Дипломная работа: Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП ,
ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ
-ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-43 МОКЕЕВА О. А.
Научный руководитель:
доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2008
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1 Некоторые базисные леммы
2 Критерий принадлежности факторизуемой группы
классическим классам конечных групп
3 Сверхрадикальные формации
Заключение
Список использованных источников
Перечень условных обозначений
Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
--- множество
всех натуральных чисел;
--- множество
всех простых чисел;
--- некоторое
множество простых чисел, т. е.
;
---
дополнение
к во множестве всех простых
чисел; в частности,
;
примарное
число --- любое число вида .
Буквами
обозначаются простые
числа.
Пусть
--- группа. Тогда:
--- порядок
группы
;
---
множество
всех простых делителей порядка группы ;
-группа ---
группа
, для которой
;
-группа ---
группа
, для которой
;
--- коммутант
группы
, т. е. подгруппа,
порожденная коммутаторами всех элементов группы
;
--- подгруппа
Фиттинга группы
, т. е.
произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы
;
--- наибольшая
нормальная
-нильпотентная подгруппа
группы
;
--- подгруппа
Фраттини группы
, т. е.
пересечение всех максимальных подгрупп группы
;
--- наибольшая
нормальная
-подгруппа группы
;
---
-холлова подгруппа группы
;
--- силовская
-подгруппа группы
;
--- дополнение
к силовской
-подгруппе в группе
, т. е.
-холлова подгруппа группы
;
---
нильпотентная длина группы
;
---
-длина группы
;
--- минимальное
число порождающих элементов группы
;
--- цоколь
группы
, т. е. подгруппа,
порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы
;
--- циклическая
группа порядка
.
Если
и
--- подгруппы группы
, то :
---
является подгруппой группы
;
---
является собственной
подгруппой группы
;
---
является нормальной
подгруппой группы
;
--
-
ядро подгруппы в группе
, т. е. пересечение всех
подгрупп, сопряженных с
в
;
--- нормальное
замыкание подгруппы
в группе
, т. е. подгруппа,
порожденная всеми сопряженными с
подгруппами
группы
;
--- индекс
подгруппы
в группе
;
;
---
нормализатор подгруппы
в группе
;
---
централизатор подгруппы
в
группе
;
--- взаимный
коммутант подгрупп
и
;
--- подгруппа,
порожденная подгруппами
и
.
Минимальная
нормальная подгруппа группы ---
неединичная нормальная подгруппа группы
,
не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы
;
---
является максимальной
подгруппой группы
.
Если
и
--- подгруппы группы
, то:
--- прямое
произведение подгрупп
и
;
--- полупрямое
произведение нормальной подгруппы
и
подгруппы
;
---
и
изоморфны;
--- регулярное
сплетение подгрупп
и
.
Подгруппы
и
группы
называются
перестановочными, если
.
Группу
называют:
-замкнутой, если
силовская
-подгруппа группы
нормальна в
;
-нильпотентной,
если
-холлова подгруппа группы
нормальна в
;
-разрешимой,
если существует нормальный ряд, факторы которого либо
-группы, либо
-группы;
-сверхразрешимой,
если каждый ее главный фактор является либо
-группой,
либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
разрешимой,
если существует номер такой, что
;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.
-замкнутая
группа --- группа, обладающая нормальной холловской
-подгруппой.
-специальная
группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской
-подгруппой.
-разложимая
группа --- группа, являющаяся одновременно
-специальной
и
-замкнутой.
Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением
к подгруппе группы
называется такая подгруппа
из
, что
.
Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд
подгрупп называется:
субнормальным,
если для любого
;
нормальным,
если для любого
;
главным,
если является минимальной
нормальной подгруппой в
для
всех
.
Класс
групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все ей изоморфные
группы.
-группа ---
группа, принадлежащая классу групп
.
Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если
--- класс групп, то:
--- множество
всех простых делителей порядков всех групп из
;
--- множество
всех тех простых чисел
, для которых
;
--- формация,
порожденная классом
;
--- насыщенная
формация, порожденная классом
;
--- класс всех
групп
, представимых в виде
где
,
;
;
--- класс всех
минимальных не
-групп, т. е.
групп не принадлежащих
, но все
собственные подгруппы которых принадлежат
;
--- класс всех
-групп из
;
--- класс всех
конечных групп;
--- класс всех
разрешимых конечных групп;
--- класс всех
-групп;
--- класс всех
разрешимых
-групп;
--- класс всех
разрешимых
-групп;
--- класс всех
нильпотентных групп;
--- класс всех
разрешимых групп с нильпотентной длиной
.
Если
и
--- классы групп, то:
.
Если
--- класс групп и
--- группа, то:
--- пересечение
всех нормальных подгрупп
из
таких, что
;
---
произведение всех нормальных
-подгрупп
группы
.
Если
и
--- формации, то:
---
произведение формаций;
--- пересечение
всех
-абнормальных максимальных
подгрупп группы
.
Если
--- насыщенная формация,
то:
---
существенная характеристика формации
.
-абнормальной
называется максимальная подгруппа
группы
, если
, где
--- некоторая непустая
формация.
-гиперцентральной
подгруппой в
называется разрешимая
нормальная подгруппа
группы
, если
обладает субнормальным
рядом
таким, что
(1)
каждый фактор является главным
фактором группы
;
(2)
если порядок фактора есть степень
простого числа
, то
.
---
-гиперцентр группы
, т. е. произведение всех
-гиперцентральных подгрупп
группы
.
Введение
Вопросы, посвященные факторизации групп, в теории конечных групп занимают важное место. Под факторизацией конечной группы понимается представление ее в виде произведения некоторых еe подгрупп, взятых в определенном порядке, или попарно перестановочных. Исследуются как способы факторизации заданной группы, так и свойства групп, допускающих ту или иную заданную факторизацию.
Начало исследований по факторизации конечных групп восходит к классическим работам Ф. Холла [62, 63], посвященных изучению строения разрешимых групп. Как известно, Ф. Холлом было доказано [63], что конечная разрешимая группа допускает факторизацию при помощи некоторых своих перестановочных силовских подгрупп различных порядков (составляющих так называемую силовскую базу разрешимой группы).
Следующий важный шаг в данном направлении был сделан С.А.Чунихиным, которым был исследован ряд важных арифметических свойств конечных групп [43]. Вопросами факторизации конечных групп занималось много математиков, и развитию данного направления посвящено много научных работ известных математиков.
Кегель и Виландт [68, 75] установили, что конечная группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами разрешима. Теорема Кегеля --- Виландта послужила источником многочисленных обобщений и стимулировала дальнейшее развитие ряда вопросов, связанных с факторизациями конечных групп.
Cреди дальнейших исследований, посвященных факторизации групп, выделяются работы Л.С. Казарина [6, 7, 67], Л.А. Шеметкова [45, 46], В.С. Монахова [13, 14], А.Н. Скибы [12, 61], В.Н. Тютянова [38] и др.
