Курсовая работа: Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения F-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое простое число

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП , ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ -ПОДГРУПП, ИНДЕКСЫ КОТОРЫХ НЕ ДЕЛЯТСЯ НА НЕКОТОРОЕ ПРОСТОЕ ЧИСЛО

Исполнитель:

Студентка группы М-53  Вакрилова Л.М.

Научный руководитель:

доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.

Гомель 2009

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

1 Описание -формаций Шеметкова

2 Описание -формаций Шеметкова

3 Критерий принадлежности групп, факторизуемых подгруппами, индексы которых не делятся на некоторое простое число, наследственно насыщенным формациям

Заключение

Список использованных источников

Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].

 --- множество всех натуральных чисел;

 --- множество всех простых чисел;

 --- некоторое множество простых чисел, т. е. ;

--- дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число --- любое число вида .

Буквами  обозначаются простые числа.

Пусть  --- группа. Тогда:

 --- порядок группы ;

--- множество всех простых делителей порядка группы ;

-группа --- группа , для которой ;

-группа --- группа , для которой ;

 --- коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

 --- подгруппа Фиттинга группы , т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

 --- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;

 --- подгруппа Фраттини группы , т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

 --- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;

 --- -холлова подгруппа группы ;

 --- силовская -подгруппа группы ;

 --- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т. е. -холлова подгруппа группы ;

 --- нильпотентная длина группы ;

 --- -длина группы ;

 --- минимальное число порождающих элементов группы ;

 --- цоколь группы , т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы ;

 --- циклическая группа порядка .

Если  и  --- подгруппы группы , то :

 ---  является подгруппой группы ;

 ---  является собственной подгруппой группы ;

 ---  является нормальной подгруппой группы ;

--- ядро подгруппы  в группе , т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с  в ;

 --- нормальное замыкание подгруппы  в группе , т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с  подгруппами группы ;

 --- индекс подгруппы  в группе ;

;

 --- нормализатор подгруппы  в группе ;

 --- централизатор подгруппы  в группе ;

 --- взаимный коммутант подгрупп  и ;

 --- подгруппа, порожденная подгруппами  и .

Минимальная нормальная подгруппа группы  --- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы ;

 ---  является максимальной подгруппой группы .

Если  и  --- подгруппы группы , то:

 --- прямое произведение подгрупп  и ;

 --- полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы ;

 ---  и  изоморфны;

 --- регулярное сплетение подгрупп  и .

Подгруппы  и  группы  называются перестановочными, если .

Группу  называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы  нормальна в ;

-нильпотентной, если -холлова подгруппа группы  нормальна в ;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой; нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны; разрешимой, если существует номер  такой, что ; сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.

-замкнутая группа --- группа, обладающая нормальной холловской -подгруппой.

-специальная группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой.

-разложимая группа --- группа, являющаяся одновременно -специальной и -замкнутой.

Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе  группы  называется такая подгруппа  из , что

.

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.

Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп

 называется:

субнормальным, если  для любого ;

нормальным, если  для любого ;

главным, если  является минимальной нормальной подгруппой в  для всех .

Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой  и все ей изоморфные группы.

-группа --- группа, принадлежащая классу групп .

Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Если  --- класс групп, то:

 --- множество всех простых делителей порядков всех групп из ;

 --- множество всех тех простых чисел , для которых ;

 --- формация, порожденная классом ;

 --- насыщенная формация, порожденная классом ;

 --- класс всех групп , представимых в виде

где , ;

;

 --- класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих , но все собственные подгруппы которых принадлежат ;

 --- класс всех -групп из ;

 --- класс всех конечных групп;

 --- класс всех разрешимых конечных групп;

 --- класс всех -групп;

 --- класс всех разрешимых -групп;

 --- класс всех разрешимых -групп;

 --- класс всех нильпотентных групп;

 --- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной .

Если  и  --- классы групп, то:

.

