормальными
-подгруппами, индексы
которых взаимно просты, наследственно
насыщенным формациям
В
данном разделе в классе конечных разрешимых групп получена классификация
наследственных насыщенных формаций , замкнутых
относительно произведения обобщенно субнормальных -подгрупп,
индексы которых взаимно просты.
2.1
Теорема
[18-A]. Пусть --- наследственная насыщенная
формация, --- ее максимальный внутренний
локальный экран. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
формация содержит любую группу 
, где 
и
--- -субнормальные
-подгруппы и индексы 
,
взаимно просты;
2)
любая минимальная не -группа либо бипримарная -замкнутая
группа 
, либо группа простого порядка;
3)
формация имеет полный локальный экран такой, что 
и
любая группа из является примарной -группой для любого простого из .
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть
--- произвольная минимальная не -группа. Предположим, что 
, где 
---
характеристика формации . Покажем, что --- группа простого порядка. Пусть 
. Тогда существует простое число 
, 
. Так как , то 
,
что невозможно. Итак, --- примарная 
-группа. Так как ,
то, очевидно, что 
.
Пусть
теперь 
. Рассмотрим случай, когда 
.
Покажем,
что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
. Предположим противное. Тогда содержит, по крайней мере, две минимальные
нормальные подгруппы 
и 
.
Так как , то в группе найдутся максимальные подгруппы 
и 
такие, что 
, 
. Так как и принадлежат , 
, 
, то 
,
. Так как ---
формация, то 
. Получили противоречие. Итак, 
, где ---
единственная минимальная нормальная -подгруппа группы
.
Покажем,
что --- примарная -группа,
где 
. Предположим, что существуют простые числа 
, где 
.
Тогда в найдутся максимальные подгруппы и такие, что 
--- -число,
--- 
-число.
Рассмотрим подгруппы 
и 
.
Очевидно, что индексы 
и 
взаимно
просты. Так как 
и 
,
то 
. Согласно лемме 3.1.4, подгруппы и -субнормальны в .
Так как --- минимальная не -группа, и
--- собственные подгруппы группы , то 
и
. Так как 
,
то согласно условию, 
. Получили противоречие.
Покажем,
что --- -группа,
где . Предположим, что 
.
Так как 
, то согласно лемме 3.1.4, 
--- -субнормальная
подгуппа группы . Рассмотрим подгруппу 
. Так как ---
собственная подгруппа и ,
то 
. Согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная
подгруппа . Очевидно, что 
--- -субнормальная
подгруппа . По лемме 3.1.4, --- -субнормальная
подгруппа группы . Так как 
, то из 
и
условия теоремы следует, что . Получили
противоречие. Итак, --- -группа. Тогда ---
бипримарная -замкнутая группа, где .
Пусть
. Рассмотрим фактор-группу 
. Так как 
,
то, как показано выше, --- бипримарная -замкнутая группа. Отсюда следует, что --- бипримарная -замкнутая
группа.
Из леммы 4.1.4 следует, что утверждение 3) следует из 2).
Покажем, что из 3) следует 1).
Пусть
--- группа наименьшего порядка такая, что , где и
--- -субнормальные
-подгруппы группы взаимно
простых индексов, то . Так как --- разрешимая группа и , где 
,
то нетрудно заметить, что 
, где и --- холловские
подгруппы группы , 
и
, 
, где 
, 
--- некоторые
элементы группы .
Пусть
--- собственная подгруппа группы . Покажем, что .
Так как --- разрешимая группа, то согласно
теореме Ф. Холла [63], 
, где 
, 
, где 
, 
--- некоторые
элементы из . Согласно лемме 3.1.4, 
и 
--- -субнормальные подгруппы группы . Так как 
и
, а ---
наследственная формация, то и --- -субнормальные
подгруппы и соответственно.
Согласно лемме 3.1.4, нетрудно показать, что 
и
--- -субнормальные
подгруппы группы , а значит, согласно лемме
3.1.4 и в . Так как 
,
то по индукции, получаем, что . А это значит,
что --- минимальная не -группа.