Важную роль для дальнейшего строения факторизуемых групп оказала идея Гашюца о том [59], что внутреннее строение конечной группы удобно исследовать по отношению к некоторому фиксированному классу групп, названному Гашюцем насыщенной формацией.
Напомним, что насыщенной формацией конечных групп называется класс конечных групп, замкнутый относительно гомоморфных образов, подпрямых произведений и фраттиниевых расширений. Такой подход к изучению строения конечных групп привлек внимание многих специалистов по алгебре и исследования, связанные с насыщенными формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории классов групп.
Эффективность метода Гашюца проявилась прежде всего в том, что многие коренные свойства конечных групп имеют инвариантный характер при переходе от одной насыщенной формации к другой.
Известно,
что класс нильпотентных групп замкнут
относительно произведения нормальных подгрупп. В работе [64] Хоуксом была
поставлена задача об описании наследственных разрешимых формаций Фиттинга, т.
е. формаций
, замкнутых относительно
произведения нормальных
-подгрупп.
Брайс и Косси в работе [53] доказали, что любая разрешимая наследственная
формация Фиттинга является насыщенной. Полное решение проблемы Хоукса было
получено В.Н. Семенчуком в работах [27, 30].
Развивая
подход Хоукса, Л.А. Шеметков предложил изучать формации , замкнутые относительно
произведения
-подгрупп, обладающих
некоторыми заданными свойствами. В настоящее время данная тематика активно
развивается математиками Испании, Китая, Беларуси.
В
теории классов конечных групп естественным обобщением понятия субнормальности
является понятие -субнормальности
и
-достижимости. В дальнейшем
такие подгруппы будем нызывать обобщенно субнормальными.
Одной
из первых классификационных проблем данного направления является проблема Л.А.
Шеметкова об описании наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, т.
е. формаций с тем свойством, что любая
группа
, где
и
--
-субнормальные
-подгруппы, принадлежит
.
Данная проблема сразу привлекла пристальное внимание специалистов по теории классов конечных групп. В работе [28] В.Н. Семенчуком в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы. Л.А. Шеметковым и В.Н. Семенчуком в работе [33] найдены серии произвольных наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций.
Известно,
что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения
нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения
нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим
возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно
произведения обобщенно субнормальных (
-субнормальных,
-достижимых)
-подгрупп, индексы которых
взаимно просты.
Классифицировать
наследственные насыщенные формации с тем
свойством, что любая группа
, где
и
---
-субнормальные
-подгруппы взаимно простых
индексов, принадлежит
.
В
1996 году В.Н. Тютянов в работе [38] доказал, что любая конечная группа вида , где
и
---
-нильпотентные подгруппы и
индексы
,
не делятся на некоторое
простое число
, является
-нильпотентной группой.
Естественно
возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно
произведения
-подгрупп, индексы которых
не делятся на некоторое фиксированное простое число.
В
попытках решения этих и других классификационных проблем выявилась особая роль критических
групп формации ( минимальных не
-групп), т. е. групп, не
принадлежащих некоторому классу групп
,
но все собственные подгруппы которых принадлежат
.
Еще в 1933 году С.А. Чунихин [40] поставил задачу изучения строения группы, в
зависимости от свойств ее критических подгрупп. Развивая данную идею С.А.
Чунихина, Л.А. Шеметков на восьмом (Сумы, 1982 г.) и девятом (Москва, 1984 г.)
Всесоюзных симпозиумах по теории групп отметил особую роль критических групп
при изучении не только отдельной группы, но и при описании классов групп.
Таким
образом, задача классификации наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно
произведения
-подгрупп, обладающих
заданными свойствами, занимает важное место в современной теории классов групп.
На реализацию этой актуальной задачи и направлено данное диссертационное
исследование.
1. Некоторые базисные леммы
В теории конечных групп одним из основных понятий является понятие субнормальности подгрупп, введенное Виландтом в работе [73].
Напомним,
что подгруппа называется субнормальной
подгруппой группы
, если существует
цепь подгрупп
такая,
что для любого подгруппа
нормальна в
.
Естественным
обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности,
которое для произвольных конечных групп впервые введено Л.А. Шеметковым в
монографии [44].
Пусть
--- непустая формация.
Подгруппу
группы
называют
-субнормальной, если либо
, либо существует
максимальная цепь
такая,
что для всех
.
Несколько
другое понятие -субнормальности
введено Кегелем в работе [69]. Фактически оно объединяет понятие субнормальности
и
-субнормальности в смысле
Шеметкова.
Подгруппу
называют
-субнормальной в смысле
Кегеля или
-достижимой, если
существует цепь подгрупп
такая,
что для любого либо подгруппа
нормальна в
, либо
.
Для
любой непустой формации множество
всех
-достижимых подгрупп
произвольной группы
содержит
множество всех субнормальных подгрупп группы
и
множество всех
-субнормальных
подгрупп группы
. Если же
--- непустая нильпотентная
формация, то множество всех
-достижимых
подгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп для
любой группы
.
В Коуровской тетради [10] Л.А. Шеметковым была поставлена проблема классификации сверхрадикальных формаций.
Напомним,
что формация называется сверхрадикальной,
если она удовлетворяет следующим требованиям:
1)
--- нормально
наследственная формация;
2)
любая группа , где
и
---
-субнормальные
-подгруппы из
, принадлежит
.
В.Н. Семенчуком в работе [28] в классе конечных разрешимых групп было получено полное решение данной проблемы.
В данной главе получено полное решение проблемы Шеметкова для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы
В
данном разделе приводятся некоторые свойства критических групп (минимальных не -групп) и обобщенно
субнормальных (
-субнормальных и
-достижимых) подгрупп,
которые будут использоваться при доказательстве основных результатов
диссертации.
Напомним,
что критической группой формации (
минимальной не
-группой)
называется группа, не принадлежащая
, все
собственные подгруппы которой принадлежат
.
Множество всех таких групп обозначают
.
Через
обозначают множество всех
разрешимых групп, а через
---
множество всех групп, у которых
-корадикал
разрешим.
1.1
Лемма.
Пусть --- насыщенная формация,
--- наследственная
насыщенная формация. Если
и
, где
, то
.
Доказательство.
Пусть . По теореме 2.2.1,
---
-группа. Очевидно, что
. По лемме 2.2.2,
, где
---
-группа,
---
-группа и
. Так как
и
, то
. Следовательно,
---
-группа. Пусть
---
-главный фактор
. Если
---
-группа, то
-централен.
Пусть
---
-группа. По теореме 2.2.3,
. Пусть
и
--- произвольная
-абнормальная максимальная
подгруппа группы
. Тогда
. Так как
, то, по теореме 2.2.4,
. Следовательно,
. Поскольку
то
. Учитывая, что
, по теореме 2.2.5, имеем
где
--- максимальные
внутренние локальные экраны, соответственно
и
. Если
, то
. Отсюда и из того, что
следует
. А это значит, что
-централен.