Если  --- класс групп и  --- группа, то:

 --- пересечение всех нормальных подгрупп  из  таких, что ;

 --- произведение всех нормальных -подгрупп группы .

Если  и  --- формации, то:

 --- произведение формаций;

 --- пересечение всех -абнормальных максимальных подгрупп группы .

Если  --- насыщенная формация, то:

 --- существенная характеристика формации .

-абнормальной называется максимальная подгруппа  группы , если , где  --- некоторая непустая формация.

-гиперцентральной подгруппой в  называется разрешимая нормальная подгруппа  группы , если  обладает субнормальным рядом  таким, что

(1) каждый фактор  является главным фактором группы ;

(2) если порядок фактора  есть степень простого числа , то .

 --- -гиперцентр группы ,

Известно, что любая конечная группа вида , где  и  --- -замкнутые подгруппы и индексы ,  не делятся на некоторое простое число , является -замкнутой.

В работе [38] В.Н. Тютянов доказал, что любая конечная группа вида , где  и  --- -нильпотентные подгруппы и индексы ,  не делятся на некоторое простое число , является -нильпотентной группой.

В связи с этим результатом можно сформулировать следующую проблему.

Проблема. Классифицировать наследственные насыщенные формации , содержащие любую группу , где  и  принадлежат  и  содержит некоторую силовскую подгруппу группы .

В данной главе в классе разрешимых групп для наследственной формации Фиттинга  данная проблема решена полностью.

1. Описание -формаций Шеметкова

Важную роль при получении основных результатов данной главы сыграли формации Шеметкова, т. е. такие формации , у которых любая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.

Впервые наследственные насыщенные разрешимые формации Шеметкова были описаны в работе [22]. Затем в работах [9] и [50, 51] были описаны произвольные наследственные насыщенные формации Шеметкова.

Определение. Формация  называется -формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа --- либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой.

Приведем пример -формаций Шеметкова.

1.1 Пример. Если  --- формация всех -нильпотентных групп, то  --- -формация Шеметкова.

Пусть  --- произвольная минимальная не -группа. Известно, что группа  является разрешимой. Покажем, что  является группой Шмидта с нормальной -силовской подгруппой. Так как  не -нильпотентная группа, то . Пусть . Согласно теореме 2.2.5, , где  --- единственная минимальная нормальная подгруппа,  --- примарная -группа, , где  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что . Действительно, если , то из того факта, что  -нильпотентна, а значит и  так же -нильпотентна, следует, что  -нильпотентна, что невозможно. Известно, что формацию  можно представить в виде . Согласно лемме 2.2.20, . Очевидно, что любая минимальная не -группа есть группа простого порядка . Итак,  --- группа Шмидта. Пусть . Выше показано, что  --- группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой. Теперь, в виду леммы 2.2.2 и леммы 4.1.1,  является группой Шмидта с нормальной -силовской подгруппой. А это значит, что  --- -формация Шеметкова.

1.2 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть , ,  --- непустые формации. Тогда .

Доказательство. Пусть  --- произвольная группа из . Тогда . Отсюда следует, что  и . А это значит, что .

Пусть  --- произвольная группа из . Отсюда следует, что  и . Тогда  и . Итак, . А это значит, что . Лемма доказана.

Пусть  --- насыщенная формация, а  --- ее максимальный внутренний локальный экран,  --- характеристика формации . Обозначим через  --- множество простых чисел из  таких, что , где  --- простое число из .

1.3 Лемма. Пусть  --- насыщенная формация,  --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда

Доказательство. Известно, что для любой насыщенной формации  справедливо следующее равенство

Отсюда следует, что

По лемме 5.1.2,

Лемма доказана.

1.4 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)  --- -формация Шеметкова;

2) , где  и .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Из леммы 5.1.3 следует, что любую насыщенную формацию можно представить в виде

где  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что если  --- -формация Шеметкова, то

Действительно, очевидно, что

Покажем обратное включение. Пусть  --- группа наименьшего порядка из

Так как  --- наследственная формация, то .