Если
--- группа простого порядка, то ее нельзя
представить в виде произведения собственных подгрупп взаимно простых индексов.
Пусть
--- бипримарная группа. Тогда согласно лемме
4.1.4, 
. Согласно лемме 4.1.1, . А это значит, что все подгруппы группы , содержащие -абнормальны, т. е. группа не представима в виде произведения
собственных -субнормальных -подгрупп взаимно простых индексов. Получили
противоречие. Теорема доказана.
Напомним,
что формация называется 2-кратно насыщенной,
если она имеет локальный экран такой, что --- насыщенная формация для любого простого
числа из .
Следующая теорема доказана в классе конечных разрешимых групп.
2.2
Теорема [18-A].
Пусть --- наследственная 2-кратно
насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
формация содержит любую группу , где и
--- -субнормальные
-подгруппы из взаимно
простых индексов;
2)
--- формация Шеметкова;
3)
формация содержит любую группу , где и
--- -субнормальные
-подгруппы из ;
4)
.
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть
--- произвольная минимальная не -группа. Рассмотрим случай, когда . Как и в теореме 4.2.1 можно показать, что
либо --- группа простого порядка , где ,
либо , где и
из .
А также нетрудно показать, что --- единственная
минимальная нормальная подгруппа группы .
А это значит, что 
. Пусть --- максимальный внутренний локальный экран
формации . Если 
,
то из полноты экрана следует, что 
. Так как ---
внутренний экран, то 
. А это значит, что . Противоречие. Итак, 
.
Покажем,
что 
. Предположим, что это не так. Тогда в найдется неединичная собственная подгруппа . Рассмотрим подгруппу 
. Так как ---
минимальная не -группа и --- собственная подгруппа , то 
.
Покажем, что 
. Если это не так, то в существует неединичная нормальная -подгруппа .
Тогда 
. Так как ,
то 
, что невозможно. Согласно лемме 2.2.12, 
. Отсюда 
.
Так как 
, то 
.
А это значит, что 
. Так как --- насыщенная формация, то 
. Следовательно, 
,
что невозможно. Итак, , значит, --- группа Шмидта. Итак, --- группа Шмидта. По лемме 3.1.1, --- группа Шмидта.
Тот
факт, что из 2) 
3) следует из теоремы
2.2.19; 3) 4) следует из теоремы 2.2.10; 4) 1) следует из теоремы 2.2.10. Теорема
доказана.
Очевидно,
что любая сверхрадикальная формация содержит любую
группу , где и
-субнормальны в и принадлежат и
имеют взаимно простые индексы в .
Следующий
пример показывает, что существует несверхрадикальная наследственная насыщенная
формация , содержащая любую группу , где и
-субнормальны в и принадлежат и
имеют взаимно простые индексы в .
2.3
Пример.
Пусть --- формация всех сверхразрешимых
групп, а 
--- формация всех -групп, где 
,
и --- различные
простые числа. Рассмотрим формацию 
. Так как
существуют минимальные не -группы, которые
не являются либо группой Шмидта, либо группой простого порядка, то не является формацией Шеметкова. Так как 
, то согласно теореме 3.3.9, формация не является сверхрадикальной формацией.
С
другой стороны хорошо известно, что любая минимальная несверхразрешимая группа -замкнута, где . Очевидно, что любая минимальная не -группа является
либо группой простого порядка, либо бипримарной -замкнутой
группой, где . Теперь из теоремы 4.2.1 следует,
что содержит любую группу , где ,
и принадлежат и и --- субнормальны в .
Заключение
В главе 1 доказаны леммы, которые используются для доказательства основных результатов главы 2.
В
главе 2 важную роль сыграл метод экстремальных классов, разработанный в работе
Картера, Фишера, Хоукса [55] и метод критических групп, разработанный В.Н.
Семенчуком в работе [19]. С помощью этих методов в классе конечных разрешимых
групп получено описание наследственных насыщенных формаций , содержащих любую группу , где ,
и принадлежат и и --- -субнормальны
в , теорема 2.1 .
Доказано,
что любая разрешимая --- наследственная
2-кратно насыщенная формация, обладающая отмеченным выше свойством, является
сверхрадикальной, теорема 2.2 .