Пусть
. Так как
--- насыщенная формация и
, то
. Следовательно,
---
-нормализатор группы
. В силу того, что
покрывает
, то
-централен. Следовательно,
. По теореме 2.2.4,
. Лемма доказана.
1.2
Лемма.
Пусть --- непустая
наследственная формация. Если
---
-субнормальная подгруппа,
то
--- субнормальная
подгруппа.
Доказательство.
Пусть ---
-субнормальная подгруппа
группы
. Если
, то лемма очевидна. Пусть
. Тогда
содержится в максимальной
-нормальной подгруппе
группы
. По индукции,
--- субнормальная
подгруппа из
. Так как
и
--- наследственная
формация, то
. Следовательно,
, значит,
. Поскольку
--- нормальная подгруппа
группы
, то
--- субнормальная
подгруппа
. Лемма доказана.
1.3
Лемма. Пусть
--- наследственная
насыщенная формация,
---
-субнормальная подгруппа
группы
такая, что
. Тогда
.
Доказательство.
Пусть . Очевидно,
Так
как , то по индукции
. Следовательно,
Отсюда, согласно лемме 2.2.6,
Пусть
. Тогда
--- цоколь группы
. По лемме 3.1.2,
--- субнормальная
подгруппа группы
. По теореме
2.2.7,
. Следовательно,
--- нормальная подгруппа
группы
. Тогда
По
теореме 2.2.8, . Отсюда следует,
что
. Так как
и
--- наследственная
формация, то
. Получаем
, т. е.
. Лемма доказана.
В
следующих леммах приводятся основные свойства -субнормальных
подгрупп.
1.4
Лемма. Пусть
--- непустая
наследственная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1)
если --- подгруппа группы
и
, то
---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа
группы
;
2)
если ---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа
группы
, то
---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа
для любой подгруппы
группы
;
3)
если ---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа
и
---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа
группы
, то
---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа
группы
;
4)
если и
---
-субнормальные (
-достижимые) подгруппы
группы
, то
---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа
группы
;
5)
если все композиционные факторы группы принадлежат
формации
, то каждая субнормальная
подгруппа группы
-субнормальна в
;
6)
если ---
-субнормальная (
-достижимая) подгруппа
группы
, то
-субнормальна (
-достижима) в
для любых
.
Доказательство.
1) Пусть --- подгруппа группы
и
. Так как
и
--- наследственная
формация, то подгруппа
является
-субнормальной подгруппой
группы
. Отсюда, согласно
определению
-субнормальной подгруппы,
существует максимальная цепь
такая,
что для всех
. Отсюда, с учетом леммы
2.2.6 получаем, что в группе
существует
максимальная цепь
такая,
что для всех
.
А
это значит, что ---
-субнормальная подгруппа
группы
.
Пусть
--- подгруппа группы
, содержащая
, тогда
---
-субнормальная подгруппа
группы
. А так как любая
-субнормальная подгруппа
группы
является
-достижимой в
, то
---
-достижимая подгруппа
группы
.
2)
Пусть ---
-субнормальная подгруппа
группы
. Тогда, по определению,
существует максимальная цепь подгрупп
такая,
что для любого
.
Пусть
--- некоторая подгруппа из
. Рассмотрим цепь подгрупп
Так
как и формация
наследственна, то из
следует, что
Теперь, ввиду изоморфизма,
имеем
. Значит,
. Так как
, то
. Итак,
. Отсюда, по определению,
---
-субнормальная подгруппа
группы
.
Пусть
---
-достижимая подгруппа
группы
. Тогда, по определению,
существует цепь подгрупп
такая,
что для любого либо подгруппа
нормальна в
, либо
.
Пусть
--- некоторая подгруппа из
. Рассмотрим цепь подгрупп:
Если
подгруппа нормальна в
, то подгруппа
нормальна в
. Пусть
. Так как формация
наследственна, то из
следует, что
Теперь, ввиду изоморфизма,
имеем
. Значит,
. Так как
, то
. Итак, для каждого
либо подгруппа
нормальна в
, либо
. Отсюда, по определению,
---
-достижимая подгруппа
группы
.
Утверждение
3) следует непосредственно из определения -субнормальной
(
-достижимой) подгруппы.
Утверждение 4) следует теперь из утверждений 2) и 3).
5)
Пусть все композиционные факторы группы принадлежат
формации
, и пусть
--- субнормальная
подгруппа группы
. Тогда в группе
существует цепь подгрупп
такая,
что для любого подгруппа
нормальна в
.
Согласно
условию, , отсюда следует, что
. А это значит, что
подгруппа
-субнормальна в группе
.
Утверждение
6) следует непосредственно из определения -субнормальной
(
-достижимой) подгруппы.
Лемма доказана.
1.5
Лемма.
Пусть --- непустая формация,
и
--- подгруппы группы
, причем
нормальна в
. Тогда:
1)
если
-субнормальна (
-достижима) в
, то
-субнормальна (
-достижима) в
и
-субнормальна (
-достижима) в
;
2)
если , то
-субнормальна (
-достижима) в
тогда и только тогда,
когда
-субнормальна (
-достижима) в
.
Доказательство.
Пусть ---
-субнормальная подгруппа
группы
. Тогда, по определению,
существует максимальная цепь подгрупп
такая,
что для любого
.
Рассмотрим следующую цепь подгрупп
Так
как , то ввиду леммы 2.2.6,
. Отсюда следует, что
Итак,
для каждого
. Отсюда, по определению,
---
-субнормальная подгруппа
группы
.
Ввиду леммы 2.2.6,
Поэтому
для любого
. Значит,
---
-субнормальная подгруппа
группы
.
Пусть
---
-достижимая подгруппа
группы
. Тогда, по опрeделению,
существует цепь подгрупп
такая,
что для любого либо
нормальна в
, либо
. Рассмотрим следующую цепь
подгрупп
Если
подгруппа нормальна в
, то подгруппа
нормальна в
. Пусть
. Тогда ввиду леммы 2.2.6,
. Отсюда следует, что
. Итак, для каждого
либо подгруппа
нормальна в
, либо
. Отсюда, по определению,
---
-достижимая подгруппа
группы
.
Ввиду
леммы 2.2.6, . Поэтому для
любого
либо подгруппа
нормальна в
, либо
. Значит,
---
-достижимая подгруппа
группы
.
Утверждение 2) следует из 1) и леммы 2.2.6. Лемма доказана.
2 Критерий принадлежности факторизуемой группы классическим классам конечных группВ
работе [3] А.Ф. Васильевым была предложена задача об описании наследственных
насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп и
, у которых любая силовская
подгруппа
-субнормальна в
. В этой же работе было
получено описание таких формаций в классе конечных разрешимых групп. Развитию
данного направления были посвящены работы [4, 16].
В данном разделе найдены серии наследственных насыщенных формаций, не входящих в класс конечных разрешимых групп, обладающих отмеченным выше свойством.
В
теории классов групп важную роль играет класс всех -групп
(
--- некоторое множество
простых чисел), который обозначается через
.