Так как  --- насыщенная формация, то . Нетрудно показать, что  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и . Согласно условию,  либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой.

Пусть . Так как , то . Отсюда следует, что . Противоречие.

Пусть  --- группа Шмидта и , где . Очевидно, что . Тогда из  следует, что . А это значит, что . Так как , то . Но тогда . Так как  --- полный экран, то . Так как  --- внутренний экран, то . Получили противоречие.

Покажем, что из 2) следует 1).

Пусть . Согласно условию,  --- разрешимая группа. Пусть . Очевидно, что  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем  --- -группа и . Согласно теореме 2.2.5, , где ,  --- полный локальный экран формации . Согласно лемме 2.2.20, . А это значит, что , где . Отсюда нетрудно заметить, что  --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21,  --- либо группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой, либо группа простого порядка. Теорема доказана.

1.5 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Тогда  содержит любую -разрешимую группу , где  и  --- -подгруппы и индексы ,  не делятся на .

Доказательство. Доказательство проведем от противного. Тогда нетрудно доказать, что  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем  и . Так как  --- -разрешимая группа, то либо  --- -группа, либо -группа. Если  --- -группа, то из того, что  следует, что . Противоречие.

Пусть  --- -группа. Согласно условию,  и . Так как  и , то . Отсюда следует, что . Аналогичным образом получаем, что . Отсюда и группа . А это значит, что . Получили противоречие. Теорема доказана.

В работе [33] было доказано, что любая наследственная насыщенная формация Шеметкова  замкнута относительно произведения -субнормальных -подгрупп. Для наследственных насыщенных -формаций Шеметкова справедлива следующая теорема.

1.6 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Тогда  содержит любую группу , где  и  --- -подгруппы, индексы ,  не делятся на  и либо , либо  -субнормальны в .

Доказательство. Пусть  --- наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Тогда, согласно теореме 5.1.4, она имеет следующее строение:

где  --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .

Пусть  --- группа наименьшего порядка, не принадлежащая , такая, что , где  и  --- -подгруппы, индексы ,  не делятся на  и  -субнормальна в .

Нетрудно показать, что  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу .

Так как  --- насыщенная формация, то .

Пусть  --- абелева группа и  --- -группа. Если , то из того факта, что , следует, что . Противоречие.

Если  --- -группа, то, как и в теореме 5.1.5, можно показать, что . Противоречие.

Пусть  --- неабелева группа. В этом случае

z\ неабелевых простых групп и .

Рассмотрим подгруппу . Так как  --- собственная -субнормальная подгруппа группы  и , то нетрудно показать, что . Рассмотрим подгруппу . По тождеству Дедекинда

Очевидно, что  --- -субнормальная подгруппа . Так как  --- наследственная формация и , то . Очевидно, что индексы ,  не делятся на . Тогда по индукции, . Если , то . Получили противоречие. Значит, . Так как  --- нормальная подгруппа из , то  --- нормальная подгруппа из . Но тогда

где  --- изоморфные неабелевы простые группы, . Так как  и  --- наследственная формация, то . Отсюда нетрудно показать, что . Если  делится на , то из того, что ,  следует, что  --- нормальная подгруппа группы . Противоречие. Если  --- -группа, то ясно, что . Противоречие. Теорема доказана.

Введем следующее определение.

Определение. Формация  называется -формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа --- либо группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой, либо группа простого порядка.

Приведем пример -формаций Шеметкова.

2.1 Пример. В классе конечных разрешимых групп формация всех -замкнутых групп  является -формацией Шеметкова.