Список использованных источников
1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1990. -- Вып. 5. -- С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. -- Киев, 1993. -- С. 27--54.
3. Васильев, А.Ф. О
влиянии примарных -субнормальных подгрупп на
строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во
обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.:
Л.А. Шеметков [и др.]. -- Гомель, 1995. -- Вып. 8. -- С. 31--39.
4. Васильева, Т.И. О
конечных группах с -достижимыми силовскими
подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. -- Гомель, 2006. -- 18 с. --
(Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).
5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. -- 1989. -- Т. 46, № 3. -- С. 32--37.
6. Казарин, Л.С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. -- 1980. -- Т. 44, № 2. -- С. 288--308.
7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. -- 1983. -- Т. 269, № 3. -- С. 528--531.
8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников // Матем. заметки. -- 1993. -- Т. 53, № 2. -- С. 71--77.
9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. -- 1994. -- Т. 35, № 4. -- С. 801--812.
10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. -- Новосибирск, 1992. -- 172 с.
11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. -- Новосибирск, 1999. -- 146 с.
12. Легчекова, Е.В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В. Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. -- 2007. -- Т. 51, № 1. -- С. 27--33.
13. Монахов, В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные группы. -- 1975. -- С. 70--100.
14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1985. -- Вып. 1. -- С. 54--57.
15. Мокеева, С.А.
Конечные группы с перестановочными -субнормальными (-достижимыми) подгруппами / С.А. Мокеева. --
Гомель, 2003. -- 25 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; №
56).
16. Прокопенко, А.И. О
конечных группах с -достижимыми силовскими
подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф.
Скорины. -- 2004. -- № 6 (27). -- С. 101--103.
17. Семенчук, В.Н. О
минимальных не -группах / В.Н. Семенчук
// ДАН БССР. -- 1978. -- № 7. -- С. 596--599.
18. Семенчук, В.Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1979. -- № 1. -- С. 11--15.
19. Семенчук, В.Н.
Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук //
Алгебра и логика. -- 1979. -- Т. 18, № 3. -- С. 348--382.
20. Семенчук, В.Н.
Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп
/ В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики
АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1981. -- С. 138--149.
21. Семенчук, В.Н.
Минимальные не 
-группы / В.Н. Семенчук //
Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т
математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 170--175.
22. Семенчук, В.Н.
Характеризация локальных формаций по заданным
свойствам минимальных не -групп / В.Н.
Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения
конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984.
-- С. 175--181.
23. Семенчук, В.Н.
Описание разрешимых минимальных не -групп для
произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. --
1988. -- Т. 43, № 4. -- С. 251--260.
24. Семенчук, В.Н. О
разрешимых минимальных не -группах / В.Н.
Семенчук // Вопросы алгебры. -- Минск: Университетское, 1987. -- Вып. 3. -- С.
16--21.
25. Семенчук, В.Н. Роль
минимальных не -групп в теории формаций /
В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1991. -- Т. 98, № 1. -- С. 110--115.
26. Семенчук, В.Н.
Конечные группы с -абнормальными или -субнормальными подгруппами / В.Н. Семенчук
// Матем. заметки. -- 1994. -- Т. 56, № 6. -- С. 111--115.
27. Семенчук, В.Н. Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. -- 1995. -- Т. 36, № 4. -- С. 861--872.
28. Семенчук, В.Н.
Разрешимые -радикальные формации / В.Н.
Семенчук // Матем. заметки. -- 1996. -- Т. 59, № 2. -- С. 261--266.
29. Семенчук, В.Н. Об одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. -- 1996. -- № 3. -- С. 25--29.
30. Семенчук, В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- 1997. -- № 11. -- С. 109--115.
31. Семенчук, В.Н.,
Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не -групп
/ В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. -- 1998. -- № 4 (431). --
С. 1--4.
32. Семенчук, В.Н. Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 1999. -- № 1 (15). -- С. 153--162.
33. Семенчук, В.Н. Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН Беларуси. -- 2000. -- Т. 44, № 5. -- С. 24--26.