Большинство важнейших классов групп можно построить из классов вида
с помощью операций
пересечения и произведения классов.
Напомним,
что произведением классов групп и
называется класс групп
, который состоит из всех групп
, таких, что в
найдется нормальная
-подгруппа
с условием
.
Пусть
--- множество всех
натуральных чисел. Обозначим через
некоторое
подмножество из
. Пусть
,
--- некоторые множества
простых чисел, а
,
--- классы всех
-групп и
-групп соответственно. В
дальнейшем рассматриваем формации вида:
Напомним,
что группа называется
-замкнутой (
-нильпотентной), если ее
силовская
-подгруппа (силовское
-дополнение) нормальна в
. Группа
называется
-разложимой, если она
одновременно
-замкнута и
-нильпотентна.
Через
обозначим дополнение к
во множестве всех простых
чисел, если
, то вместо
будем просто писать
. Тогда
--- класс всех
-нильпотентных групп,
--- класс всех
-замкнутых групп,
--- класс всех
-разложимых групп,
--- класс всех
нильпотентных групп, где
пробегает
все простые числа.
Группа
называется
-нильпотентной (
-разложимой), если она
-нильпотентна (
-разложима) для любого
простого числа
из
. Классы всех
-нильпотентных (
-разложимых) групп можно
записать в виде
Группа
называется
-замкнутой, если она имеет
нормальную
-холлову подгруппу. Тогда
--- класс всех
-замкнутых групп.
2.1
Лемма.
Пусть --- наследственная
формация. Если
---
-субнормальная
-подгруппа группы
, то композиционные факторы
группы
содержатся среди
композиционных факторов групп из
.
Доказательство.
Если , то лемма верна. Пусть
. Тогда
содержится в
-нормальной максимальной
подгруппе
группы
. По индукции,
. Так как
, то
. Отсюда, и из
, получаем
. Лемма доказана.
2.2
Лемма.
Пусть --- наследственная
формация,
--- класс всех групп.
Тогда формация
совпадает с формацией
.
Доказательство леммы осуществляется непосредственной проверкой.
2.3
Теорема
[10-A, 13-A]. Пусть ---
наследственная формация. Тогда всякая формация
,
представимая в виде
, содержит любую
группу
, у которой
и силовские подгруппы из
подгрупп
и
-субнормальны в
.
Доказательство.
Пусть --- формация указанного
вида и
--- такая группа, что
, где
и любая силовская
подгруппа из
и
-субнормальна в
. Индукцией по порядку
докажем, что
. Рассмотрим сначала
случай, когда
--- класс всех
групп.
Пусть
--- минимальная нормальная
подгруппа из
. Ясно, что любая силовская
подгруппа из
и
имеет вид
,
, где
и
--- силовские подгруппы из
и
соответственно. Согласно
лемме 3.1.5,
и
---
-субнормальные подгруппы
фактор-группы
. По индукции,
. Так как
--- формация, то отсюда
следует, что
имеет единственную
минимальную нормальную подгруппу
.
Очевидно, что
. Так как
--- насыщенная формация,
то нетрудно показать, что
.
Пусть
--- силовская подгруппа из
. Покажем, что
.
Пусть
--- абелева группа. Так
как
---
-субнормальная подгруппа
группы
, то, согласно теореме
2.2.8,
.
Пусть
--- неабелева группа. В
этом случае
есть прямое произведение
изоморфных неабелевых простых групп и
.
Рассмотрим
подгруппу . Согласно лемме 3.1.5,
---
-субнормальная подгруппа
группы
. Пусть
. Так как
и
--- собственная
-субнормальная подгруппа
группы
, то равенство
невозможно. Итак,
.
Так
как и
--- насыщенная формация,
то
. Отсюда следует, что
А
это значит, что . Если
, то
. Последнее равенство
невозможно, так как
согласно лемме
3.1.4 --- собственная
-субнормальная
подгруппа
.
Итак,
--- собственная подгруппа
. Если
, то
Так
как и
--- наследственная
формация, то
. Но тогда нетрудно
заметить, что
.
Так
как , то согласно лемме 3.1.4,
---
-субнормальная подгруппа.
Так как
и
--- наследственная
формация, то любая силовская подгруппа
-субнормальна в
. Согласно лемме 3.1.4,
---
-субнормальная подгруппа
группы
. По индукции,
. Отсюда следует, что
для любой
.
Аналогичным
образом доказывается, что для
любой
, где
--- любая силовская
подгруппа из
. Из того, что
, следует
.
Рассмотрим
два случая: и
.
Пусть
. Покажем, что
.
Если
--- абелева, то
--- примарная
-группа, где
. Отсюда следует, что
.
Если
--- неабелева, то
есть прямое произведение
изоморфных неабелевых простых групп.
Так
как --- нормальная подгруппа
из
, то
Так
как , то очевидно, что
. Так как
, то
для любой
. Следовательно,
.
Пусть
теперь . Если
--- неабелева, то
. Тогда
. Отсюда следует, что
. А это значит, что
. Отсюда следует, что
, где
--- любое простое число из
.
Рассмотрим
подгруппу , где
--- любая силовская
подгруппа из
.
Если
, то, как и выше, получаем,
что
.
Если
, то, как и выше, получаем,
что
. Отсюда следует, что
, где
--- любое простое число из
. Согласно лемме 2.2.9,
любая силовская подгруппа
группы
есть
, где
--- силовские подгруппы из
и
соответственно. Отсюда
следует, что любое простое число
из
принадлежит
. Следовательно,
. А это значит, что
.
Пусть
--- абелева группа, то
. Но тогда
.
Ввиду
, получаем, что
для любой
. А это значит, что
.
Пусть
теперь --- произвольная
наследственная формация и
. По
лемме 3.2.1, композиционные факторы группы
содержатся
среди композиционных факторов групп из
.
Это значит, что
принадлежит
.
Пусть
. Так как
, то ввиду леммы 3.2.2,
силовские подгруппы из
и
-субнормальны в
. По доказанному,
. Так как
, то, по лемме 3.2.2,
. Теорема доказана.
2.4
Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Пусть --- наследственная
формация. Тогда всякая формация вида
является
сверхрадикальной.
Доказательство.
Пусть , где
и
---
-субнормальные
-подгруппы группы
. Так как
--- наследственная
формация, то согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из
(из
)
-субнормальна в
(соответственно в
). Отсюда, согласно лемме
3.1.4, любая силовская подгруппа из
и из
-субнормальна в
. Теперь требуемый
результат следует из теоремы 3.2.3.
2.5
Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Формация вида является сверхрадикальной.
2.6
Следствие. Пусть ---
формация всех
-нильпотентных
групп. Тогда
содержит любую группу
, где
и
---
-субнормальные подгруппы
группы
, принадлежащие
.
2.7
Следствие. Пусть ---
формация всех
-замкнутых групп.
Тогда
содержит любую группу
, где
и
---
-субнормальные подгруппы
группы
, принадлежащие
.