Действительно. Пусть  --- произвольная минимальная не -группа. Так как  не -замкнута, то . Пусть . Согласно теореме 2.2.5, , где  --- единственная минимальная нормальная подгруппа из ,  --- -группа, , где  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что . Действительно, в противном случае, из того факта, что  -замкнута и  -замкнута, следует, что  -замкнута. Получаем противоречие. Известно, что формацию  можно представить в виде . Согласно лемме 2.2.20, формация  имеет максимальный внутренний локальный экран такой, что . Очевидно, что любая минимальная не -группа есть группа простого порядка . Итак,  --- группа Шмидта с ненормальной циклической подгруппой простого порядка . Пусть . Выше показано, что  --- группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой. Согласно лемме 3.1.1,  --- группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой. Итак,  --- -формация Шеметкова.

2.2 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)  --- -формация Шеметкова;

2) , где  и .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Ясно, что формация  является формацией Шеметкова. Тогда, согласно лемме 2.2.22, эта формация имеет следующее строение:

где  --- максимальный внутренний локальный экран . Вначале докажем, что , где  --- любое простое число из . Предположим, что это не так. Тогда найдется простое число , но . Обозначим через  группу простого порядка . Очевидно, что  и . Так как , то существует точный неприводимый -модуль , где  --- поле из  элементов. Пусть . Покажем, что . Так как  точен, то . Так как , то, очевидно, что . Пусть  --- произвольная максимальная подгруппа из . Так как  и , то нетрудно заметить, что . Итак, . Так как , то это невозможно ввиду того, что  --- -формация Шеметкова. Итак,  для любого  из . Отсюда, в частности, следует, что . Учитывая данные факты, нетрудно показать, что равенство (5.1) принимает следующий вид:

Используя лемму 5.1.2, равенство (5.2) приводится к виду:

где  --- некоторое множество простых чисел, содержащее число .

Покажем, что из 2) следует 1).

Действительно, что  --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию,  разрешима. Пусть . Согласно теореме 2.2.5, , где  --- единственная минимальная нормальная подгруппа,  --- -группа и , где  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Если , то из того факта, что , следует, что . Получили противоречие. Тогда . Согласно лемме 2.2.20, насыщенная формация  имеет полный локальный экран  такой, что . Очевидно, что . Так как , то очевидно, что . Итак, любая минимальная не -группа  с  либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с ненормальной -силовской подгруппой. Согласно лемме 2.2.21, это же верно, когда . Итак,  --- -формация Шеметкова. Теорема доказана.

2.3 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Формация  содержит любую разрешимую группу , где  и  --- -подгруппы и индексы ,  не делятся на , только в том случае, когда  --- формация -замкнутых групп.

Доказательство. Пусть  --- -формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:

где . Если , то  --- формация -замкнутых групп. Так как индексы ,  не делятся на , то  и  содержат силовскую -подгруппу группы . По условию,  и  -замкнуты. Отсюда следует, что  -замкнута. Пусть множество  содержит простое число . Покажем, что в этом случае утверждение леммы неверно. Пусть  --- группа порядка . Пусть  --- простое число, отличное от  и . Так как , то существует точный неприводимый -модуль , где  --- поле из  элементов. Пусть . Так как  и  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то согласно лемме 2.2.18, существует точный неприводимый -модуль , где  --- поле из  элементов. Пусть . Так как , то, как и выше, существует точный неприводимый -модуль , где  --- поле из  элементов. Пусть .

Рассмотрим следующие две подгруппы:  и . Ясно, что . Подгруппы  и  -замкнуты, причем индексы ,  не делятся на . Если бы группа  была бы -замкнута, то тогда  была бы нормальной подгруппой в группе , что невозможно. Итак, утверждение леммы верно только тогда, когда . Лемма доказана.

2.4 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть  --- -разрешимая группа, , где , , индексы ,  не делятся на . Тогда .

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по порядку . Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа . Так как  --- -разрешимая группа, то  либо -группа, либо -группа. Если  --- -группа, то . Согласно индукции, . Получили противоречие.