34. Семенчук, В.Н.
Конечные группы, факторизуемые -достижимыми
подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та
им. Ф. Скорины. -- 2002. -- № 5 (14). -- С. 47--49.
35. Скиба, А.Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. -- 1990. -- Т. 34, № 11. -- С. 382--385.
36. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. -- Минск: Беларуская навука, 1997. -- 240 с.
37. Старостин, А.И. О минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем. заметки. -- 1968. -- Т. 3, № 1. -- С. 33--37.
38. Тютянов, В.Н.
Факторизации -нильпотентными сомножителями /
В.Н. Тютянов // Матем. сб. -- 1996. -- Т. 187, № 9. -- С. 97--102.
39. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1929. -- Т. 36, № 2. -- С. 135--137.
40. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1933. -- Т. 40, № 1. -- С. 39--41.
41. Чунихин, С.А. О группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1938. -- Т. 4 (46), № 3. -- С. 521--530.
42. Чунихин, С.А. О существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по теории групп. -- ГОНТИ, М.--Л. -- 1938. -- С. 106--125.
43. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. -- Минск: Наука и техника, 1964. -- 158 с.
44. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. -- М.: Наука, 1978. -- 272 с.
45. Шеметков, Л.А. Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1981. -- Т. 25, № 8. -- С. 677--680.
46. Шеметков, Л.А. О произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1984. -- Т. 28, № 2. -- С. 101--103.
47. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. -- М.: Наука, 1989. -- 256 с.
48. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. -- 1924. -- Т. 31, № 3. -- С. 366--372.
49.
Ballester-Bolinches, A. On the lattice of -subnormal
subgroups / A. Ballester-Bolinches, К.
Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1992. -- Vol. 148, № 2. -- P. 42--52.
50.
Ballester-Bolinches, A. On -critical groups
/ A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1995. -- Vol. 174.
-- P. 948--958.
51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1996. -- Vol. 179. -- P. 905--917.
52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. -- Springer, 2006. -- 385 p.
53. Bryce, R.A. Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. -- 1972. -- Bd. 127, № 3. -- S. 217--233.
54. Carter, R.O.
The -normalizers of a finite soluble group / R.
Carter, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1967. -- Vol. 5, № 2. -- Р.
175--202.
55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1968. -- Vol. 9, № 3. -- P. 285--313.
56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. -- 1966. -- Vol. 91. -- P. 198--205.
57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. -- Berlin -- New York: Walter de Gruyter, 1992. -- 891 p.
58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. -- 1983. -- Vol. 80, № 2. -- P. 517--536.
59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. -- 1963. -- Vol. 80, № 4. -- P. 300--305.
60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. -- Dordrecht -- Boston -- London: Kluwer Academic Publishers, 2000. -- 257 p.
61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // J. Algebra. -- 2007. -- Vol. 315. -- P. 31--41.
62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1928. -- Vol. 3. -- P. 98--105.
63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1937. -- Vol. 43. -- P. 316--323.
64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. -- 1970. -- Vol. 117. -- P. 177--182.
65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math. Z. -- 1954. -- Vol. 60. -- P. 409--434.
66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. -- 1951. -- Vol. 1--2. -- P. 1--6.
67. Kazarin, L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. -- 1986. -- Vol. 14, № 6. -- P. 1001--1066.
68. Kegel, O.H. Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. -- 1961. -- Vol. 12, № 2. -- P. 90--93.
69. Kegel, O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. -- 1978. -- Bd. 30, № 3. -- S. 225--228.
70. Miller, G.A. Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1903. -- Vol. 4. -- P. 398--404.
71. Semenchuk,
V.N. Finite groups with permutable -subnormal and -accessible subgroups / V.N. Semenchuk, S.A.
Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August
4--9. -- 2003. -- P. 153--154.
72. Thompson, J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G. Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1968. -- Vol. 74. -- P. 383--437.
73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1939. -- Bd. 45. -- S. 209--244.
74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1958. -- Bd. 69, № 8. -- S. 463--465.
75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. -- 1958. -- Vol. 2, № 4B. -- P. 611--618.