2.8
Следствие. Пусть ---
формация всех
-разложимых
групп. Тогда
содержит любую группу
, где
и
---
-субнормальные подгруппы
группы
, принадлежащие
.
2.9
Следствие [10-A, 13-A]. Пусть . Тогда формация
содержит любую группу
, у которой
и силовские подгруппы из
подгрупп
и
-субнормальны в
.
2.10
Следствие [10-A, 13-A]. Пусть ---
формация всех
-нильпо- тентных
групп. Тогда
содержит любую группу
, у которой силовские
подгруппы из подгрупп
и
-субнормальны в
.
2.11
Следствие [10-A, 13-A]. Пусть ---
формация всех
-замкнутых групп.
Тогда
содержит любую группу
, у которой силовские
подгруппы из подгрупп
и
-субнормальны в
.
2.12
Следствие [10-A, 13-A]. Пусть ---
формация всех
-разложимых
групп. Тогда
содержит любую группу
, у которой силовские
подгруппы из подгрупп
и
-субнормальны в
.
2.13
Лемма.
Пусть --- непустая
наследственная формация. Пусть все композиционные факторы группы
принадлежат
. Тогда следующие
утверждения эквивалентны:
1)
---
-субнормальная подгруппа
группы
;
2)
---
-достижимая подгруппа
группы
.
Доказательство.
Пусть ---
-субнормальная подгруппа
группы
. Тогда, по определению,
---
-достижимая подгруппа
группы
.
Пусть
---
-достижимая подгруппа
группы
. Тогда существует цепь
в
которой для любого либо
нормальна в
, либо
.
Пусть
. Уплотним участок от
до
цепи
до максимальной
-цепи.
Ввиду
утверждения 1) леммы 3.1.4, все подгруппы ,
содержащие
,
-субнормальны в
. Пусть теперь
нормальна в
. Можно считать, что
--- максимальная
нормальная подгруппа
(в противном
случае уплотняем участок от
до
до композиционной
-цепи). Ввиду условия леммы
, т. е.
. Пришли к рассматриваемому
выше случаю. Теперь, ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, подгруппа
-субнормальна в
. Лемма доказана.
2.14
Лемма.
Пусть --- наследственная
насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
любая группа , где
и любые силовские
подгруппы из подгрупп
и
-субнормальны в
, принадлежит
;
2)
любая группа , где
и любые силовские
подгруппы из подгрупп
и
-достижимы в
, принадлежит
.
Доказательство.
Покажем, что из 1) следует 2). Доказательство проведем индукцией по порядку
группы .
Пусть
--- минимальная нормальная
подгруппа группы
. Очевидно, что
. Пусть
--- произвольная
-силовская подгруппа из
. Ясно, что
---
-силовская подгруппа из
. По лемме 3.1.5,
---
-достижимая подгруппа
группы
. Аналогичным образом
доказыватся, что любая силовская подгруппа из
-достижима в
. Так как
, то по индукции,
. Предположим, что
и
--- две различные
минимальные нормальные подгруппы группы
.
Выше показано, что
,
. Так как
--- формация, то
. Итак,
имеет единственную
минимальную нормальную подгруппу
.
Покажем,
что . Предположим противное.
Тогда, как и выше, с учетом индукции можно показать, что
. Так как
--- наследственная
формация, то
. Итак,
.
Рассмотрим следующие два случая.
1)
Пусть --- абелева, тогда
--- примарная группа. Так
как
--- насыщенная формация и
, то
. Как и выше, с учетом
индукции можно показать, что
.
Теперь, с учетом леммы 3.2.13 и условия следует, что
.
2)
Пусть --- неабелева группа. В
этом случае
есть
прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .
Рассмотрим
подгруппу . Согласно лемме 3.1.5,
---
-субнормальная подгруппа
группы
. Пусть
. Так как
и
--- собственная
-субнормальная подгруппа
группы
, то равенство
невозможно. Итак,
.
Так
как и
--- насыщенная формация,
то
. Отсюда следует, что
А
это значит, что . Если
, то
. Последнее равенство
невозможно, так как
, согласно лемме
3.1.4, собственная
-субнормальная
подгруппа
.
Итак,
--- собственная подгруппа
. Если
, то
Так
как и
--- наследственная
формация, то
. Но тогда нетрудно
заметить, что
.
Согласно
индукции, группа принадлежит
формации
. Согласно лемме 3.2.13,
любая
-достижимая подгруппа
является
-субнормальной подгруппой.
Согласно условию получаем, что группа
принадлежит
.
Непосредственно
из определения -субнормальности
и
-достижимости из 2) следует
1). Лемма доказана.
Непосредственно из данной леммы и теоремы 3.2.3 следует следующая теорема.
2.15
Теорема.
Пусть --- наследственная
формация. Тогда всякая формация
,
представимая в виде
, содержит любую
группу
, у которой
и силовские подгруппы из
подгрупп
и
-достижимы в
.
2.16
Следствие. Пусть . Тогда
формация
содержит любую группу
, у которой
и силовские подгруппы из
подгрупп
и
-достижимы в
.
2.17
Следствие. Пусть ---
формация всех
-нильпотентных
групп. Тогда
содержит любую группу
, у которой силовские
подгруппы из подгрупп
и
-достижимы в
.
2.18
Следствие. Пусть ---
формация всех
-замкнутых групп.
Тогда
содержит любую группу
, у которой силовские
подгруппы из подгрупп
и
-достижимы в
.
2.19
Следствие. Пусть ---
формация всех
-разложимых
групп. Тогда
содержит любую группу
, у которой силовские
подгруппы из подгрупп
и
-достижимы в
.
3. Сверхрадикальные формации
В теории формаций конечных групп одной из известных проблем является проблема Шеметкова об описании сверхрадикальных формаций.
В.Н.
Семенчуком в работе [28] получено полное решение проблемы Л.А. Шеметкова в
классе конечных разрешимых групп. Оказалось, что все такие формации имеют
следующее строение: , где
--- некоторые множества
простых чисел, а
--- множество
всех разрешимых
-групп.
В данном разделе приводится описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы.
Приведем примеры сверхрадикальных формаций.
3.1
Пример.
Формация всех -групп
, где
--- некоторое множество
простых чисел является сверхрадикальной формацией.
Действительно.
Пусть , где
и
---
-группы,
и
---
-субнормальные подгруппы
группы
. Так как формация
замкнута относительно
расширений, то, очевидно, что
---
-группа.
3.2
Пример.
Формации ,
--- сверхрадикальные
формации.
Действительно,
если ---
-субнормальная подгруппа
группы
, то
--- субнормальная
подгруппа из
. Очевидно, что любая
группа
, где
и
--- нильпотентные
субнормальные подгруппы из
,
нильпотентна.
Если
--- разрешимая
-субнормальная подгруппа из
, то
разрешима. Следовательно,
--- сверхрадикальная
формация.
Аналогичным образом доказывается, что любая нормально наследственная, замкнутая относительно расширений, формация является сверхрадикальной.
Следующая лемма устанавливает связь между сверхрадикальными формациями и формациями Фиттинга.