Пусть  --- -группа. Так как ,  не делятся на , то . Так как  --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы  и , то . Рассмотрим подгруппу . Так как ,  --- -группа, , то нетрудно показать, что  --- -группа. Так как , то  --- -замкнутая группа. Аналогичным образом можно доказать, что  --- -замкнутая группа. Отсюда следует, что  --- -замкнутая группа. А это значит, что . Получим противоречие. Лемма доказана.

В данном разделе в классе разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга , содержащих любую разрешимую группу , где  и  --- -подгруппы и индексы ,  не делятся на некоторое фиксированное простое число .

3.1 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная формация, содержащая любую разрешимую группу , где  и  --- -подгруппы и индексы ,  не делятся на некоторое фиксированное простое число . Тогда любая разрешимая минимальная не -группа  принадлежит одному из следующих типов:

1)  --- группа простого порядка , где ;

2)  --- группа Шмидта;

3) , где , где  --- максимальный внутренний локальный экран формации ,  --- простое число отличное от ;

4) , , , где  --- -замкнутая группа, , где  --- максимальный внутренний локальный экран формации ,  --- простое число отличное от .

Доказательство. Пусть  --- произвольная разрешимая минимальная не -группа. Если , то нетрудно показать, что  --- группа простого порядка , причем .

Пусть . Покажем, что  --- бипримарная -подгруппа. Действительно, если  --- примарная группа, то из насыщенности формации  следует, что . Противоречие. Пусть . Так как  --- разрешимая группа, то нетрудно показать, что , где , индексы ,  не делятся на . Согласно условию, . Получили противоречие. Итак, .

Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа . Если  --- -группа, то . Рассмотрим случай, когда . Покажем, что в этом случае  --- группа Шмидта. Вначале докажем, что  --- циклическая группа. Действительно, в противном случае , где  и  --- максимальные подгруппы . Тогда . Так как ,  не делятся на , , то . Противоречие. Итак,  --- циклическая группа, . Пусть . Покажем, что . Предположим противное. Пусть , где . Пусть  и  --- циклические группы соответственно порядков  и . Обозначим через  регулярное сплетение . И пусть  --- база сплетения, т. е. . Так как некоторая подгруппа группы  изоморфна , то . Очевидно, что подгруппы ,  принадлежат формации .

Пусть , где . Обозначим через  базу сплетения . Тогда

Легко видеть, что .

Так как индексы  и  не делятся на , то . Но , и поэтому

Полученное противоречие показывает, что . Итак, доказали, что  --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21,  --- группа Шмидта. Следовательно,  --- группа типа 2).

Пусть  --- -группа и . Пусть . Тогда, согласно теореме 2.2.5, , где , ,  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Так как , то  --- -группа. Пусть . Тогда рассмотрим подгруппу . Так как  --- собственная подгруппа , то . Так как , то  не делится на . Так как  --- разрешимая группа, то . Но тогда в  существует максимальная подгруппа  такая, что . Рассмотрим подгруппу . Так как  --- собственная подгруппа , то . Нетрудно заметить, что  не делится на  и . Теперь, согласно условию, . Получили противоречие. Итак, доказали, что , то есть  --- -замкнутая группа. Итак,  -- группа типа 4).

Пусть теперь  --- -группа. Тогда . Покажем, что . Предположим, что . Пусть . Тогда в  найдется максимальная подгруппа  такая, что . Рассмотрим подгруппу . Так как  и  --- собственные подгруппы , то они принадлежат . Очевидно, что ,  не делятся на  и . Тогда, согласно условию, . Противоречие. Отсюда следует, что  --- -замкнутая, но тогда  --- -замкнута. Тот факт, что  ( --- максимальный внутренний локальный экран ) следует из теоремы 2.2.5. Итак,  --- группа типа 3). Лемма доказана.