Напомним,
что формациями Фиттинга называются
формации, которые замкнуты относительно взятия субнормальных подгрупп и
произведения нормальных
-подгрупп.
3.3
Лемма.
Пусть --- наследственная
сверхрадикальная формация, тогда
---
формация Фиттинга.
Доказательство.
Пусть , где
и
--- нормальные
-подгруппы группы
. Так как
то
. Аналогичным образом,
. Согласно лемме 3.1.4,
и
---
-субнормальные подгруппы
группы
. Так как
--- сверхрадикальная
формация, то
. Итак,
--- формация Фиттинга.
Лемма доказана.
3.4
Лемма. Пусть
--- непустая
наследственная формация. Если
содержит
любую группу
, где для любого
из
силовские
-подгруппы
и
принадлежат
и
-субнормальные подгруппы в
, то
--- сверхрадикальная
формация.
Доказательство.
Пусть --- непустая
наследственная формация, удовлетворяющая условию леммы. Покажем, что
--- сверхрадикальная
формация. Пусть
, где
и
---
-субнормальные
-подгруппы группы
. Пусть
--- произвольное простое
число из
, а
и
--- силовские
-подгруппы из
и
соответственно. Так как
и
принадлежат
и
--- наследственная
формация, то
и
принадлежат
и,
и
-субнормальны в
и
соответственно. Так как
и
---
-субнормальные подгруппы
группы
, то согласно лемме 3.1.4,
и
-субнормальны в группе
. Согласно условию леммы,
принадлежит
. А это значит, что
--- сверхрадикальная
формация. Лемма доказана.
3.5
Лемма. Пусть
--- наследственная
насыщенная разрешимая формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
--- сверхрадикальная
формация;
2)
--- содержит любую группу
, где
и для любого простого
числа
из
силовские
-подгруппы
и
-субнормальны в
.
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть
--- сверхрадикальная
формация и пусть
, где
и для любого простого
числа
из
и
---
-субнормальные подгруппы
группы
. Так как
--- насыщенная формация и
, то
и
принадлежат
. Так как
--- разрешимая формация и
---
-субнормальная подгруппа
группы
, то отсюда нетрудно
показать, что
--- разрешимая
группа. А это значит, что
и
разрешимы.
Согласно
теореме Ф. Холла [63], , где
. Так как
--- сверхрадикальная
формация, то
принадлежит
. Так как
и
---
-субнормальные подгруппы
группы
, то согласно теореме
2.2.10,
---
-субнормальная подгруппа
группы
. Так как
принадлежит
и
--- сверхрадикальная
формация, то подгруппа
принадлежит
. Продолжая в аналогичном
порядке получаем, что
принадлежит
. Аналогичным образом можем
доказать, что
принадлежит
. Так как
--- сверхрадикальная
формация, то
.
Тот факт, что из 2) следует 1) вытекает из леммы 3.3.4. Лемма доказана.
В следующей теореме получено решение проблемы Шеметкова о классификации сверхрадикальных формаций для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы.
3.6
Теорема
[20-A]. Пусть ---
наследственная насыщенная формация такая, что
.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
--- сверхрадикальная
формация;
2)
, где
--- некоторые множества
простых чисел.
Доказательство.
Пусть --- сверхрадикальная
формация. Вначале докажем, что любая минимальная не
-группа
является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.
Пусть
--- произвольная
минимальная не
-группа. Согласно
условию теоремы,
разрешима. Если
, то нетрудно заметить, что
--- группа простого
порядка
, где
.
Рассмотрим
случай, когда . Согласно
теореме 2.2.5,
, где
--- единственная
минимальная нормальная подгруппа из
,
---
-группа,
,
--- максимальный
внутренний локальный экран формации
.
Очевидно, что
.
Покажем,
что является примарной
циклической подгруппой. Предположим противное. Поскольку
--- разрешимая группа, то
в
существуют максимальные
подгруппы
и
такие, что
. Так как
, то очевидно, что
и
---
-нормальные максимальные
-подгруппы группы
. Но тогда
. Так как
--- сверхрадикальная
формация, то
. Противоречие. Итак,
имеет единственный класс
максимальных сопряженных подгрупп. Следовательно,
---
циклическая
-подгруппа. Поскольку
--- насыщенная формация и
, имеем
.
Покажем,
что . Предположим противное.
Пусть
, где
. Пусть
и
--- циклические группы
соответственно порядков
и
. Обозначим через
регулярное сплетение
. Пусть
--- база сплетения, т. е.
. Так как некоторая
подгруппа группы
изоморфна
, то
. Очевидно, подгруппы
,
принадлежат формации
.
Пусть
, где
. Обозначим через
базу сплетения
. Тогда
.
Так
как , то
, значит, что подгруппы
и
-субнормальны в
. Легко видеть, что
,
.
Так
как --- сверхрадикальная
формация, то
. Но
, и поэтому
.
Полученное
противоречие показывает, что . Итак,
--- группа Шмидта. Теперь
из леммы 3.1.1 следует, что
---
группа Шмидта.
Пусть
--- максимальный
внутренний локальный экран формации
. Покажем,
что формация
имеет полный локальный
экран
такой, что
, для любого
из
. Действительно, пусть
--- такая формация, у
которой есть локальный экран
.
Покажем, что
.
С
учетом того, что для любого
простого
из
, получим
.
Покажем
обратное включение. Пусть ---
группа наименьшего порядка из
. Так
как
--- наследственная
формация, то формация
также является
наследственной, значит,
. Так
как
--- насыщенная формация,
то нетрудно показать, что
.
Выше
показано, что --- либо группа
простого порядка, либо группа Шмидта. Пусть
---
группа простого порядка и
.
Нетрудно показать, что
. Так как
, имеем
. Отсюда следует, что
. Противоречие.
Пусть
теперь --- группа Шмидта.
Поскольку
, то из свойств группы Шмидта
следует
, где
и
. Так как
, то
. Из того, что
, следует
. Так как
и
--- наследственная
формация, то
. Теперь из того, что
, где
--- единственная
минимальная нормальная подгруппа группы
и
, следует что
. Получили противоречие.
Итак,
, значит,
.
Так
как --- локальный экран
формации
, имеем
следовательно,
--- формация из 2).
Пусть
. Тогда из следствия 3.2.5
следует, что
--- сверхрадикальная
формация. Теорема доказана.
Покажем,
что в теореме 3.3.6 условие наследственной насыщенной формации можно отбросить, в случае,
когда
--- разрешимая формация.
3.7
Лемма.
Пусть --- разрешимая нормально
наследственная формация. Если
и
, то
.
Доказательство.
Пусть и
. Если
, то утверждение леммы
очевидно. Пусть
. Пусть
--- нормальная
максимальная подгруппа группы
. Если
, то
.
Пусть
. Ясно, что
. Так как
и
--- нормально
наследственная формация, то
.
Индукцией по порядку группы
получаем,
что
. Лемма доказана.
Если
--- произвольный класс
групп, то через
обозначим
наибольший по включению наследственный подкласс класса
. Более точно
3.8 Лемма. Всякая разрешимая сверхрадикальная формация является наследственной формацией.
Доказательство.
Пусть --- разрешимая
сверхрадикальная формация. Как и в теореме 3.3.6 нетрудно показать, что любая
разрешимая минимальная не
-группа
является группой Шмидта, либо группой простого порядка.
Покажем,
что , где
--- максимальная
наследственная подформация из
.
Допустим, что множество
непусто
и выберем в нем группу
наименьшего
порядка. В силу леммы 2.2.11, формация
является
насыщенной. Поэтому
. Очевидно, что
группа
имеет единственную
минимальную нормальную подгруппу
и
. Так как
, то в
найдется минимальная не
-группа
. Из нормальной
наследственности формации
следует,
что
. Ясно, что
является также минимальной
не
-группой.
По
условию, --- группа Шмидта. В этом
случае
, где
--- нормальная силовская
-подгруппа, а
--- циклическая
-подгруппа группы
,
и
--- различные простые
числа.
Если
, то
Получили
противоречие с выбором . Остается
принять, что
. Отсюда и из
получаем, что
, а значит,
---
-группа. Рассмотрим
. Тогда группу
можно представить в виде
где
--- элементарная абелева
-группа, а
. Так как
не входит в
, то по лемме 2.2.12
, где
--- максимальный
внутренний локальный экран формации
. Так
как
и
, то
является
-группой. Отсюда следует,
что
. Из нормальной
наследственности формации
, по
теореме 2.2.13, следует, что
является
нормально наследственной формацией. Тогда, по лемме 3.3.7,
. Получили противоречие.
Таким образом,
. Лемма доказана.
Напомним,
что формация называется формацией
Шеметкова, если любая минимальная не
-группа
является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.
3.9
Теорема
[16-A]. Пусть ---
наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
--- формация Шеметкова;
2)
формация содержит любую группу
, где
и
---
-достижимые
-подгруппы из
и
;
3)
--- сверхрадикальная
формация и
;
4)
формация такая, что для любой
группы
и для любых ее
перестановочных
-субнормальных
подгрупп
и
подгруппа
-субнормальна в
и
;
5)
формация такая, что для любой
группы
и для любых ее
перестановочных
-достижимых
подгрупп
и
подгруппа
-достижима в
и
;
6)
, где
--- некоторые множества
простых чисел и
.
Доказательство следует из теорем 2.2.14, 2.2.15 и теоремы 3.3.6.
3.10
Теорема [3-A,
5-A]. Пусть --- наследственная
насыщенная формация такая, что
. Тогда
следующие утверждения эквивалентны:
1)
формация содержит любую группу
, где
и
---
-субнормальны в G и
;
2)
, где
--- некоторые множества
простых чисел.
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть
--- формация,
удовлетворяющая утверждению 1). Покажем, что она является сверхрадикальной
формацией. Пусть
--- любая группа
такая, что
, где
и
---
-субнормальные подгруппы
группы
, принадлежащие
. Пусть
и
произвольные
-силовские подгруппы из
и
соответственно. Так как
,
и
--- наследственная
формация, то
и
-субнормальны
соответственно в
и
. Так как
и
-субнормальны в
, то по лемме 3.1.4,
и
-субнормальны в группе
. Отсюда следует, что
. Следовательно,
--- сверхрадикальная
формация.
Теперь,
согласно теореме 3.3.6, получаем, что .
Обратное утверждение следует из следствия 3.2.16. Теорема доказана.
Из
леммы 3.3.5 следует, что в классе конечных разрешимых групп класс всех
наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций совпадает с классом всех
наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения
подгрупп и
, силовские подгруппы
которых обобщенно субнормальны в
.
Как следует из теоремы 3.3.10, аналогичное утверждение верно для всех наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы. Однако для произвольной наследственной насыщенной формации данный вопрос остается открытым.
Заключение
В главе 1 приведены некоторые свойства критических групп и обобщенно субнормальных подгрупп, необходимые для доказательства основных результатов глав2 и 3.
В
главе 2 найдены серии наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно
произведения подгрупп
и
, у которых любая силовская
подгруппа
-субнормальна в
, теорема 2.3 [10-A,13-A].
В главе 3 получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы, теорема 3.6 [20-A].
Основные научные результаты работы
В
данной работе проведено изучение строения наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно
произведения
-подгрупп, обладающих
заданными свойствами.
1.
Найдены серии произвольных наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно
произведения подгрупп
и
, у которых любая силовская
подгруппа
-субнормальна в
[10-A, 13-A].
2. Получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы [20-A].
3.
В классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных насыщенных
формаций , замкнутых относительно
произведения обобщенно субнормальных
-подгрупп
взаимно простых индексов [18-A].
4.
Доказано, что любая разрешимая 2-кратно насыщенная формация , замкнутая относительно
произведения обобщенно субнормальных
-подгрупп,
индексы которых взаимно просты является сверхрадикальной [18-A].
5.
Получено описание наследственных насыщенных -формаций
Шеметкова [14-A, 21-A].
6.
Получено описание наследственных насыщенных -формаций
Шеметкова [14-A, 21-A].
7.
В классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных формаций
Фиттинга , замкнутых относительно
произведения
-подгрупп, индексы которых
не делятся на некоторое фиксированное простое число [14-A, 21-A].
Полученные результаты могут найти приложение в вопросах классификации классов конечных групп, в дальнейшем развитии теории обобщенно субнормальных подгрупп, а также при изучении строения непростых конечных групп по заданным свойствам её обобщенно субнормальных и критических подгрупп.
Решенные
в диссертации задачи позволяют подойти к ещё нерешенным проблемам: задаче об
описании наследственных сверхрадикальных формаций; задаче об описании
наследственных насыщенных формаций ,
замкнутых относительно произведений обобщенно субнормальных
-подгрупп, индексы которых
взаимно просты.
Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей в высших учебных заведениях, написании курсовых, дипломных проектов и диссертаций.
Список использованных источников
1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1990. -- Вып. 5. -- С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. -- Киев, 1993. -- С. 27--54.
3. Васильев, А.Ф. О
влиянии примарных -субнормальных
подгрупп на строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств.
сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф.
Скорины; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Гомель, 1995. -- Вып. 8. -- С.
31--39.
4. Васильева, Т.И. О
конечных группах с -достижимыми
силовскими подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. -- Гомель, 2006. --
18 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).
5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. -- 1989. -- Т. 46, № 3. -- С. 32--37.
6. Казарин, Л.С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. -- 1980. -- Т. 44, № 2. -- С. 288--308.
7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. -- 1983. -- Т. 269, № 3. -- С. 528--531.
8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников // Матем. заметки. -- 1993. -- Т. 53, № 2. -- С. 71--77.
9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. -- 1994. -- Т. 35, № 4. -- С. 801--812.
10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. -- Новосибирск, 1992. -- 172 с.