3.2 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть  --- тотально насыщенная формация, содержащая любую разрешимую группу , где  и  --- -подгруппы и индексы ,  не делятся на некоторое фиксированное простое число . Тогда любая разрешимая минимальная не -группа  принадлежит одному из следующих типов:

1)  --- группа простого порядка , где ;

2)  --- группа Шмидта;

3)  --- группа Шмидта;

4) , где  и , где  --- группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой,  --- простое число отличное от .

Доказательство. Согласно лемме 5.3.1, любая минимальная не -группа  есть группа типа 1) -- 4) из леммы 5.3.1.

Пусть  --- группа типа 3) из леммы 5.3.1. Тогда . Пусть  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Так как  --- тотально насыщенная формация, то  --- насыщенная формация. Согласно лемме . Пусть . Так как  --- насыщенная формация, то , что невозможно. Итак, . А это значит, что  --- группа простого порядка . Но тогда нетрудно заметить, что  --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21,  --- группа Шмидта.

Пусть  --- группа типа 4) из леммы 5.3.1. Тогда

где . Покажем, что  --- группа Шмидта. Так как  --- тотально насыщенная формация, то  --- насыщенная формация. В виду леммы 2.2.21, при доказательстве утверждений, можем считать, что . Пусть  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно теореме 2.2.5,

где .

Так как  --- тотально насыщенная формация, то  является насыщенной формацией. Как и выше, нетрудно доказать, что . Отсюда следует, что  --- группа Шмидта. Лемма доказана.

3.3 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть  --- наследственная разрешимая формация Фиттинга,  --- некоторое фиксированное простое число. Тогда и только тогда  содержит любую разрешимую группу , где  и  --- -подгруппы и индексы ,  не делятся на некоторое простое число , когда  есть пересечение некоторых классов групп одного из следующих типов:

1) класс всех разрешимых -замкнутых групп;

2) класс всех разрешимых групп с -длиной ;

3) класс всех разрешимых групп  таких, что  --- -группа, где  --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .

Доказательство. Необходимость. Согласно результатам работы [33]  является тотально насыщенной формацией. Теперь можно применить результаты леммы 5.3.2.

Пусть любая минимальная не -группа есть группа типа 1), 2) из леммы 5.3.2. Тогда  является -формацией Шеметкова. Согласно теореме 5.1.4 , где  --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .

Пусть любая минимальная не -группа является группой типа 1), 3). Тогда  --- -формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:

где  --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число . Согласно лемме 5.2.3, . А это значит, что .

Пусть любая минимальная не -группа --- группа типа 1), 4). Пусть  --- максимальный внутренний локальный экран формации .

Известно, что

Покажем, что для любого простого числа  из , отличного от , . Предположим противное. Пусть  --- группа наименьшего порядка из . Так как  --- наследственная формация, то . Так как  --- тотально насыщенная формация, то  --- насыщенная формация. Отсюда нетрудно показать, что . Очевидно, что  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем . Так как  --- полный экран, то . А значит,  --- -группа, где .

Согласно лемме 2.2.18, существует точный неприводимый -модуль , где  --- поле из  элементов. Пусть . Покажем, что . Так как  точен, то . Так как , то очевидно, что . Пусть  --- произвольная максимальная подгруппа из . Если , то . Отсюда следует, что . А значит, . Пусть . Тогда , где  --- некоторая максимальная подгруппа из . Так как , то . Так как , то из полноты экрана  следует, что . Так как  --- внутренний экран, то . Итак, . Последнее противоречит тому, что  --- группа типа 4) из леммы 5.3.2.

Итак,  для любого  из . Тогда

Отсюда нетрудно заметить, что

Рассмотрим насыщенную формацию . Так как любая минимальная не -группа либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой, то  --- -формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2,

где  --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число . Следовательно,

Как и в лемме 5.2.3 можно показать, что . Итак,  --- формация из пункта 3).

Нетрудно показать, что формация , у которой любая минимальная не -группа есть группа одного из типов 1), 2), 3), 4) леммы 5.3.2, есть пересечение некоторых формаций из пунктов 1), 2), 3) данной теоремы.

Достаточность следует из теоремы 5.1.5 и леммы 5.2.4. Теорема доказана.

В главе 1 получено описание наследственных насыщенных -формаций Шеметкова, теорема 1.4 , и найден ряд свойств таких формаций, теорема 1.6 .

В главе 2 получено описание наследственных насыщенных -формаций Шеметкова, теорема 2.2 .

В главе 3 в классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга , замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число, теорема 3.3 .

1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1990. -- Вып. 5. -- С. 39--45.

2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. -- Киев, 1993. -- С. 27--54.

3. Васильев, А.Ф. О влиянии примарных -субнормальных подгрупп на строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Гомель, 1995. -- Вып. 8. -- С. 31--39.

4. Васильева, Т.И. О конечных группах с -достижимыми силовскими подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. -- Гомель, 2006. -- 18 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).

5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. -- 1989. -- Т. 46, № 3. -- С. 32--37.

6. Казарин, Л.С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. -- 1980. -- Т. 44, № 2. -- С. 288--308.

7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. -- 1983. -- Т. 269, № 3. -- С. 528--531.

8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников // Матем. заметки. -- 1993. -- Т. 53, № 2. -- С. 71--77.

9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. -- 1994. -- Т. 35, № 4. -- С. 801--812.

10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. -- Новосибирск, 1992. -- 172 с.

11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. -- Новосибирск, 1999. -- 146 с.

12. Легчекова, Е.В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В. Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. -- 2007. -- Т. 51, № 1. -- С. 27--33.

13. Монахов, В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные группы. -- 1975. -- С. 70--100.

14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1985. -- Вып. 1. -- С. 54--57.

15. Мокеева, С.А. Конечные группы с перестановочными -субнормальными (-достижимыми) подгруппами / С.А. Мокеева. -- Гомель, 2003. -- 25 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 56).

16. Прокопенко, А.И. О конечных группах с -достижимыми силовскими подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2004. -- № 6 (27). -- С. 101--103.

17. Семенчук, В.Н. О минимальных не -группах / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1978. -- № 7. -- С. 596--599.

18. Семенчук, В.Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1979. -- № 1. -- С. 11--15.

19. Семенчук, В.Н. Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук // Алгебра и логика. -- 1979. -- Т. 18, № 3. -- С. 348--382.

20. Семенчук, В.Н. Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп / В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1981. -- С. 138--149.

21. Семенчук, В.Н. Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 170--175.

22. Семенчук, В.Н. Характеризация локальных формаций  по заданным свойствам минимальных не -групп / В.Н. Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 175--181.

23. Семенчук, В.Н. Описание разрешимых минимальных не -групп для произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1988. -- Т. 43, № 4. -- С. 251--260.

24. Семенчук, В.Н. О разрешимых минимальных не -группах / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- Минск: Университетское, 1987. -- Вып. 3. -- С. 16--21.

25. Семенчук, В.Н. Роль минимальных не -групп в теории формаций / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1991. -- Т. 98, № 1. -- С. 110--115.

26. Семенчук, В.Н. Конечные группы с -абнормальными или -субнормальными подгруппами / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1994. -- Т. 56, № 6. -- С. 111--115.

27. Семенчук, В.Н. Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. -- 1995. -- Т. 36, № 4. -- С. 861--872.

28. Семенчук, В.Н. Разрешимые -радикальные формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1996. -- Т. 59, № 2. -- С. 261--266.

29. Семенчук, В.Н. Об одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. -- 1996. -- № 3. -- С. 25--29.

30. Семенчук, В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- 1997. -- № 11. -- С. 109--115.

31. Семенчук, В.Н., Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не -групп / В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. -- 1998. -- № 4 (431). -- С. 1--4.

32. Семенчук, В.Н. Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 1999. -- № 1 (15). -- С. 153--162.

33. Семенчук, В.Н. Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН Беларуси. -- 2000. -- Т. 44, № 5. -- С. 24--26.