11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. -- Новосибирск, 1999. -- 146 с.
12. Легчекова, Е.В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В. Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. -- 2007. -- Т. 51, № 1. -- С. 27--33.
13. Монахов, В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные группы. -- 1975. -- С. 70--100.
14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1985. -- Вып. 1. -- С. 54--57.
15. Мокеева, С.А.
Конечные группы с перестановочными -субнормальными
(
-достижимыми) подгруппами /
С.А. Мокеева. -- Гомель, 2003. -- 25 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им.
Ф. Скорины; № 56).
16. Прокопенко, А.И. О
конечных группах с -достижимыми
силовскими подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им.
Ф. Скорины. -- 2004. -- № 6 (27). -- С. 101--103.
17. Семенчук, В.Н. О
минимальных не -группах / В.Н.
Семенчук // ДАН БССР. -- 1978. -- № 7. -- С. 596--599.
18. Семенчук, В.Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1979. -- № 1. -- С. 11--15.
19. Семенчук, В.Н.
Минимальные не -группы / В.Н.
Семенчук // Алгебра и логика. -- 1979. -- Т. 18, № 3. -- С. 348--382.
20. Семенчук, В.Н.
Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп
/ В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики
АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1981. -- С. 138--149.
21. Семенчук, В.Н.
Минимальные не -группы / В.Н.
Семенчук // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр.
/ Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 170--175.
22. Семенчук, В.Н.
Характеризация локальных формаций по
заданным свойствам минимальных не
-групп /
В.Н. Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового
строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и
техника, 1984. -- С. 175--181.
23. Семенчук, В.Н.
Описание разрешимых минимальных не -групп
для произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки.
-- 1988. -- Т. 43, № 4. -- С. 251--260.
24. Семенчук, В.Н. О
разрешимых минимальных не -группах
/ В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- Минск: Университетское, 1987. -- Вып. 3.
-- С. 16--21.
25. Семенчук, В.Н. Роль
минимальных не -групп в теории
формаций / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1991. -- Т. 98, № 1. -- С.
110--115.
26. Семенчук, В.Н.
Конечные группы с -абнормальными
или
-субнормальными подгруппами
/ В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1994. -- Т. 56, № 6. -- С. 111--115.
27. Семенчук, В.Н. Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. -- 1995. -- Т. 36, № 4. -- С. 861--872.
28. Семенчук, В.Н.
Разрешимые -радикальные формации /
В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1996. -- Т. 59, № 2. -- С. 261--266.
29. Семенчук, В.Н. Об одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. -- 1996. -- № 3. -- С. 25--29.
30. Семенчук, В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- 1997. -- № 11. -- С. 109--115.
31. Семенчук, В.Н.,
Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не -групп
/ В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. -- 1998. -- № 4 (431). --
С. 1--4.
32. Семенчук, В.Н. Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 1999. -- № 1 (15). -- С. 153--162.
33. Семенчук, В.Н. Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН Беларуси. -- 2000. -- Т. 44, № 5. -- С. 24--26.
34. Семенчук, В.Н.
Конечные группы, факторизуемые -достижимыми
подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та
им. Ф. Скорины. -- 2002. -- № 5 (14). -- С. 47--49.
35. Скиба, А.Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. -- 1990. -- Т. 34, № 11. -- С. 382--385.
36. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. -- Минск: Беларуская навука, 1997. -- 240 с.
37. Старостин, А.И. О минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем. заметки. -- 1968. -- Т. 3, № 1. -- С. 33--37.
38. Тютянов, В.Н.
Факторизации -нильпотентными
сомножителями / В.Н. Тютянов // Матем. сб. -- 1996. -- Т. 187, № 9. -- С.
97--102.
39. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1929. -- Т. 36, № 2. -- С. 135--137.
40. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1933. -- Т. 40, № 1. -- С. 39--41.
41. Чунихин, С.А. О группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1938. -- Т. 4 (46), № 3. -- С. 521--530.
42. Чунихин, С.А. О существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по теории групп. -- ГОНТИ, М.--Л. -- 1938. -- С. 106--125.
43. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. -- Минск: Наука и техника, 1964. -- 158 с.
44. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. -- М.: Наука, 1978. -- 272 с.
45. Шеметков, Л.А. Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1981. -- Т. 25, № 8. -- С. 677--680.
46. Шеметков, Л.А. О произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1984. -- Т. 28, № 2. -- С. 101--103.
47. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. -- М.: Наука, 1989. -- 256 с.
48. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. -- 1924. -- Т. 31, № 3. -- С. 366--372.
49.
Ballester-Bolinches, A. On the lattice of -subnormal
subgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra.
-- 1992. -- Vol. 148, № 2. -- P. 42--52.
50. Ballester-Bolinches,
A. On -critical groups / A.
Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1995. -- Vol. 174. --
P. 948--958.
51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1996. -- Vol. 179. -- P. 905--917.
52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. -- Springer, 2006. -- 385 p.
53. Bryce, R.A. Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. -- 1972. -- Bd. 127, № 3. -- S. 217--233.
54. Carter, R.O. The -normalizers of a finite
soluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1967. -- Vol. 5, № 2. --
Р. 175--202.
55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1968. -- Vol. 9, № 3. -- P. 285--313.
56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. -- 1966. -- Vol. 91. -- P. 198--205.
57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. -- Berlin -- New York: Walter de Gruyter, 1992. -- 891 p.
58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. -- 1983. -- Vol. 80, № 2. -- P. 517--536.
59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. -- 1963. -- Vol. 80, № 4. -- P. 300--305.
60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. -- Dordrecht -- Boston -- London: Kluwer Academic Publishers, 2000. -- 257 p.
61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // J. Algebra. -- 2007. -- Vol. 315. -- P. 31--41.
62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1928. -- Vol. 3. -- P. 98--105.
63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1937. -- Vol. 43. -- P. 316--323.
64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. -- 1970. -- Vol. 117. -- P. 177--182.
65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math. Z. -- 1954. -- Vol. 60. -- P. 409--434.
66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. -- 1951. -- Vol. 1--2. -- P. 1--6.
67. Kazarin, L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. -- 1986. -- Vol. 14, № 6. -- P. 1001--1066.
68. Kegel, O.H. Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. -- 1961. -- Vol. 12, № 2. -- P. 90--93.
69. Kegel, O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. -- 1978. -- Bd. 30, № 3. -- S. 225--228.
70. Miller, G.A. Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1903. -- Vol. 4. -- P. 398--404.
71. Semenchuk, V.N.
Finite groups with permutable -subnormal
and
-accessible subgroups /
V.N. Semenchuk, S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in
Ukraine. Abstracts, August 4--9. -- 2003. -- P. 153--154.
72. Thompson, J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G. Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1968. -- Vol. 74. -- P. 383--437.
73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1939. -- Bd. 45. -- S. 209--244.
74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1958. -- Bd. 69, № 8. -- S. 463--465.
75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. -- 1958. -- Vol. 2, № 4B. -- P. 611--618.