34. Семенчук, В.Н. Конечные группы, факторизуемые -достижимыми подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2002. -- № 5 (14). -- С. 47--49.

35. Скиба, А.Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. -- 1990. -- Т. 34, № 11. -- С. 382--385.

36. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. -- Минск: Беларуская навука, 1997. -- 240 с.

37. Старостин, А.И. О минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем. заметки. -- 1968. -- Т. 3, № 1. -- С. 33--37.

38. Тютянов, В.Н. Факторизации -нильпотентными сомножителями / В.Н. Тютянов // Матем. сб. -- 1996. -- Т. 187, № 9. -- С. 97--102.

39. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1929. -- Т. 36, № 2. -- С. 135--137.

40. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1933. -- Т. 40, № 1. -- С. 39--41.

41. Чунихин, С.А. О группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1938. -- Т. 4 (46), № 3. -- С. 521--530.

42. Чунихин, С.А. О существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по теории групп. -- ГОНТИ, М.--Л. -- 1938. -- С. 106--125.

43. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. -- Минск: Наука и техника, 1964. -- 158 с.

44. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. -- М.: Наука, 1978. -- 272 с.

45. Шеметков, Л.А. Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1981. -- Т. 25, № 8. -- С. 677--680.

46. Шеметков, Л.А. О произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1984. -- Т. 28, № 2. -- С. 101--103.

47. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. -- М.: Наука, 1989. -- 256 с.

48. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. -- 1924. -- Т. 31, № 3. -- С. 366--372.

49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice of -subnormal subgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1992. -- Vol. 148, № 2. -- P. 42--52.

50. Ballester-Bolinches, A. On -critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1995. -- Vol. 174. -- P. 948--958.

51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1996. -- Vol. 179. -- P. 905--917.

52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. -- Springer, 2006. -- 385 p.

53. Bryce, R.A. Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. -- 1972. -- Bd. 127, № 3. -- S. 217--233.

54. Carter, R.O. The -normalizers of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1967. -- Vol. 5, № 2. -- Р. 175--202.

55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1968. -- Vol. 9, № 3. -- P. 285--313.

56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. -- 1966. -- Vol. 91. -- P. 198--205.

57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. -- Berlin -- New York: Walter de Gruyter, 1992. -- 891 p.

58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. -- 1983. -- Vol. 80, № 2. -- P. 517--536.

59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. -- 1963. -- Vol. 80, № 4. -- P. 300--305.

60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. -- Dordrecht -- Boston -- London: Kluwer Academic Publishers, 2000. -- 257 p.

61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // J. Algebra. -- 2007. -- Vol. 315. -- P. 31--41.

62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1928. -- Vol. 3. -- P. 98--105.

63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1937. -- Vol. 43. -- P. 316--323.

64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. -- 1970. -- Vol. 117. -- P. 177--182.

65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math. Z. -- 1954. -- Vol. 60. -- P. 409--434.

66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. -- 1951. -- Vol. 1--2. -- P. 1--6.

67. Kazarin, L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. -- 1986. -- Vol. 14, № 6. -- P. 1001--1066.

68. Kegel, O.H. Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. -- 1961. -- Vol. 12, № 2. -- P. 90--93.

69. Kegel, O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. -- 1978. -- Bd. 30, № 3. -- S. 225--228.

70. Miller, G.A. Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1903. -- Vol. 4. -- P. 398--404.

71. Semenchuk, V.N. Finite groups with permutable -subnormal and -accessible subgroups / V.N. Semenchuk, S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4--9. -- 2003. -- P. 153--154.

72. Thompson, J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G. Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1968. -- Vol. 74. -- P. 383--437.

73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1939. -- Bd. 45. -- S. 209--244.

74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1958. -- Bd. 69, № 8. -- S. 463--465.

75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. -- 1958. -- Vol. 2, № 4B. -- P. 611--618.